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1、1/11 中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：C=90 A+B=902、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么 a2b2c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 有下面关系：a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角
2、形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若 c2a2b2，则 ABC是以 C为直角的三角形；若a2b2c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）用于证明线段平方关系的
3、问题。（4）利用勾股定理，作出长为n的线段考点三、锐角三角函数的概念1、如图，在 ABC中，C=90 锐角 A的对边与斜边的比叫做 A的正弦，记为 sinA，即casin斜边的对边AA锐角 A的邻边与斜边的比叫做 A的余弦，记为 cosA，即cbcos斜边的邻边AA锐角 A的对边与邻边的比叫做 A的正切，记为 tanA，即batan的邻边的对边AAA2/11 锐角 A的邻边与对边的比叫做 A的余切，记为 cotA，即abcot的对边的邻边AAA2、锐角三角函数的概念锐角 A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数 30 45 60 sin 212223c
4、os232221tan 331 3cot 31 334、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90 A)，cosA=sin(90 A)；（2）平方关系：1cossin22AA（3）倒数关系：tanA?tan(90 A)=1（4）商（弦切）关系：tanA=AAcossin5、锐角三角函数的增减性当角度在 090之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形1、解直角三角形的概念在
5、直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据在 RtABC 中，C=90，A，B，C所对的边分别为 a，b，c（1）三边之间的关系：222cba（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A+B=90（3）边角之间的关系：正弦sin，余弦 cos，正切 tan 3/11(4)面积公式：（hc为 c 边上的高）考点五、解直角三角形应用1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面知识点及应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线
6、下方的角。仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母 i 表示，即hil。坡度一般写成 1:m的形式，如1:5i等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么tanhil。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45、135、225。练习题1矩形的边长分别为a与b，则两条对角线长的和是（）A.2ab B.222 ab C.22 a b D.22 ab2在ABC中，90C，AB=2，AC=1，则 sin B 的值是（）A.12 B.22 C.32 D.23如图，在矩形ABCD 中，
7、DE AC于 E，设ADE，且35cos，AB=4，则 AD的长为（）A.3 B.163 C.203 D.165:ihlhl4/11 4在高出海平面 100米的山岩上一点 A，看到一艘船 B的俯角为 300，则船与山脚的水平距离为（）A.50 米 B.200 米 C.1003米 D.33100米5在 Rt ABC 中，90C，AB的坡度 i=1:2，那么 BC：CA：AB等于（）A1：2：5 B1：3：2 C1：3：5 D1：2：5 6在ABC中，90C，a,b,c 分别为A,B,C 的对应边，23cosB，1a，则 b7计算：（1）32tan45（2）21632sin 30.(3)21sin
8、 4527320066 tan3028.在等腰ABC中，AB=AC，如果 AB=2BC，画图并计算C 的四个三角函数值？9如图所示，已知：在ABC中，60A，45B，AB=8，求ABC的面积（结果可保留根号）10.已知为锐角，且1sincos5，求sincos的值11.如图，小明想测量塔BC的高度。他在楼底A处测得塔顶 B的仰角为60；爬到楼顶 D处测得大楼 AD的高度为 18 米，同时测得塔顶B的仰角为30，求塔 BC的高度。CAB5/11 12.一张宽为 4，长为 5 的矩形纸片 ABCD，沿对角线 BD对折，点 C落在点 C 位置，BC 交 AD于 G，求AG的长。GABDCC附加题1.
9、如图，在 RtABC 中，C=90，BC=4，AC=3，CD AB于 D，设 ACD=，则 cos的值为（）A45 B34 C43 D352.菱形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，AOC=450，OC=2，则点 B的坐标为（）A.(21，)B.1,2，C.21,1 D.1,213.如图，已知?ABC中，ABC=900，AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线123,l ll上，且12,ll之间的距离为 2，23,ll之间的距离为 3，则 AC的长是（）A.2 17 B.2 5 C.42 D.7 4.已知 A为锐角，且 cosA21，那么（）A.0A60 B.60A 90 C.0
10、A30 D.30A905.当009045A时，下列不等式中正确的是（）。A.AAAsincostan B.AAAsintancos6/11 C.AAAcostansin D.AAAcossintan6.将宽为 2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是（）A.233cm B.433cm C.5cm D.2cm 7.如图，在矩形 ABCD 中，DE AC于 E,EDC:EDA=1:3，且 AC=10，则 DE的长度是（）A.3 B.5 C.5 2 D.5 228.若太阳光线与地面成300角，一棵树的影长为10 米，则树高 h 的范围是（）（7.13）A.53h B.105h C.
11、1510h D.15h9.如图，ABCD 是一个正方形，P、Q是正方形外的两点，且?APD和?BCQ都是等边三角形，则tan PQD（）A.23 B.23 C.312 D.62410.如图，在 Rt?ABC 中，ACB=900，sinB=35，D是 BC上一点，DE AB于E,CD=DE，AC+CD=9，求：BC的长；CE的长。11.如图，已知 BC AD于 C,DFAB于 F,9AFDEFBSS，BAE=。（1）求 sincos的值；（2）若AEBADESS,AF=6 时，求 tan BAD的值。12.在正方形 ABCD 中，F 是 CD上一点，AE AF,AE交 CB的延长线于点 E,7/
12、11 连结 EF交 AB于点 G.（1）求证：DF FC=BG EC;(2)已知：当 tan DAF=13时，?AEF的面积为 10cm2，问当 tan DAF=23时，?AEF的面积是多少？第三部分真题分类汇编详解2007-2012（2007）19（本小题满分6 分）一艘轮船自西向东航行，在A 处测得东偏北21.3方向有一座小岛C，继续向东航行 60 海里到达B 处，测得小岛C 此时在轮船的东偏北63.5方向上之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C 最近？（参考数据：sin21.3925，tan21.325，sin63.5910，tan63.5 2）（2008）19（本小题满分6 分）在
13、一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB表示窗户，且2AB米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD的最小夹角为18.6，最大夹角为64.5请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD的长是多少米？（结果保留两个有效数字）（参考数据：sin18.60.32，tan18.60.34，sin64.50.90，tan64.52.1）ABC北东A DB C G E D B A F 8/11（2009）19（本小题满分6 分）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度他们首先从A 处安置测倾器，测得塔顶C 的
14、仰角21CFE，然后往塔的方向前进50 米到达 B 处，此时测得仰角37CGE，已知测倾器高1.5 米，请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度（参考数据：3sin375，3tan374，9sin 2125，3tan218）（2010）19（本小题满分6 分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB 80 米为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37，大厦底部B的俯角为48求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度（结果保留整数）（参考数据：oooo33711sin37tan37sin 48tan48541010，）解：（2011）19(6 分)某商场准备
15、改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的 40o 减至 35o已知原楼梯AB长为 5m，调整后的楼梯所占地面CD有多长？(结果精确到0.1m参考数据：sin40 o0.64，cos40o0.77，sin35 o0.57，tan35 o0.70)B 3748D C A 第 19 题图40o35oA D B C 9/11（2012）20.（8 分）附历年真题标准答案：（2007）19（本小题满分6 分）解：过 C 作 AB 的垂线，交直线AB 于点 D，得到 RtACD 与 Rt BCD 设 BDx 海里，在 RtBCD 中，tan CBD CDBD，CD x tan63.5 在 RtACD 中，
16、AD AB BD(60 x)海里，tanACDAD，CD(60 x)tan21.3 x tan63.5(60 x)tan21.3，即22605xx解得，x15答：轮船继续向东航行15 海里，距离小岛C 最近6（2008）19（本小题满分6 分）解：设CD为x，在 RtBCD中，6.18BDC，CDBCBDCtan，xBDCCDBC34.0tan2在 RtACD中，5.64ADC，CDACADCtan，xADCCDAC1.2tanBCACAB，xx34.01.221.14x答：CD长约为 1.14 米（2009）19（本小题满分6 分）解：由题意知CDAD，EFAD，90CEF，设CEx，在Rt
17、CEF中，tanCECFEEF，则8tantan213CExEFxCFE；在RtCEG中，tanCECGEGE，则4tantan373CExGExCGEB C D A C G E D B A F 第 19 题图10/11 EFFGEG，845033xx37.5x，37.5 1.539CDCEED（米）答：古塔的高度约是39 米 6分（2010）19（本小题满分6 分）解：设CD=x在 RtACD中，tan37ADCD，则34ADx，34ADx.在 RtBCD中，tan48 =BDCD，则1110BDx，1110BDx.4分ADBD=AB，31180410 xx解得：x43答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是 43 米6分（2011）19（本小题满分6 分）（2012）20.（8 分）B 3748D C A 第 19 题图11/11