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1、用心爱心专心1 第九章（A）第四讲时间：60 分钟满分：100 分一、选择题(85 40 分)1已知二面角l的大小为30，m，n为异面直线，且m，n，则m，n所成的角为()A30B90C120D150答案：A 解析：两异面直线所成的角090，故排除B、C、D.2(2009吉林延边一模)正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC1的中点，则异面直线A1E与CD1所成角等于()A90 B60 C45 D 30答案：D 解析：如图，A1E与CD1所成角等于BA1E，因为A1BC1为等边三角形，又E为BC1中点，所以BA1E30.故选 D.3(2009黑龙江大庆一模)如图所示，在正方体ABCDA1B1
2、C1D1中，E、F分别是AB、B1C的中点，则EF和平面ABCD所成角的正切值为()A.2 B.22C.12D 2 答案：B 解析：取BC中点M，连结FM，则FM平面ABCD，连结EM，则FEM为所求角设正方体的棱长为2，则FM1，EM2，tan FEM1222.故选 B.用心爱心专心2 4在四面体ABCD中，AD平面DBC，BDDC，AD3，BDDC2，则二面角ABCD的大小为()A30 B45C60 D75答案：C 解析：取BC中点E，易知BC2，ABAC5，AE2，DE1，AE2AD2DE2，知所求角为60.5如下图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，ABAC，D、E分
3、别是BC、AB的中点，ACAD，设PC与DE所成的角为，PD与平面ABC所成的角为，二面角PBCA的平面角为，则、的大小关系是()AB CD 答案：A 解析：本题考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角的概念和计算过A作AFBC于F，连结PF，则PFA为二面角PBCA的平面角，PFA，PCA为异面直线DE与PC的夹角，即PCA，连AD，PD与平面ABC的夹角为PDA?PDA，ACAB，AFAD?AFADPAADPAAC?tantantan，又、为锐角，故选 A.6(2009全国，9)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直
4、线AB与CC1所成的角的余弦值为()A.34 B.54 C.74 D.34答案：D 解析：如图，D为BC的中点，则由题意得A1ADBAD30，由三角形余弦公式得cosA1AB34，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为34，故选 D.7(2009保定市高三年级调研考试)在正四面体SABC中，E为SA的中点，F为ABC的中心，则直线EF与平面ABC所成的角的大小为()Aarccos13B 45Carctan2 Darctan22用心爱心专心3 答案：C 解析：如图连接SF，则SF平面ABC.连结AF并延长交BC于H，取线段AF的中点G，连结EG，由E为SA的中点，得EGSF，EG平面ABC，E
5、FG即为EF与平面ABC所成的角设正四面体的边长为a，则AH32a，且AF23AH33a；在 RtAGE中，AEa2，AG12AF36a，EGA90，EGAE2AG266a.在 RtEGF中，FG12AF36a，EG66a，EGF90，tan EFGEGFG2，EFGarctan2，即EF与平面ABC所成的角为arctan2，故选 C.8(2010东北四市联考)把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A90 B60 C45 D30 答案：C 解析：如图由条件可知面ABC面ACD时，三棱锥体积最大，如右图，DBE为
6、所求的角，DEBE.DBE是等腰直角三角形，故DBE45，选C.二、填空题(45 20 分)9(2009上海)如图所示，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，高为 4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是_(结果用反三角函数值表示)答案：arctan5 解析：连接D1C.ADBC，D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角在 RtBCD1中，BC2，CD125，tan D1BC5，D1BCarctan5.10(教材改编题)在正四面体ABCD中，E为AD的中点，则二面角EBCD的余弦值为_用心爱心专心4 答案：63解析：如图取BC的中点F，连结EF、DF，设正四面体棱长为a，则BECE
7、DF32a，DECF12a，EF2CE2CF2(32a)2(12a)224a2，EF22a.易知BCEF，BCDF，EFD即为所求二面角的平面角cosEFD12a234a214a2222a32a63.11已知一个平面与正方体的12 条棱的夹角均为，那么 sin_.答案：33解析：如图平面与十二条棱所成的角相等，可归结为与共顶点的三条棱所成的角相等即DB，DC，DA与平面ABC所成的角相等易算得 sin33.12(2009北京崇文一模)如图所示，等腰梯形ABCD，E、F分别是下底边BC边上的三等分点，ADAE1，BC3，若把三角形ABE和DCF分别沿AE和DF折起，使得B、C两点重合于一点P，则
8、二面角PEFD的大小为 _答案：2解析：如图为折叠后的几何体，二面角PEFD的大小即为侧面AEFD与底面EFP所成的角，显然为2.用心爱心专心5 三、解答题(410 40 分)13(2009重庆)如图所示，四棱锥PABCD中，ABAD，ADDC，PA底面ABCD，PAADDC12AB1，M为PC的中点，N点在AB上且AN13NB.(1)求证：MN平面PAD；(2)求直线MN与平面PCB所成的角解析：(1)证明：过点M作MECD交PD于E点，连结AE.AN13NB，AN14AB12DCEM.又EMDCAB，EM綊AN，AEMN为平行四边形，MNAE，MN平面PAD.(2)解：过N点作NQAP交B
9、P于点Q，NFCB于点F.连结QF，过N点作NHQF于H，连结MH，易知QN面ABCD，QNBC，而NFBC，BC面QNF，BCNH，而NHQF，NH平面PBC，NMH为直线MN与平面PCB所成的角通过计算可得MNAE22，QN34，NF342，NHQNNFQFONNFQN2NF264，sin NMHNHMN32，NMH60，直线MN与平面PCB所成的角为60.14(2009广西柳州三模)如图所示，已知直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ADBD，ADBDa，E是CC1的中点，A1DBE.(1)求证：A1D平面BDE；(2)求二面角BDEC的大小解析：(1)证明：在直平行六面体ABCDA1
10、B1C1D1中，AA1平面ABCD，AA1BD.又BDAD，用心爱心专心6 BD平面ADD1A1，即BDA1D.又A1DBE且BEBDB，A1D平面BDE.(2)解：如图，连B1C，则B1CBE，易证 RtBCERtB1BC，CEBCBCB1B，又E为CC1中点，BC212BB21.BB12BC2a.取CD中点M，连结BM，则BM平面CC1D1C，作MNDE于N，连NB，由三垂线定理知：BNDE，则BNM是二面角BDEC的平面角在 RtBDC中，BMBDBCDC22a，RtCED中，易求得MN1010a，RtBMN中，tan BNMBMMN5，则二面角BDEC的大小为arctan5.15如图，
11、已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点(1)求直线B1C与DE所成的角的余弦值；(2)求证：平面EB1D平面B1CD；(3)求二面角EB1CD的余弦值解析：(1)连结A1D，则由A1DB1C知，B1C与DE所成的角即为A1D与DE所成的角连结A1E，由正方体ABCDA1B1C1D1，可设其棱长为a，则A1D2a，A1EDE52a，cosA1DEA1D2DE2A1E22A1DDE105.直线B1C与DE所成角的余弦值是105.(2)证明取B1C的中点F，B1D的中点G，连结BF，EG，GF.CD平面BCC1B1，且BF?平面BCC1B1，DCBF.又BFB1C，CDB1CC，BF平
12、面B1CD.又GF綊12CD，BE綊12CD，用心爱心专心7 GF綊BE，四边形BFGE是平行四边形，BFGE，GE平面B1CD.GE?平面EB1D，平面EB1D平面B1CD.(3)连结EF.CDB1C，GFCD，GFB1C.又GE平面B1CD，EFB1C，EFG是二面角EB1CD的平面角设正方体的棱长为a，则在EFG中，GF12a，EF32a，cosEFGFGEF33，二面角EB1CD的余弦值为33.16(2009全国，18)如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE平面BCC1.(1)求证：ABAC；(2)设二面角ABDC为 60，求B1C与平
13、面BCD所成的角的大小解析：(1)证明：取BC中点F，连结EF，则EF綊12B1B，从而EF綊DA.连结AF，则ADEF为平行四边形，从而AFDE.又DE平面BCC1，故AF平面BCC1，从而AFBC，即AF为BC的垂直平分线，所以ABAC.(2)解：作AGBD，垂足为G，连结CG.由三垂线定理知CGBD，故AGC为二面角ABDC的平面角 由题设知，AGC60.设AC2，则AG23.又AB2，BC22，故AF2.由ABADAGBD得 2AD23AD222，解得AD2，故ADAF.又ADAF，所以四边形ADEF为正方形因为BCAF，BCAD，AFADA，故BC平面DEF，因此平面BCD平面DEF.连结AE、DF，设AEDFH，则EHDF，EH平面BCD.用心爱心专心8 连结CH，则ECH为B1C与平面BCD所成的角因ADEF为正方形，AD2，故EH1，又EC12B1C2，所以ECH30，即B1C与平面BCD所成的角为30.