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1、全等三角形全等三角形一、全等三角形一、全等三角形1.什么是全等三角形？一个三角形经过哪什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？些变化可以得到它的全等形？2：全等三角形有哪些性质？：全等三角形有哪些性质？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。它的全等形。(1)全等三角形的对应边相等、对应角相等。全等三角形的对应边相等、对应角相等。(2)全等三角形的周长相等、面积相等。全等三角形的周长相等、面积相等。(3)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高
2、全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。线分别相等。知识回顾：知识回顾：一般三角形一般三角形 全等的条件：全等的条件：1.定义定义(重合重合)法；法；2.SSS；3.SAS；4.ASA；5.AAS.直角三角形直角三角形 全等全等特有特有的条件：的条件：HL.包括直角三角形包括直角三角形不包括其它形不包括其它形状的三角形状的三角形解题解题中常中常用的用的4种种方法方法三角形全等的判定方法：三角形全等的判定方法：边边边：边边边：三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等(可简写成可简写成“SSS”)边角边边角边:两边两边和和它们的夹角对应相等两个三角形全等它们的夹角对
3、应相等两个三角形全等(可简写成可简写成“SAS”)角边角角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可可简写成简写成“ASA”)角角边角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等等(可简写成可简写成“AAS”)斜边斜边.直角边：直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等角形全等(可简写成可简写成“HL”)方法指引方法指引证明两个三角形全等的基本思路：证明两个三角形全等的基本思路：(1)：已知两边：已知两边-找第三边找第三边(SSS)找夹角找夹角(SAS)
4、(2):已知一边一角已知一边一角-已知一边和它的邻角已知一边和它的邻角找是否有直角找是否有直角(HL)已知一边和它的对角已知一边和它的对角找这边的另一个邻角找这边的另一个邻角(ASA)找这个角的另一个边找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角找这边的对角(AAS)找一角找一角(AAS)已知角是直角，找一边已知角是直角，找一边(HL)(3):已知两角已知两角-找两角的夹边找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边找夹边外的任意边(AAS)练习练习1.证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法择恰当的判定方法2.全等三角形，是证明两条全
5、等三角形，是证明两条线段线段或两个或两个角角相等的重要方相等的重要方法之一，证明时法之一，证明时 要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。角形中。分析分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。什么条件。有有公共边公共边的，公共边一定是对应边，的，公共边一定是对应边，有有公共角公共角的，的，公共角一定是对应角，有公共角一定是对应角，有对顶角对顶角，对顶角也是对应角，对顶角也是对应角总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。角的内部到角的两边的距离相等的
6、点角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。在角的平分线上。用法：用法：用法：用法：QDOA，QEOB，QDQE 点点Q在在AOB的平分线上的平分线上角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.用法：用法：用法：用法：QDOA，QEOB，点点Q在在AOB的平分线上的平分线上 QDQE二、角的平分线二、角的平分线1.角平分线的性质：角平分线的性质：2.角平分线的判定：角平分线的判定：1.如图：在如图：在ABC中，中，C=900，AD平平分分 BAC，DEAB交交AB于于E，BC=30，BD：CD=3：2，则，则DE=。12cABDE三三.练习：练习：2.如图，
7、如图，ABC的角平分线的角平分线BM，CN相交于点相交于点P，求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上，上，ABCPMNDEFPD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等).).同理，同理，PE=PF.PDPE=PF.即点即点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相的距离相等等证明：过点证明：过点P作作PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F3.如图，已知如图，已知ABC的外角的外角CBD和和BCE的的平分线相交于点平分线相交于点F，求证：点求证：点F在在DAE的平分线上
8、的平分线上 证明：证明：过点过点F作作FGAE于于G，FHAD于于H，FMBC于于MGHM点点F在在BCE的平分线上，的平分线上，FGAE，FMBCFGFM又又点点F在在CBD的平分线上，的平分线上，FHAD，FMBCFMFHFGFH点点F在在DAE的平分线的平分线上上4.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：在一条直线上求证：BE=AD EDCAB变式：变式：以上条件不变，将以上条件不变，将ABC绕点绕点C旋转一定角度旋转一定角度(大于零度而小于六十度大于零度而小于六十度)，以上的结论海成立吗？以上的结论海成立吗？证明：证明：ABC和
9、和ECD都是等边三角形都是等边三角形 AC=BC DC=EC BCA=DCE=60 BCA+ACE=DCE+ACE即即BCE=DCA在在ACD和和BCE中中 AC=BC BCE=DCA DC=EC ACD BCE (SAS)BE=AD5：如图，已知：如图，已知E在在AB上，上，1=2，3=4，那么，那么AC等于等于AD吗？为什么？吗？为什么？4321EDCBA解：解：AC=AD理由：在理由：在EBC和和EBD中中 1=2 3=4 EB=EB EBC EBD (AAS)BC=BD 在在ABC和和ABD中中 AB=AB 1=2 BC=BD ABC ABD (SAS)AC=AD练习练习6：如图，已知
10、，如图，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。等三角形？请任选一对给予证明。FEDCBA答：答：ABC DEF证明：证明：ABDE A=D AF=DC AF+FC=DC+FC AC=DF在在ABC和和DEF中中 AC=DF A=D AB=DE ABC DEF (SAS)练习练习7：如图，已知，：如图，已知，EGAF，请你从下面三个条件中，再选出两，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。(只只写出一种情况写出一种情况)AB=AC D
11、E=DF BE=CF 已知：已知：EGAF 求证：求证：GFEDCBA高高拓展题拓展题8.已知已知AB=AE，AC=AD，ACAD，ABAE；ECAB21D(2)怎样变换怎样变换ABC和和AED中的一个位置，可使它们重合？中的一个位置，可使它们重合？(3)观察观察ABC和和AED中对应边有怎样的位置关系？中对应边有怎样的位置关系？(4)试证试证EDBC(1)观察图中有没有全等三角形？观察图中有没有全等三角形？拓展题拓展题9.如图，已知如图，已知A=D，AB=DE，AF=CD，BC=EF.求证求证:BCEFBCAFED拓展题拓展题10.如图，已知如图，已知ACBD，EA、EB分别平分分别平分CA
12、B和和DBA，CD过点过点E，则，则AB与与AC+BD相等吗？请说明理由。相等吗？请说明理由。ACEBD要证明要证明两条线段的和与一条线段两条线段的和与一条线段相等相等时常用的两种方法：时常用的两种方法：1、可在、可在长线段上截取长线段上截取与与两条线段两条线段中一条相等的一段中一条相等的一段，然后证明剩，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。余的线段与另一条线段相等。(割割)2、把一个三角形、把一个三角形移到移到另一位置，另一位置，使使两线段补成一条线段两线段补成一条线段，再证明，再证明它与它与长线段相等长线段相等。(补补)11.如图：在四边形如图：在四边形ABCD中，点中，点E在边在边CD上
13、，连接上，连接AE、BE并延长并延长AE交交BC的延长的延长线于点线于点F，给出下列，给出下列5个关系式：个关系式：ADBC，DE=EC1=2，3=4，AD+BC=AB。将其中三个关。将其中三个关系式作为已知，另外两个作为结论，构成系式作为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命正确的命题。请用序号写出两个正确的命题：题：(书写形式：如果书写形式：如果那么那么)()(1)；(2)；12.如图，在如图，在RABC中，中，ACB=450，BAC=900，AB=AC，点，点D是是AB的中点，的中点，AFCD于于H交交BC于于F，BEAC交交AF的延长线于的延长线于E，求，求证
14、：证：BC垂直且平分垂直且平分DE.13.已知：如图：在已知：如图：在ABC中，中，BE、CF分别是分别是AC、AB两边上的高，在两边上的高，在BE上截取上截取BD=AC，在，在CF的延长线上的延长线上截取截取CG=AB，连结，连结AD、AG。求证：求证：ADG 为等腰直角三角形。为等腰直角三角形。14.已知：如图已知：如图21，ADBAC，DEAB于于E，DFAC于于F，DB=DC，求证：求证：EB=FC总结提高总结提高学习全等三角形应注意以下几个问题：学习全等三角形应注意以下几个问题：(1):要正确区分要正确区分“对应边对应边”与与“对边对边”，“对应角对应角”与与 “对角对角”的不同含义；的不同含义；(2)：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；要写在对应的位置上；(3)：要记住：要记住“有三个角对应相等有三个角对应相等”或或“有两边及其有两边及其中一边的对角对应相等中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；的两个三角形不一定全等；(4)：时刻注意图形中的隐含条件，如：时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角公共角”、“公共边公共边”、“对顶角对顶角”