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1、高考数学二轮复习专项：数列(含详解)湖南师大附中高考数学二轮复习专项：数列1. 已知数列为等差数列,每相邻两项,分别为方程，（是正整数）的两根. w.w.w。k。s。5。u。c。o.m求的通项公式; 求之和；对于以上的数列an和cn,整数981是否为数列中的项？若是，则求出相应的项数；若不是,则说明理由。2。 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上(） 求数列的通项公式；（) 设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.3. 已知函数，数列是公差为d的等差数列，数列是公比为q的等比数列（q1,），若，, （1）求数列和的通项公式；（2）设数
2、列的前n项和为,对都有求 4。 各项均为正数的数列an的前n项和Sn，函数（其中p、q均为常数,且pq0），当时,函数f(x)取得极小值，点均在函数的图象上，（其中f(x)是函数f（x)的导函数） （1）求a1的值； （2）求数列的通项公式； （3）记的前n项和Tn。5. 已知函数且任意的、都有 （1)若数列 （2）求的值。6。 已知函数,若数列：成等差数列.(1）求数列的通项；（2）若,令，求数列前项和；(3）在（2）的条件下对任意，都有,求实数的取值范围.7. 已知函数，当时，证明：若，求实数的值。若，记的图象为C，当时,过曲线上点作曲线的切线交轴于点,过点作切线交轴于点，依次类推，得到数
3、列，求8。 设函数 (1)若在定义域内为单调函数，求的取值范围; （2）证明：; 9。 某公司按现有能力，每月收入为70万元,公司分析部门测算,若不进行改革,入世后因竞争加剧收入将逐月减少分析测算得入世第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且入世后每月再投入1万元进行员工培训,则测算得自入世后第一个月起累计收入Tn与时间n(以月为单位)的关系为Tn=an+b，且入世第一个月时收入将为90万元,第二个月时累计收入为170万元，问入世后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入10。 已知奇函数（）试确定实数a的值，并证明f(x）
4、为R上的增函数；（）记求;(）若方程在（，0）上有解，试证11。 已知,数列满足，。（）判断并证明函数的单调性；数列满足，为的前项和。证明： 。12。 已知数列的前项和为，若， （1）证明数列为等差数列,并求其通项公式; （2）令，当为何正整数值时，：若对一切正整数，总有，求的取值范围.13. 如图，将圆分成个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为。求（）；（）与的关系式；（)数列的通项公式，并证明.14。 设是两个数列，点为直角坐标平面上的点。（）对若三点共线，求数列的通项公式; （）若数列满足：,其中是第三项为8，公比为4的等比数列。求证：点列
5、(1,在同一条直线上，并求出此直线的方程.15. 已知数列中，且是函数的一个极值点。（1）求数列的通项公式；(2）若点Pn的坐标为，过函数图象上的点的切线始终与平行（点O为坐标原点）;求证：当时，不等式对成立。16. 函数的反函数为，数列满足：,数列满足：,(1）求数列和的通项公式；（2）记，若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围。17. 已知曲线y=,过曲线上一点（异于原点）作切线。(I)求证：直线与曲线y=交于另一点；（II）在(I)的结论中,求出的递推关系。若，求数列的通项公式；（III）在（II）的条件下，记，问是否存在自然数m,M,使得不等式mRnM对一切n恒成立，若存在，求出Mm的
6、最小值;否则请说明理由。18。 设数列满足 （I）用数学归纳法证明：；（II）求。19. 某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化,具体情况为下表所示：1998年1999年2000年新植亩数100014001800沙地亩数252002400022400而一旦植完,则不会被沙化：问：（l)每年沙化的亩数为多少? （ll）到那一年可绿化完全部荒沙地？20。 已知，数列满足， （)求证：数列是等比数列; （）当n取何值时，取最大值，并求出最大值;（III）若对任意恒成立，求实数的取值范围21。 以数列的任意
7、相邻两项为坐标的点均在一次函数的图象上，数列满足条件：，（1)求证：数列是等比数列；（2）设数列,的前n项和分别为,，若,求的值。22。 已知函数，若数列：成等差数列.(1)求数列的通项；（2)若,令，求数列前项和；（3）在(2）的条件下对任意，都有，求实数的取值范围。23. 设。其中，且(为自然对数的底数)。(1）求与的关系；（2)若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；(3)求证：(i） ；（ii) 24. 已知函数（)若函数f（x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；（）若函数f(x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，且，已知a1 = 4，求证：an 2n + 2；（）在（）的条
8、件下，试比较与的大小，并说明你的理由答案1。解：（1) 设等差数列的公差为d，由题意得 由 得 由 另解:由 得 （其余略）(2) （10分) (3） n是正整数， 是随n的增大而增大，又 981， 981 整数981不是数列中的项. 2.解：(）设这二次函数f（x）ax2+bx （a0) ,则 f(x）=2ax+b,由于f(x）=6x2，得a=3 ， b=2， 所以 f(x)3x22x。又因为点均在函数的图像上，所以3n22n。当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时,a1S13122615，所以，an6n5 ()（）由(）得知，故Tn（1).因此，要使（1）(）成立的m,必须
9、且仅须满足,即m10,所以满足要求的最小正整数m为10。3.解:（1）数列为等比数列， 为等比数列，又，解得d2， 又为等比数列， 而， （2）由 -得 对于,，,知其为等比数列 ， 4。解：（I)解： 令 当x=变化时，f(x)，f（x)的变化情况如下表：（0，）(，1）1(1，+）f（x）+00+f（x）极大值极小值 所以f（x)在x=1处取得最小值，即a1=1.（II）, 由于a1=1，所以 . 又。 得 ，所以an是以a1=1，公差为的等差数列,. （）5。解：（1) 而 （2）由题设，有又得上为奇函数。 由得 于是故 6.解：(1) 由求得，所以，求得。（2） ，错位相减得(3) ，
10、所以为递增数列。 中的最小项为，所以.7.解：（1）证明：由 即8。解：（1）在单调，或在恒成立， 即或在恒成立, 或1 （2） 设=，则,当时，=0 当时，0 递增， 当时，0 递减， =0 即(0） 由, 又 左边= 右边 原不等式成立9.解：入世改革后经过n个月的纯收入为万元 不改革时的纯收入为 又 （7分)由题意建立不等式 即 答：经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入 10。解：（I）得 设 在R上单调递增 （II） (III） 又f（x）为奇函数，且在R上为单调增函数 当 欲使上有解 （10分）即 即 11。解：(1）0,仅当时，故在R上单调递增。（2）为奇函数,，
11、由（1）知当时,，即也就是在上恒成立.由已知得所以所以=12.解：（1)令，,即 由 ,即数列是以为首项、为公差的等差数列， （2），即 ，又时，各项中数值最大为，对一切正整数,总有恒成立，因此13. 13.解：（） 当时，不同的染色方法种数 ， 当时，不同的染色方法种数 , 当时，不同的染色方法种数 , 当时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形不同的染色方法种数 。（）依次对扇形区域染色,不同的染色方法种数为,其中扇形区域1与不同色的有种,扇形区域1与同色的有种 （）将上述个等式两边分别乘以，再相加，得，,从而。()证明：当时，当时， ,当时， ，故14。解:（）因三点共线， 得故数列的通项
12、公式为 （）由题意 由题意得 当时，。当n=1时,也适合上式， 因为两点的斜率为常数 所以点列（1，在同一条直线上, 且方程为:，即. 15.解：（1),，时，综上 （2）由得 ,16.解：（1）,，即,数列是以为首项，公差为1的等差数列,，即 由于, 两式相减得，当时，,即, 它对也适合， （2） ，得 ， 由可得，对一切都有的的取值范围为17.解：（I）y= （II） (III）得： 此时M=2,m=018.解：(I)(1）当时，命题成立. （2)假定时命题成立，即 那么， 因此,当时，命题也成立 综合（1)（2)对任何自然数n命题都成立 （II)， 19.解：（1）由表知,每年比上一年多
13、造林400亩。 因为1999年新植1400亩，故当年沙地应降为亩，但当年实际沙地面积为24000亩,所以1999年沙化土地为200亩。 同理2000年沙化土地为200亩.所以每年沙化的土地面积为200亩(2)由（1)知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩。 设2000年及其以后各年的造林亩数分别为、,则n年造林面积总和为: 由题意： 化简得 解得： 故8年，即到2007年可绿化完全部沙地。20.解：（I）， 即又，可知对任何，所以， 是以为首项，公比为的等比数列（II)由（I）可知= （） 当n=7时，； 当n7时，; 当n7时,，当n=7或n=8时，取最大值，最大值为 （III）由
14、，得 （） 依题意（）式对任意恒成立， 当t=0时，(*）式显然不成立，因此t=0不合题意 当t0时,由,可知（) 而当m是偶数时，因此t0不合题意 当t0时，由(）, (） 设 （） =，的最大值为所以实数的取值范围是21.解：（1）依题意 ，（） ， ， . 数列是以b1为首项，2为公比的等比数列.(2）由（1）得，又由（1）中的（）式得：, , 由，得： 解得：.22.解:（1) 由求得，所以，求得.(2） ,错位相减得（3） ,所以为递增数列。 中的最小项为，所以。23。解：由得，可求得.（2) ，所以。设，要使在其定义域内单调，只要在满足或恒成立。分三种情况求得：或。（3)（i)设，则.易知当时取极大值点，所以，即有.（ii) 又，有，令得。 24。解：(1)，要使函数f(x)在定义域内为单调函数,则在内恒大于0或恒小于0,当在内恒成立；当要使恒成立,则，解得,当恒成立，所以的取值范围为（2）根据题意得：，于是，用数学归纳法证明如下:当，不等式成立;假设当时，不等式成立，即也成立,当时,，所以当，不等式也成立，综上得对所有时，都有(3） 由(2)得，于是，所以，累乘得：，所以