数值分析习题与答案.pdf

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1、.第一章绪论习题一1.设 x0,x*的相对误差为，求 f(x)=ln x的误差限。解：求 lnx 的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已 知x*的 相 对 误 差满 足.，而，故.即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得.有 5 位有效数字，其误差限，相对误差限.有2位 有 效 数 字，有5位 有 效 数 字，.3.下列公式如何才比较准确？（1）.（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。（1）.（2）4.近似数 x*=0.0310

2、,是3 位有数数字。5.计算取.，利用：式计算误差最小。四个选项：.第二、三章插值与函数逼近习题二、三1.给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54 的近似值并估计误差限.解：仍可使用 n=1 及 n=2 的 Lagrange 插值或 Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5 及 0.6 两点，用 Newton插值.误差限，因，故.二次插值时，用0.5，0.6，0.7 三点，作二次Newton插值.误差限，故.2.在-4 x4 上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求.的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?.解：用误差估计式（5.8），令.因得.3.

3、若，求和.解：由均差与导数关系于是.4.若互异，求的值，这里pn+1.解：，由 均 差 对 称 性可知当有.而当 Pn1 时于是得.5.求证.解：解：只要按差分定义直接展开得.6.已知的函数表求出三次 Newton均差插值多项式，计算 f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表.由式(5.14)当 n=3 时得 Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400 x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23)N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得.由于7.给定 f(x)=cos

4、x的函数表.用 Newton等距插值公式计算cos 0.048 及 cos 0.566 的近似值并估计误差解：先构造差分表.计算，用 n=4 得 Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得.其中计算时用 Newton后插公式.（5.18)误差估计由公式（5.19）得.这里仍为 0.565 8求 一 个 次 数 不 高 于 四 次 的 多 项 式p(x),使 它 满 足.解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造使它满足.，显然，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2 由 p(2)=1求出 A，于是.9.令称为第二类Chebyshev多项式，试求的表达式，并.证

5、明是 -1,1 上 带 权的正交多项式序列。解：因.10.用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.解：本题给出拟合曲线，即，故法方程系数.法方程为解得.最小二乘拟合曲线为均方程为11.填空题.(1)满足条件的插值多项式 p(x)=().(2),则f 1,2,3,4=()，f1,2,3,4,5=().(3)设为 互 异 节 点，为对应的四次插值基函数，则()，.().(4)设是区间 0,1上权函数为(x)=x 的最高项系数为1 的正交多项式序列，其.中，则()，().答：（1）（2）.（3）（4）第 4 章数 值 积 分与数值微分习题 4 1.分别用复合梯形公式及复合

6、Simpson 公式计算下列积分.解本题只要根据复合梯形公式（6.11）及复合 Simpson公式（6.13）直接计算即可。对，取 n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。按式（6.11）求出.，按 式（6.13）求 得，积分.2.用 Simpson 公式求积分，并估计误差解：直接用Simpson 公式（6.7）得.由（6.8）式估计误差，因，故3.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.(1)(2)(3).解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。（1）令代入公式两端并使其相等，得.解此方程组得，于是有再令，得.故求积公式具

7、有3 次代数精确度。（2）令代入公式两端使其相等，得.解出得.而对不准确成立，故求积公式具有 3 次代数精确度。（3）令代入公式精确成立，得.解得，得求积公式.对故求积公式具有2 次代数精确度。.4.计 算 积 分，若 用 复 合Simpson公式要使误差不超过，问区间.要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分?.解：由 Simpson 公式余项及得.即，取n=6，即 区 间分为 12 等分可使误差不超过.对梯形公式同样，由余项公式得.即取 n=255才更使复合梯形公式误差不超过.5.用Romberg求积算法求积分，取.解：本 题 只 要 对 积 分使 用Rombe

8、rg算法（6.20），计算到 K3，结果如下表所示。.于 是 积 分，积 分 准 确 值 为0.713272 6用三点 Gauss-Legendre求积公式计算积分.解：本题直接应用三点Gauss 公式计算即可。.由于区间为，所以先做变换于是.本题精确值7用 三 点Gauss-Chebyshev求 积 公 式 计 算 积 分.解：本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算即.于是，因 n=2,即为三点公式，于是，即.故8.试确定常数A，B，C，及，使求积公式.有尽可能高的代数精确度，并指出所得求积公式的代数精确度是多少.它是否为 Gauss 型的求积公式?解：本题仍可根据代数精确度定

9、义确定参数满足的方程，令对公式精确成立，得到.由（2）（4）得A=C，这 两 个 方 程 不 独 立。故 可 令，得.（5）由（3）（5）解得，代入（1）得.则有求积公式令公式精确成立，故求积公式具有 5 次代数精确度。三点求积公式最高代数精确度为5次，故它是Gauss 型的。第五章解线性方程组的直接法.习题五1.用 Gauss 消去法求解下列方程组.解本题是 Gauss 消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。.故2.用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A 的行列式detA 的值.解：先选列主元，2 行与1行交换得消元.3行 与2行 交 换消 元回代得解.行列式得3.

10、用 Doolittle分解法求的.解.解：由矩阵乘法得再由求得.由解得4.下述矩阵能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否.唯一?解：A 中，若 A 能分解，一.步分解后，相互矛盾，故 A不能分解，但，若 A 中 1 行与 2 行交换，则可分解为LU.对 B，显然，但它仍可分解为分解不唯一，为一任意常数，.且 U 奇异。C 可分解，且唯一。5.用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中解：用解对三角方程组的追赶法公式（3.1.2）和（3.1.3）计算得.6.用平方根法解方程组解：用分解直接算得.由及求得.7.设，证明.解：即，另一方面.故8设计算 A 的行范数，列范数及 F-范数和 2 范

11、数.解：故.9设为上 任一 种范数，是 非 奇 异 的，定 义.，证明证明：根据矩阵算子定义和.定义，得令，因 P 非奇异，故x 与 y为一对一，于是.10.求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计.，即，即.解：记则的解.，而的解.故而.由（3.12）的误差估计得.表明估计略大，是符合实际的。11.是非题（若 是 在末尾（）填+,不是 填-）：题目中.（1）若A对 称 正 定,则是上 的 一 种 向 量 范 数.（）（2）定义是一种范数矩阵（）（3）定义是一种范数矩阵（）.（4）只要，则 A 总可分解为A=LU,其 中L 为 单 位 下 三 角 阵，U 为 非 奇 上 三 角 阵（）（5

12、）只要，则总可用列主元.消 去 法 求 得 方 程 组的 解（）（6）若A对称正定,则A可分解为，其中L 为对角元素为正的下三角阵（）.（7）对任 何都有（）（8）若A 为正交矩阵，则.（）答案：（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）（5）（）（6）（）（7）（）（8）（）第六章解线性方程组的迭代法习题六1.证明对于任意的矩阵A，序列收敛于零矩阵解：由于而.故2.方程组.(1)考查用 Jacobi 法和 GS 法解此方程组的收敛性.(2)写出用 J 法及 GS 法解此方程组的迭代公式并以计算到.为止解：因为具有严格对角占优，故J 法与 GS 法均收敛。（2）J 法得迭代公式是.取，迭代到 1

13、8 次有GS 迭代法计算公式为.取3.设方程组.证明解此方程的Jacobi 迭代法与 Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散解：Jacobi 迭代为其迭代矩阵.，谱半径为，而 Gauss-Seide迭代法为.其迭代矩阵，其谱半径为.由于，故 Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。4.下列两个方程组Ax=b，若分别用J 法及 GS 法求解，是否收敛?.解：Jacobi 法的迭代矩阵是即，故.，J 法收敛、GS 法的迭代矩阵为.故，解此方程组的GS 法不收敛。5.设，detA 0，用.,b 表示解方程组Ax=f 的 J法及 GS 法收敛的充分必要条件.解J法迭代

14、矩阵为.，故 J 法收敛的充要条件是。GS 法迭代矩阵为.由得 GS 法收敛得充要条件是.6.用 SOR 方法解方程组(分别取=1.03,=1,=1.1)精 确 解，要 求 当.时迭代终止，并对每一个 值确定迭代次数解：用 SOR 方法解此方程组的迭代公式为.取，当时，迭代5 次达到要求.若取，迭代 6 次得7.对上题求出SOR 迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并 求J 法 与GS 法 的 渐 近 收 敛 速 度.若 要 使.那么 J 法 GS 法和 SOR 法各需迭代多少次?解：J法的迭代矩阵为.，故，因 A 为对称正定三对角阵，最优松弛因子.J 法收敛速度由于，故.若要求，于是迭代次数

15、.对于 J 法，取 K15 对于 GS 法，取 K8 对于 SOR 法，取 K5.8.填空题(1)要使应满足（）.(2)已知方程组，则解此方程组的Jacobi 迭代法是否收敛（）.它的渐近收敛速度 R(B)=（）.(3)设方程组Ax=b,其中其 J法的迭代矩阵是（）.GS法的迭代矩阵是（）.(4)用GS法解方程组.，其中 a 为实数，方法收敛的充要条件是a 满足（）.(5)给定方程组,a 为实数.当 a 满足（），且 02 时 SOR 迭代法收敛.答:.(1)(2)J 法是收敛的，(3)J 法迭代矩阵是，GS 法.迭代矩阵(4)满足.(5)满足第七章非线性方程求根习题七.1.用二分法求方程的正

16、根，使误差小于0.05 解使用二分法先要确定有根区间。本题 f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故区间 1,2 为有根区间。另一根在-1,0，故正根在 1,2。用二分法计算各次迭代值如表。.其误差.2.求方程在=1.5 附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.(1)，迭 代 公 式.(2),迭 代 公 式.(3)，迭 代 公 式.试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有 4 位有效数字的近似根解：（1）取 区 间且，在.且，在中.，则 L1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。（2），在.中，且，在.中有，故迭代收敛。（3），在.附近，故

17、迭代法发散。在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L 较小，故 它 比（1）收 敛 快。用（2）迭 代，取.，则3.设方程的迭代法.(1)证 明 对,均 有,其中.为方程的根.(2)取=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过,.并列出各次迭代值.(3)此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论解：（1）迭代函数，对有.，.（2）取，则有各次迭代值取，其 误 差 不 超 过.（3）故此迭代为线性收敛.4.给定函数，设对一切x,存在，而且.证明对.的任意常数,迭代法均收敛于方程.的根解：由于，为单调增函数，故方程.的根是唯一的（假定方程有 根）。迭 代 函 数，.。令，则，由递推有.，即5.用 Ste

18、ffensen方法计算第2 题中(2)、(3)的近似根，精.确到解:在(2)中,令,.,则有令,得.,与第 2 题中(2)的结果一致,可取,则满足精度要求.对(3)有,原迭代不收敛.现令令.6.用 Newton法求下列方程的根，计算准确到4 位有效数字.(1)在.=2 附近的根.(2)在=1 附近的根.解：（1）Newton迭代法.取，则，取.（2）令，则，取.7.应用 Newton 法于方程,求立方根的迭代公式，并.讨论其收敛性.解：方程的 根 为，用 Newton迭代法.此 公 式 迭 代 函 数，则，故迭代法2 阶收敛。还.可证明迭代法整体收敛性。设，对.一般的，当时有.这是因为当时成立。从而，即.，表明序列单 调递 减。故 对，迭 代 序 列 收 敛 于.