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1、二、第二类换元法二、第二类换元法(变量替换法变量替换法)第二节一、第一类换元法一、第一类换元法(凑微分法凑微分法)机动 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 第五章 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 求反导数要比求导困难，需要发求反导数要比求导困难，需要发展一些求反导数的技巧。这些技巧的展一些求反导数的技巧。这些技巧的理论依据就是理论依据就是求反导数的运算是求导求反导数的运算是求导数的逆运算数的逆运算，从而有关导数的运算法，从而有关导数的运算法则可以反过来得到相应的求原函数的则可以反过来得到相
2、应的求原函数的运算法则。运算法则。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将说明说明化为化为一、第一类换元积分法经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用凑微分法的基本思路凑微分法的基本思路步骤步骤:(1)凑微分；凑微分；(2)换元求出积分；换元求出积分；(3)代回原变量。代回原变量。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消
3、费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例 求求解解经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例 求求解解:原式原式熟练后可不把熟练后可不把u写出来，心里明白，直接求解写出来，心里明白，直接求解.例例.求解解:令则想到公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例.求解解:令则故原式原式=注注:当时机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例.求想到解解:(直接配元)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例.求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似例例.求解
4、解:原式原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用练习：求练习：求几几点注意：要用换元积分法点注意：要用换元积分法(2)换元后被积函数容易求原函数，比如可由基本积分表求出的函数.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用(3).用凑微分法计算不定积分,
5、常常需要对被积函数作适当的代数或三角恒等变换.(4).有些问题需要反复使用凑微分法求解不定积分.例例.(5)常用的几种配元形式:万能凑幂法机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例.求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例.求解解:原式=例例.求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例 求求解解说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆当被积函数是三角函数相乘时，拆开开奇次项奇次项去凑微分去凑微分.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消
6、费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例 求求解解经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例 求求解解经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用证证(2).所以,公式公式例例.证明证明:(2).(1).经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用(1).再用(2)来证明(1):例例.求
7、解法解法1解法解法2 两法结果一样机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结小结常用简化技巧:(1)分项积分分项积分:(2)降低幂次降低幂次:(3)统一函数统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元巧妙换元或配元万能凑幂法机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如课后思考与练习课后思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)-(5)小题要掌握方法!)后面的题目感兴趣者自阅.2.求提示提示:法法1法法2法法3作业 目录 上页 下页 返回 结束 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失
8、，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用3.求解法解法1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用解法解法 2 同样可证或(P196 例16)机动 目录 上页 下页 返回 结束 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用4.求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费
9、者购买商品的价款或接受服务的费用5.求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用6.求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用7.求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析分析:经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用8.求解解:原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束