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1、2.2等差数列理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章数列第一课时等差数列考点一考点二考点三知识点一知识点二知识点三 1在在现实现实生活中，我生活中，我们经们经常常这样这样数数，从数数，从0开始，每开始，每隔隔5数一次，可以得到数列：数一次，可以得到数列：0,5，_，_，_，_，2鞋的尺鞋的尺码码，按照国家，按照国家规规定，有：定，有：22,22.5,23,23.5,24,24.5，3水水库库的管理人的管理人员为员为了保了保证优质鱼类证优质鱼类有良好的生有良好的生活活环环境，需定期放水清理水境，需定期放水清理水库库中的中的杂鱼杂鱼如果一个水如果一个水库库的水位的水位为为18 cm，自然放水每
2、天水位降低，自然放水每天水位降低2.5 m，最低降，最低降至至5 m那么从开始放水算起，到可以那么从开始放水算起，到可以进进行清理工作的行清理工作的那天，水那天，水库库每天的水位每天的水位组组成数列成数列(单单位：位：m)：18,15.5,13,10.5,8,5.5问题问题：观观察下面的察下面的这这三个数列：三个数列：0,5,10,15,20，22,22.5,23,23.5,24,24.5，18,15.5,13,10.5,8,5.5这这些数列有什么共同特点呢？些数列有什么共同特点呢？提示：提示：以上三个数列从第以上三个数列从第2项项起，每一起，每一项项与前一与前一项项的差都的差都等于同一个常数
3、等于同一个常数(即：每个数列都具有相即：每个数列都具有相邻邻两两项项差差为为同一同一个常数的特点个常数的特点)如果一个数列从第如果一个数列从第 项项起，每一起，每一项项与它的前一与它的前一项项的差等于的差等于 常数，那么常数，那么这这个数列就叫做等差个数列就叫做等差数列，数列，这这个常数叫做等差数列的个常数叫做等差数列的 ，通常用字母，通常用字母 表示表示.2同一个同一个公差公差d问题问题：如果在：如果在a a与与b b中中间间抽入一个数，使抽入一个数，使a a，A A，b b成等差成等差数列，那么数列，那么A A应满应满足什么条件？足什么条件？1等差中等差中项项：如果如果a，A，b成成 数列
4、，那么数列，那么A叫做叫做a与与b的等差中的等差中项项 2等差中等差中项项的性的性质质A是是a与与b的等差中的等差中项项 (或或 ).等差等差2Aab 问题问题：若一等差数列：若一等差数列an的首的首项为项为a1，公差是，公差是d，则则根据其定根据其定义义可得：可得：a2a1_，即，即a2a1_；a3a2_，即，即a3a2da1_；a4a3_，即，即a4a3da1_；由此可由此可归纳归纳等差数列的通等差数列的通项项公式公式an_.提示：提示：a2a1a3a2a4a3d，a2a1d，a3a12d，a4a13d，由此由此归纳归纳：ana1(n1)d.已知等差数列已知等差数列an的首的首项为项为a1
5、，公差，公差为为d，递递推公式推公式通通项项公式公式 d(n2)an anan1a1(n1)d 1对对等差数列定等差数列定义义的理解的理解 (1)“每一每一项项与它的前一与它的前一项项的差的差”这这一运算要求是指一运算要求是指“相相邻邻且后且后项项减去前减去前项项”强强调调了：了：作差的作差的顺顺序；序；这这两两项项必必须须相相邻邻 (2)定定义义中的中的“同一常数同一常数”是指全部的后是指全部的后项项减去前一减去前一项项都等于同一个常数，否都等于同一个常数，否则这则这个数列不能称个数列不能称为为等差数列等差数列 (3)等差数列的定等差数列的定义义可用符号可用符号语语言表述言表述为为：在数列在
6、数列an中，若中，若an1and(常数常数)(nN*)，则则称数列称数列an为为等差数列等差数列 2在等差数列的通在等差数列的通项项公式公式ana1(n1)d中有中有4个个变变量量an、a1、n、d，在，在这这4个个变变量中可以量中可以“知三求一知三求一”其其作用作用为为 (1)可以由首可以由首项项和公差求出等差数列中的任一和公差求出等差数列中的任一项项；(2)已知等差数列的任意两已知等差数列的任意两项项，就可以求出首，就可以求出首项项和和公差从而可求等差数列中的任一公差从而可求等差数列中的任一项项；(3)由等差数列的通由等差数列的通项项公式可求出数列中的任意一公式可求出数列中的任意一项项，也
7、可判断某数是否，也可判断某数是否为为数列中的数列中的项项及是第几及是第几项项第一第一课时课时等等 差差 数数 列列例例1已知数列已知数列an的通的通项项公式公式anpn2qn(p、qR，且且p、q为为常数常数)记记bnan1an.(1)当当p和和q满满足什么条件足什么条件时时，数列，数列an是等差数列？是等差数列？(2)求求证证：对对任意任意实实数数p和和q，数列，数列bn是等差数列是等差数列思路点思路点拨拨利用等差数列的定利用等差数列的定义义作答作答(1)考察考察an1an，寻寻求使之求使之为为常数常数时时p、q应满应满足的条件；足的条件；(2)证证bn1bn是一个常数是一个常数精解精解详详
8、析析(1)an1anp(n1)2q(n1)(pn2qn)2pnpq.欲使欲使an为为等差数列，等差数列，则则2pnpq应应是一个与是一个与n无关无关的常数，的常数，而只有而只有2p0即即p0时时，an1anq为为常数常数故当故当p0，qR时时，数列，数列an是等差数列是等差数列(2)an1an2pnpq，an2an12p(n1)pq，bn1bn(an2an1)(an1an)2p为为一个常数，一个常数，故数列故数列bn是等差数列是等差数列 一点通一点通定定义义法是判定法是判定(或或证证明明)数列数列an是等差数是等差数列的基本方法，其步列的基本方法，其步骤为骤为 (1)作差作差an1an；(2)
9、对对差式差式进进行行变变形；形；(3)当当an1an是一个与是一个与n无关的常数无关的常数时时，数列，数列an是是等差数列；当等差数列；当an1an不是常数，是与不是常数，是与n有关的代数式有关的代数式时时，数列，数列an不是等差数列不是等差数列1数列数列an的通的通项项公式公式an2n5，则则此数列是此数列是 ()A公差公差为为2的等差数列的等差数列 B公差公差为为5的等差数列的等差数列C公差公差为为n的等差数列的等差数列 D非等差数列非等差数列解析：解析：an1an2(n1)5(2n5)2.数列数列an是公差是公差为为2的等差数列的等差数列答案：答案：A2已知数列已知数列an的通的通项项公
10、式是公式是an7n2，求，求证证：数列：数列lgan是等差数列是等差数列证证明：明：lg an1lg anlg 7n3lg 7n2(n3)lg 7(n2)lg 7lg 7是一个常数是一个常数数列数列lg an是等差数列是等差数列.思路点思路点拨拨(1)可直接利用通可直接利用通项项公式列关于公式列关于a1与与d的方程的方程组组求解，也可以由公式求解，也可以由公式aman(mn)d求公差求公差d，再求首，再求首项项a1；(2)可先求得首可先求得首项项a1和公差和公差d，再利用通，再利用通项项公式求解，也可公式求解，也可由公式由公式aman(mn)d求公差，再利用此公式求解求公差，再利用此公式求解
11、(2)若已知等差数列中的任意两若已知等差数列中的任意两项项am，an，求，求通通项项公式或其他公式或其他项时项时，则则运用运用aman(mn)d则则较为简较为简捷捷3等差数列等差数列1，1，3，89的的项项数是数是 ()A92 B47C46 D45解析：解析：可知可知a11，a21，公差公差da2a12.令令an89，则则89a1(n1)d，即即8912(n1)，得，得n46.答案：答案：C4在等差数列在等差数列an中，若中，若a1a612，a47，则则a9_.答案：答案：175(1)求等差数列求等差数列8,5,2，的第的第20项项；(2)401是不是等差数列是不是等差数列5，9，13，的的项
12、项？如果是，是第几？如果是，是第几项项？解：解：(1)由由a18，d583，n20，得得a208(201)(3)49.(2)由由a15，d9(5)4，得得这这个数列的通个数列的通项项公式公式为为an54(n1)4n1，由由题题意知，意知，4014n1.得得n100，即，即401是是这这个数列的第个数列的第100项项.例例3(12分分)甲、乙两人甲、乙两人连续连续6年年对对某某县农县农村养村养鸡业规鸡业规模模进进行行调查调查，提供两个不同的信息，提供两个不同的信息图图如如图图所示甲所示甲调查调查表表明：从第明：从第1年每个养年每个养鸡场鸡场出出产产1万只万只鸡鸡上升到第上升到第6年平均每个年平均
13、每个鸡场鸡场出出产产2万只万只鸡鸡乙乙调查调查表明：由第表明：由第1年养年养鸡场鸡场个数个数30个个减少到第减少到第6年年10个个 请请您根据提供的信息您根据提供的信息说说明，求明，求 (1)第第2年养年养鸡场鸡场的个数及全的个数及全县县出出产鸡产鸡的的总总只数；只数；(2)到第到第6年年这这个个县县的养的养鸡业鸡业比第比第1年是年是扩扩大了大了还还是是缩缩小小了？了？请说请说明理由；明理由；(3)哪一年的哪一年的规规模最大？模最大？请说请说明理由明理由 思路点思路点拨拨首先首先认认真真阅读题阅读题目中目中给给出的条件，出的条件，寻寻找找有用的信息，然后根据有用的信息，然后根据给给出的数据和出
14、的数据和图图象建立等差数列模象建立等差数列模型，型，进进行求解，得出行求解，得出结论结论精解精解详详析析由由题题干干图图可知，从第可知，从第1年到第年到第6年平均每个年平均每个鸡鸡场场出出产产的的鸡鸡数成等差数列，数成等差数列，记为记为an，公差，公差为为d1，且，且a11，a62；从第；从第1年到第年到第6年的养年的养鸡场鸡场个数也成等差数列，个数也成等差数列，记为记为bn，公差，公差为为d2，且，且b130，b610；从第从第1年到第年到第6年全年全县县出出产鸡产鸡的的总总只数只数记为记为数列数列cn，则则cnanbn.(3分分)答：答：(1)第第2年养年养鸡场鸡场的个数的个数为为26个，
15、全个，全县县出出产鸡产鸡的的总总只只数是数是31.2万只；万只；(2)到第到第6年年这这个个县县的养的养鸡业鸡业比第比第1年年缩缩小小了；了；(3)第第2年的年的规规模最大模最大(12分分)一点通一点通(1)在在实际问题实际问题中，若涉及到一中，若涉及到一组组与与顺顺序有关的数的序有关的数的问题问题，可考，可考虑虑利用数列方法解决，若利用数列方法解决，若这这组组数依次成直数依次成直线线上升或下降，上升或下降，则则可考可考虑虑利用等差数列利用等差数列方法解决方法解决 (2)在利用数列方法解决在利用数列方法解决实际问题时实际问题时，一定要分，一定要分清首清首项项、项项数等关数等关键问题键问题6某人
16、某人练习练习写毛笔字，第一天写了写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，个大字，则则此人每天比前一天多写此人每天比前一天多写_个大字个大字答案：答案：47某公司某公司经销经销一种数一种数码产码产品，第品，第1年年获获利利200万元，从万元，从第第2年起由于市年起由于市场竞场竞争等方面的原因，利争等方面的原因，利润润每年比上每年比上一年减少一年减少20万元，按照万元，按照这这一一规规律如果公司不开律如果公司不开发发新新产产品，也不品，也不调调整整经营经营策略，从哪一年起，策略，从哪一
17、年起，该该公司公司经销这经销这一一产产品将品将亏亏损损？1在等差数列的通在等差数列的通项项公式公式ana1(n1)d中，中，共有四个量已知任意三个量可求得第四个量，其中共有四个量已知任意三个量可求得第四个量，其中首首项项和公差称之和公差称之为为基本量涉及等差数列的基本概念基本量涉及等差数列的基本概念的的问题问题，常用基本量，常用基本量a1，d来来处处理在解理在解题题中，善于中，善于选选择择公式，即尽量减少运算量，可达到快速、准确解公式，即尽量减少运算量，可达到快速、准确解题题的目的的目的2判断一个数列是否判断一个数列是否为为等差数列的常用方法等差数列的常用方法方法方法符号符号语语言言结论结论定定义义法法anan1d(常数常数)(n2且且nN*)an是等是等差数列差数列等差中等差中项项法法2anan1an1(n2且且nN*)通通项项公公式法式法anknb(k，b为为常数，常数，nN*)