数值分析习题(含标准答案).pdf

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1、 第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。1 若误差限为5105.0,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算）解：2*103400.0 x，325*10211021 xx 故具有 3 位有效数字。2 14159.3具有 4 位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算）解：10314159.0，欲使其近似值*具有 4 位有效数字，必需！41*1021，3*310211021，即14209.314109.3*即取（,）之间的任意数，都具有 4 位有效数字。3 已知2031.1a，978.0b是经过四舍五入后得到的近似值，问ba，ba有

2、几位有效数字（有效数字的计算）解：3*1021aa，2*1021bb，而1811.2ba，1766.1ba 2123*102110211021)()(bbaababa 故ba 至少具有 2 位有效数字。2123*10210065.01022031.1102978.0)()(bbaaabbaab故ba至少具有 2 位有效数字。4 设0 x，x的相对误差为，求xln的误差和相对误差（误差的计算）解：已知*xxx，则误差为*lnlnxxxxx 则相对误差为*lnln1lnlnlnxxxxxxxx 5 测得某圆柱体高度h的值为cmh20*，底面半径r的值为cmr5*，已知cmhh2.0|*，cmrr1

3、.0|*，求圆柱体体积hrv2的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）解：*2*2),(),(hhrrrhrrhvrhv 绝对误差限为252.051.02052)5,20(),(2 vrhv 相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2vvrhv 6 设x的相对误差为%a,求nxy 的相对误差。（函数误差的计算）解：%*axxx，)%(*naxxxnxxxyyynnn【7 计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r时允许的相对误差限为多大（函数误差的计算）解：球体积为334)(rrv，3*34)(rrv 欲使%13344)()()(*3*2*rrrrrrrr

4、vrvrv，必须%31*rrr。8 设101dxexeIxnn，求证：（1）)2,1,0(11nnIInn（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）解：1101110110110111nxnxnxnxnnnIdxexnedxexnexedexeI 1110101)1(eeedxeeIx 如果初始误差为*000II，若是向前递推，有 0221*11*!)1()1()1()1()1(nnnnnInIIInnnnnnnn 可见，初始误差0的绝对值被逐步地扩大了。如果是向后递推nnInnI111，其误差为 nnnII!)1(211)1(11)

5、1111()1111(221*110 可见，初始误差n的绝对值被逐步减少了。第二章 插值法 姓名 学号 班级 习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔 M 特插值构造，插值余项的计算和应用。1 已知1)2(,1)1(,2)1(fff，求)(xf的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）解法一（待定系数法）：设cbxaxxL2)(，由插值条件，有 12412cbacbacba 解得：3/4,2/1,6/1cba。故 342161)(2xxxL。解法二（基函数法）：由插值条件，有 1)12)(12()1)(1(1)21)(11()2)(1(2)21)(11()2)(1()(xxxx

6、xxxL )1)(1(31)2)(1(21)2)(1(31xxxxxx 3421612xx 2 已知9,4,10 xxxy，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值）解：由插值节点与被插函数，可知，240y，391y，其线性插值函数为 565134942949)(xxxxL 7的近似值为6.25135657)7(L。3 若),.1,0(njxj为互异节点，且有)()()()()()()(11101110njjjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl,试证明),.1,0()(0nkxxlxnjkjkj。（拉格朗日插值基函数的性质）解：考虑辅助函数njkjkjxxlxxF0

7、)()(，其中，nk 0，),(x。)(xF是次数不超过n的多项式，在节点ixx（ni 0）处，有 0)()()(0kikikiiikinjkiijkjixxxxlxxxlxxF 这表明，)(xF有 n+1 个互异实根。故0)(xF，从而njkjkjxxlx0)(对于任意的nk 0均成立。4 已知352274.036.0sin,333487.034.0sin,314567.032.0sin，用抛物线插值计算3367.0sin的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值）解：由插值条件，其抛物线插值函数为 314567.0)36.032.0)(34.032.0()36.0)(34.0()(xxxL 3

8、33487.0)36.034.0)(32.034.0()36.0)(32.0(xx 352274.0)34.036.0)(32.036.0()34.0)(32.0(xx 将3367.0 x代入，计算可得：3304.0)3367.0(L。其余项为：)36.0)(34.0)(32.0(!3sin)(xxxxr 其中，36.032.0)36.0)(34.0)(32.0(61)(xxxxr 故误差的上界为：71014.2)36.03367.0)(34.03367.0)(32.03367.0(61)3367.0(r。|5 用余弦函数xcos在00 x，41x，22x三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多

9、项式,并近似计算6cos及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗日二次插值）解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为 0)4/2/)(02/()4/)(0(21)2/4/)(04/()2/)(0(1)2/0)(4/0()2/)(4/()(xxxxxxxL 22)2/(28)2/)(4/(8xxxx 8508.09242)2/6/(6/28)2/6/)(4/6/(8)6(22L 绝对误差为：0153.01828439924223)6(6cosL 相对误差为：0179.028428439)6()6(6cosLL 余项为：、)2/)(4/(!3sin)(xxxxr，其中，2/0 其余

10、项的上界为：)2/)(4/(61)(xxxxr 0239.06)26)(46(661)6(43r 比较可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。6 已知函数值212)6(,82)4(,46)3(,10)1(,6)0(fffff，求函数的四阶均差6,4,3,1,0 f和二阶均差3,1,4 f。（均差的计算）解：采用列表法来计算各阶均差，有 x y 二阶均差 三阶均差 四阶均差 一阶均差 0 6 1 10 4 。3 46 18 14/3 4 82 36 6 1/3 6 212 65 29/3)11/15 1/15 从表中可查得：1516,4,3,1,0f。x y 一阶均差 二阶均

11、差 4 82 1 10 72/3 3 46 18 6 故63,1,4f。其实，根据均差的对称性，64,3,1 3,1,4 ff，该值在第一个表中就可以查到。7 设)()()(10nxxxxxxxf求1,0pxxxf之值，其中1 np，而节点)1,1,0(nixi互异。（均差的计算）解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有 pipipiiiiiiiipxxxxxxxxxxxxxfxxxf0111101,0)()()()(而0)(ixfpi 0，故01,0pxxxf。；8 如下函数值表 x 0 1 2 4)(xf 1 9 23 3 建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）解：先构

12、造均差表 x f(x);一阶均差 二阶均差 三阶均差 0 1 !1 9 8 2 23 14；3 4 3-10-8-11/4 故)2)(1(411)1(381)(xxxxxxxN。、9 求一个次数小于等于三次多项式)(xp，满足如下插值条件：2)1(p，4)2(p，3)2(p，12)3(p。（插值多项式的构造）解法一（待定系数法）：设dcxbxaxxp23)(，则 cbxaxxp23)(2，由插值条件，有 123927341242482dcbacbadcbadcba 解得：6,15,9,2dcba。故 61592)(23xxxxp 解法二（带重节点的均差法）：据插值条件，造差商表 x【y 一阶差

13、商 二阶差商 三阶差商 1 2 /2 4 2 2 4 3 1 3 12 8 5 2，故 61592)2)(1(2)2)(1()1(22)(232xxxxxxxxxp 10 构造一个三次多项式)(xH，使它满足条件1)1(,1)2(,0)1(,1)0(HHHH（埃尔 M 特插值）。解：设dcxbxaxxH23)(，cbxaxxH23)(2 利用插值条件，有 123124801cbadcbadcbad 解得：1,4,4,1dcba。144)(23xxxxH 11 设4/9,1,4/1,)(21023xxxxxf。(1)试求)(xf在4/9,4/1上的三次埃尔 M特插值多项式)(xH，使得)()(,

14、2,1,0),()(11xfxHjxfxHjj，)(xH以升幂形式给出。(2)写出余项)()()(xHxfxR的表达式。（埃尔 M 特插值及其余项的计算）。解：81)41(f，1)1(f，827)49(f，2123)(xxf，23)1(f 设dcxbxaxxH23)(，cbxaxxH23)(2 23238274916816472918141161641cbadcbadcbadcba 解得：22514a，450263b，450233c，251d。故 25145023345026322514)(23xxxxH。)49()1)(41(1283)(225xxxxR，其中，4941。12 若0)()(,

15、)(2bfafbacxf，试证明：|)(|max81|)(|max2xfabxfbxabxa（插值余项的应用）解：以0)()(bfaf为插值条件，作线性插值多项式，有 0)()()(bfabaxafbabxxL 其余项为)(!2)()()()()(bxaxfxfxLxfxR 故)(max)(81)2)(2()(max21)(max2xfabbababaxfxfbxabxabxa 。13 设,2)2(,1)0(,1)2(fff求)(xp使)2,1,0()()(ixfxpii；又设 Mxf|)(|，则估计余项)()()(xpxfxr的大小。（插值误差的估计）解：由插值条件，有 2241124cba

16、ccba 解得：14/38/1cba 从而 14381)(2xxxp 其余项为)2,2()2()2(!3)()()()(xxxfxpxfxr MMxxMxr273839166)4(6)(3 第三章 函数逼近 姓名 学号 班级 *习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。1 设xxfsin)(，求)(xf于 1,0上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）解：,1spanx 1),(1011dx，21),(1021xdx，31),(10222dxx 2sin),(101xdxf，1sin1cossin),(102102xxxxdxxf 法方程组为 12312121121aa

17、解得：21a，02a（线性最佳平方逼近多项式为：2*。2 令11,)(xexfx，且设xaaxp10)(,求10,aa使得)(xp为)(xf于 1,1上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）解：,1spanx 2),(1111dx，0),(1121xdx，32),(11222dxx 1111),(eedxefx，11122),(edxxefx 法方程组为 1121232002eeeaa 解得：)(2111eea，312ea*线性最佳平方逼近多项式为：xeeexp32)(11。3 证明：切比雪夫多项式序列)arccoscos()(xkxTk 在区间1,1上带权21/1)(xx正交。（正交多项式的

18、证明）解：对于kl，有 dxxkxlxTTkl)arccoscos()arccoscos(11),(112 002)cos()cos()sin)(cos()cos(cos11dtktltdttktltt 0)cos()cos(21dttkltkl%0)sin(1)sin(1210tklkltklkl 对于kl，有 dxxkxTTkk)arccos(cos11),(2112 02202)(cos)sin)(coscos11dtktdttktt 2)2sin(2121)2cos(12100tkktdttk 故，序列)(xTk在-1，1上带权211)(xx正交。4 求矛盾方程组：2423212121

19、xxxxxx的最小二乘解。（最小二乘法）解法一：求1x与2x，使得！22122122121)2()42()3(),(xxxxxxxxf 达到最小。于是，令 0)2(2)42(2)3(22121211xxxxxxxf 0)1)(2(22)42(2)3(22121212xxxxxxxf 即：9629232121xxxx，其最小二乘解为：6429.05714.221xx。解法二：24311211121xx，记作bAX，该矛盾方程组的最小二乘解，应满足以下方程组 bAAXATT，即99622321xx|解之，得6429.05714.221xx。5 已知一组实验数据 kx 2 3 4 5)ky 4 6

20、8 9；试用直线拟合这组数据.(计算过程保留 3 位小数)。（最小二乘线性逼近）解：作矩阵 5.515141315.2121A，95.8865.44y 法方程为)()(yAXAATT 即 25.161405.9022226ba 解得：2288.1a，4831.1b。其直线拟合函数为xy4831.12288.1。6 用最小二乘原理求一个形如2bxay的经验公式,使与下列数据相拟合.kx 19 25 31 38 44 ky 19 49 （最小二乘二次逼近）解：等价于对数据表；2kx 361 625 961 1444 1936 ky 19 49 作线性拟合。其法方程组为：5.3693214.2717

21、277699532753275ba 解得：9726.0a，0500.0b 故经验公式为205.09726.0 xy。/第四章 数值积分 姓名 学号 班级 习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。1 给定求积公式)()0()()(hcfbfhafdxxfhh试确定cba,使它的代数精度尽可能高。（代数精度的应用和计算）解：分别取2,1)(xxxf，使上述数值积分公式准确成立，有；3/2)()(0)()(2322hhchahchahcba 解得：3,34,3hchbha。故求积公式为)(3)0(34)(3)(hfhfhhfhdxxfh

22、h。)再取3)(xxf，左边=hhdxx03，右边=0)(3034)(333hhhhh 再取4)(xxf，左边=hhhdxx5254，右边=32)(3034)(3544hhhhhh 此求积公式的最高代数精度为 3。2 求积公式)0()1()0()(01010fBfAfAdxxf，试确定系数0A,1A及0B，使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。（代数精度的应用和计算）解：分别取2,1)(xxxf，使求积公式准确成立，有 3/12/1110110ABAAA 解得：61,31,32010BAA。求积公式为)0(61)1(31)0(32)(10fffdxxf。￥再取3)(xx

23、f，左边=06113103241103dxx右边 故该求积公式的最高代数精度为 2。3 数值积分公式)2()1(23)(30ffdxxf，是否为插值型求积公式，为什么又该公式的代数精确度为多少（插值型求积公式特征）解：令1)(xf，)2()1(23 11 23330ffdx xxf)(，)2()1(2321232930ffxdx 2)(xxf，)2()1(2321 2321592302ffdxx 故代数精度为 1。由于求积节点个数为 2，代数精度达到 1 次，故它是插值型的求积公式。4 如果0)(xf，证明用梯形公式计算积分badxxf)(所得到的结果比准确值大，并说明其几何意义。（梯形求积）

24、解：梯形求积公式)()(2bfafabT 是由过点)(,(afa，)(,(bfb的线性插值函数)()()(bfabaxafbabxxL 在a,b上的定积分。注意到：在区间a,b上，0)(xf，而0)(bxax，有 0)(!2)()()()()(dxbxaxfdxxLxfdxxLdxxfTIbabababa 从而TI。其几何意义可作以下解释：在区间a,b上，0)(xf，故曲线)(xfy 下凹，直线)(xLy 位于曲线之上，因此，曲边梯形的面积badxxfI)(小于梯形面积badxxLT)(。5 用4n的复化梯形公式计算积分211dxx，并估计误差。（复化梯形求积）解：41412h，取求积节点为)

25、4,1,0(411iixi)(21)()()()(21)()(2114321013021301xfxfxfxfxfhxfxfhdxxdxxiiiixxii 6970.0168011718421746454442141 因2ln121dxx，则误差大约为：0039.06970.02ln。6 设2)1(,9)5.0(,6)0(,4)5.0(,1)1(fffff,则用复化辛甫生公式计算11)(dxxf，若有常数M使Mf|)4(，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。（复化辛甫生公式）解：100111)()()(dxxfdxxfdxxf)1(61)5.0(64)0(61)0(61)5.0(64)1(6

26、1ffffff 1667.116672946644161 1022)4(0121)4(2)1()5.0)(0(!4)()0()5.0)(1(!4)(dxxxxfdxxxxfSI)1()5.0)(0()0()5.0)(1(24102012dxxxxdxxxxM 0042.06)25.0(6)1()5.0)(0(1225.002102MdtttMdxxxxM M008.0 7 已知高斯求积公式)57735.0()57735.0()(11ffdxxf 将区间0,1二等分，用复化高斯求积法求定积分10dxx的近似值。（高斯公式），解：dxxdxxdxx12/12/1010 对于dxx2/10作变量换t

27、x4141，有 57735.0157735.0181181112/10dttdxx 对于dxx12/1作变量换tx4143，有 57735.0357735.03813811112/1dttdxx 6692.057735.0357735.0357735.0157735.018110dxx 8 试确定常数 A，B，C 和a，使得数值积分公式)()0()()(22aCfBfaAfdxxf有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少它是否为高斯型的（代数精度的应用和计算，高斯点的特征）解：分别取432,1)(xxxxxf，使上述数值积分公式准确成立，有；564)()(0)()(316)(

28、)(0)()(4443322aCaAaCaAaCaAaCaACBA 整理得：564)(316)(442CAaCAaCACBA 解得：512,916,910aBCA。数值求积公式为)512(910)0(916)512(910)(22fffdxxf 再取5)(xxf，左边=2250dxx，右边=0)512(9100916)512(91055 再取6)(xxf，左边=2267256dxx，右边=25768)512(9100916)512(91066$可见，该数值求积公式的最高代数精度为 5。由于该公式中的节点个数为 3，其代数精度达到了5132次，故它是高斯型的。9 设)(xPn是0,1区间上带权x

29、x)(的最高次幂项系数为 1 的正交多项式系（1）求)(2xP。（2）构造如下的高斯型求积公式)()()(110010 xfAxfAdxxxf。（高斯求积）解（1）：采用施密特正交化方法，来构造带权xx)(且在0，1上正交的多项式序列 取1)(0 xP，设)()(001xPxxP，且它与)(0 xP在0，1上带权xx)(正交，于是),(),(),(0000010PPPxPP，32),().(101020000 xdxdxxPPPx 故32)(32)(01xxPxxP。/设)()()(001122xPxPxxP，且它与)(0 xP、)(1xP在0，1上带权xx)(正交，于是),(),(),(00

30、000220PPPxPP，21),(),(1010300020 xdxdxxPPPx),(),(),(01111221PPPxPP，56)32()32(),(),(10210311121dxxxdxxxPPPx 1035621)32(56)(21)(56)(220122xxxxxPxPxxP 解（2）：10356)(22xxxP的零点为：10662,1x。设)1066()1066()(1010fAfAdxxxf 分别取xxf,1)(，使上述求积公式准确成立，有 3/1106610662/11010AAAA，即631211010AAAA!解得：661410A，661411A。高斯型求积公式为)1

31、066()66141()1066()66141()(10ffdxxxf 第五章 非线性方程求根 姓名 学号 班级 习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求根的收敛性和收敛速度的讨论。1 用二分法求方程012 xx的正根，要求误差小于。（二分法）解：1)(2xxxf，01)0(f，01)2(f，)(xf在0，2连续，故0，2为函数的有根区间。（1）计算01)1(f，故有根区间为1，2。（2）计算041123)23()23(2f，故有根区间为2,23。（3）计算0165147)47()47(2f，故有根区间为47,23。（4）计算06411813)813()813(2f，故有根

32、区间为813,23。（5）计算06411813)813()813(2f，故有根区间为813,23。（6）计算02563111625)1625()1625(2f，故有根区间为813,1625。（7）计算010245513251)3251()3251(2f，故有根区间为813,3251。（8）若取中点64103c作为取根的近似值，其误差小于032.03213251813 取近似根6094.164103*x，可满足精度要求。2 说明方程04ln2xx 在区间1，2内有惟一根*x，并选用适当的迭代法求*x（精确至 3 位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。（迭代法）解：4ln)(2xxxf2,1x

33、 03)1(f，02ln)2(f，02212)(xxxf，故函数单调增加，因此，该方程在（1，2）之间存在着惟一的实根。取迭代函数xxln4)(2,1x 显然21ln4)(2ln431x，且 131ln41ln41)(exxx 故迭代kkxxln41（,2,1k）对任意初始值2,11x收敛。对于初值5.11x，其迭代值分别为 8959.12x，8331.13x，8423.14x，8409.15x 由于315410210014.0 xx，故8409.15x作为近似值，已精确到了 3 位有效数字。3 设有解方程0cos2312xx的迭代法nnxxcos3241(1)证明Rx 0均有*limxxnn

34、（*x为方程的根）。(2)此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论。(3)取40 x用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过310，列出各次迭代值。（和收敛性讨论）解(1)：xxcos324)(，132sin32)(xx（),(x），故该迭代对任意初值均收敛于方程的根*x。解(2)：由*cos324xx，故有32314324324310*x。0sin32)(*xx，故该迭代的收敛速度是 1 阶的。解(3):取40 x，代入迭代式，可计算出以下结果：-5642.31x，3920.32x，3541.33x，3483.34x，3475.35x 由于345100008.0 xx，取3475.3*x可满足精度

35、要求。4 设)(xx，1)(maxx，试证明：由,1,0)(1nxxnn，得到的序列 nx收敛于x。（收敛性证明）证明：由)(xx知，方程)(xx有根。*01*12*1)()(xxxxxxxxxxnnnnn 由10，当n时，有0*1xxn，即序列 nx收敛于x。5 设方程0sin233xx在0,1内的根为*x，若采用迭代公式nnxxsin3211，试证明：Rx 0均有*(limxxxnn为方程的根)；此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。（迭代法和收敛性讨论）解：迭代函数xxsin321)(-32cos32)(xx，当),(x 故迭代在区间),(上整体收敛。设*limxxnn，则*sin321x

36、x，且 235321sin321321310*xx 故 0cos32)(*xx 故该迭代的收敛速度为 1 阶的。6 方程0123 xx在5.10 x附近有根，把方程写成 3 种不同的等价形式：(1)211xx，对应迭代格式：2111nnxx|(2)231xx，对应迭代格式：3211nnxx(3)112xx，对应迭代格式：111nnxx 讨论这些迭代格式在5.10 x时的收敛性。若迭代收敛，试估计其收敛速度，选一种收敛格式计算出5.10 x附近的根到 4 位有效数字。（收敛速度的计算和比较）解：1)(23xxxf，23,1x 01)1(f，081)23(f，故方程在23,1上有根*x。06439

37、)45(f，故方程在23,45上有根*x。0512149)811(f，故方程在23,811上有根*x。对于迭代式（1）：211)(xx，32)(xx，113311024)118(22)(33*xx 而02)(3*xx，故该迭代局部收敛，且收敛速度为 1 阶的。对于迭代式（2）：在2,1 x上，3/12)1()(xx，3/22)1(32)(xxx 13432)2(32)(3333/2xxxx，又0)1(32)(3/22*xxx，故该迭代在2,1 x上整体收敛，且收敛速度为一阶的。对于迭代式（3）：11)(xx在1，2上的值域为),1，该迭代式不收敛。取迭代式3211nnxx，5.10 x进行计算

38、，其结果如下：4812.11x，4727.12x，4688.13x，4670.14x 4662.15x，4659.16x，4657.17x，4656.18x 417810210001.0 xx，取4656.18x为近似值具有 4 位有效数字。;7 设23)()(axxf(1)写出解0)(xf的牛顿迭代格式；(2)证明此迭代格式是线性收敛的。（牛顿迭代的构造与收敛速度）解：牛顿迭代式为 21665nnnxaxx，方程的根为3*ax，2665)(xaxx，3365)(xax，021)(3a 因121)(3a，故迭代局部收敛。又因021)(3a，故迭代收敛速度为 1 阶。8 设计一个计算a1的牛顿迭

39、代法，且不用除法（其中0a）。（牛顿迭代法）解：考虑方程01)(xaxf，21)(xxf，222/1/1)(xaxxxaxx/212nnnxaxx 而0122)1(aaa，该迭代局部收敛。9 用牛顿法求115的近似值，取100 x或 11 为初始值，计算过程保留 4 位小数。（牛顿迭代的构造）解：考虑方程0115)(2 xxf，xxf2)(，)115(212115)(2xxxxxx)115(211nnnxxx 取100 x为初始值，计算其迭代值如下：7500.101x，7238.102x，7238.103x 取110 x为初始值，计算其迭代值如下：#7272.101x，7238.102x，72

40、38.103x 10 设*x是非线性方程0)(xf的 m 重根，试证明：迭代法)()(1nnnnxfxfmxx 具有至少 2 阶的收敛速度。（收敛速度证明）解：设*x是非线性方程0)(xf的 m 重根，则)()()(*xgxxxfm，且0)(*xg及2m，其牛顿迭代函数为)()()()()()()()()()()()()()(*1*xgxxxmgxgxxmxxgxxxgxxmxgxxmxxfxfmxxmmm牛顿迭代式)()()()()(*1nnnnnnnxgxxxmgxgxxmxx)()()()()()()(*11nnnnnnnnnxgxxxmgxgxxmxxxxxxe2*2*)()()()(

41、)()()()()(nnnnnnnnnnexgxxxmgxgxgxxxmgxgxx )()()()()()(limlim*21xmgxgxgxxxmgxgeennnnnnnn 故该迭代的收敛速度至少是 2 阶的。11 设*x是非线性方程0)(xf的 m 重根，证明：用牛顿迭代法求*x只是线性收敛。（收敛速度证明）解：设*x是非线性方程0)(xf的 m 重根，则)()()(*xgxxxfm，且0)(*xg及2m，其牛顿迭代函数为)()()()()()()()()()()()()()(*1*xgxxxmgxgxxxxgxxxgxxmxgxxxxfxfxxmmm牛顿迭代式)()()()()(*1nn

42、nnnnnxgxxxmgxgxxxx nnnnnnnnexgxxxmgxgxxxxe)()()()(1)(*11 011)()(1)()()()(1limlim*1mxmgxgxgxxxmgxgeennnnnnnn)故收敛速度为 1 阶的。12 设aa)(，)(x在a附近有直到p阶的连续导数，且0)()()1(aap，0)()(ap，试证：迭代法)(1nnxx在a附近是p阶收敛的。（收敛速度证明）解：将)(x在a点附近作泰勒展式，有 ppppaxpaxpaaxaaxaax)(!)()()!1()()(!2)()(!1)()()()(1)1(2 ppaxpa)(!)()(，其中，在x与a之间。于

43、是：pnnppnnpnnnepaxpaxaxe1)()(!)()()()(11，其中，n在nx与a之间。由于axnnlim，故annlim，从而*!)(!)(limlim)()(1papeeppnpnnn。因此，迭代的收敛速度为 p。第六章 常微分方程数值解 姓名 学号 班级 习题主要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和稳定性的讨论，线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。1 用改进的欧拉公式，求以下微分方程 1,01)0(2xyyxyy 的数值解（取步长2.0h），并与精确解作比较。（改进的尤拉公式的应用）解：原方程可转化为 xyyy22，令22yz，有xzdxdz22 解此一阶线性微分方

44、程，可得 12 xy。利用以下公式)4,3,2,1,0()(21)2(2.0)2(2.01iyyyyxyyyyxyyycpipipiciiiip 求在节点)5,4,3,2,1(2.0iixi处的数值解iy，其中，初值为1,000yx。MATLAB 程序如下：x(1)=0。%初值节点 y(1)=1。%初值、fprintf(x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%fn,1,x(1),1,y(1),1,y(1)。for i=1:5 yp=y(i)+*(y(i)-2*x(i)/y(i)。%预报值 yc=y(i)+*(yp-2*x(i)/yp)。%校正值 y(i+1)=(yp+yc)/2。%

45、改进值 x(i+1)=x(i)+。%节点值 yy(i+1)=sqrt(2*x(i+1)+1)。%精确解 fprintf(x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%fn,i+1,x(i+1),i+1,y(i+1),i+1,yy(i+1)。(end 程序运行的结果如下：x(1)=,y(1)=,yy(1)=x(2)=,y(2)=,yy(2)=x(3)=,y(3)=,yy(3)=x(4)=,y(4)=,yy(4)=x(5)=,y(5)=,yy(5)=x(6)=,y(6)=,yy(6)=！2 用四阶龙格库塔法求解初值问题0)0(1yyy，取2.0h,求4.0,2.0 x时的数值解.要求写出由n

46、nyxh,直接计算1ny的迭代公式，计算过程保留 3 位小数。（龙格库塔方法的应用）解：四阶龙格-库塔经典公式为 11234(22)6nnhyykkkk 1(,)nnkf xy 2111(,)22nnkf xh yhk 3211(,)22nnkf xh yhk 43(,)nnkf xh yhk 由于yyxf1),(，在各点的斜率预报值分别为：nyk11)21)(1()1(21)2(112hyyhykhyknnnn)21(21)1()21)(1(21)2(123hhyhyhykhyknnnn)21(21(1)1()21(21)1(1)(134hhhyhhyhyhkyknnnn 四阶经典公式可改写

47、成以下直接的形式：)436)(1(6321hhhyhyynnn 在2.01 xx处，有 1813.0)4)2.0()2.0(2.036)(01(62.00321y 在4.02 xx处，有 3297.0)4)2.0()2.0(2.036)(1813.01(62.01813.0322y 注：这两个近似值与精确解xey1在这两点的精确值十分接近。3 用梯形方法解初值问题 1)0(0yyy 证明其近似解为 nnhhy22 并证明当0h时，它收敛于原初值问题的准确解xey。:解：显然，xey是原初值问题的准确解。求解一般微分方程初值问题的梯形公式的形式为),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy

48、 对于该初值问题，其梯形公式的具体形式为)(211nnnnyyhyy，nnyhyh)21()21(1，nnyhhy)22(1 于是：101121222222)22(nnnnnhhyhhyhhyhhy 亦即：nnhhy22,注意到：nhnhxn 0，hxnn，令hht22，2111th有 22)1()1()1(221nnnnnxtxxtxhxnttthhy 从而 nnnxxttxtnhetty2000)1(lim)1(limlim 即：当0h时，ny收敛于原初值问题的准确解nxnexy)(。4 对于初值问题1)0(10yyy，证明当2.0h时，欧拉公式绝对稳定。（显式和隐式欧拉公式的稳定性讨论）

49、证明：显式的欧拉公式为nnnnnyhyxhfyy)101(),(1 从而nnehe)101(1，由于2.00 h，11011h，nnee1 因此，显式欧拉公式绝对稳定。隐式的欧拉公式为111110),(nnnnnnhyyyxhfyy hyynn1011，heenn1011 由于h0，110110h，nnee1 因此，隐式的欧拉公式也是绝对稳定的。5 证明：梯形公式),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy无条件稳定。（梯形公式的稳定性讨论）解：对于微分方程初值问题)0(1)0(yyy 其隐式的梯形公式的具体形式可表示为！211nnnnyyhyy，nnyhyh)21()21(1，nnyh

50、hy)22(1 从而nnehhe)22(1 由0h，0可知，nnneehhe)22(1，故隐式的梯形公式无条件稳定。6 设有常微分方程的初值问题00)(),(yxyyxfy，试用泰勒展开法，构造线性两步法数值计算公式)()(11011nnnnnffhyyy，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项。（局部截断误差和主项的计算）解：假设)(nnxyy，)(11nnxyy，利用泰勒展式，有 32116)(2)()()()(hxyhxyhxyxyxyynnnnnn)()(,(),(nnnnnnxyxyxfyxff 21111112)()()()()(,(),(hxyhxyxyxyxyxfyxffn