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2、。解:根据题意可得，位于一个棱长为a的正方体上，故球为正方体的外接球，故这个球的表面积为例2：在三棱锥ABCD中,侧棱AB、AC、AD两两垂直，ABC、ACD、ADB的面积分别为、,则三棱锥ABCD的外接球的体积为（）ABCD解:，选A。例3：如图所示,已知球O的面上有四点A、B、C、D，则球O的体积等于 .解：易知DA、AB、BC位于一个正方体上,故球O半径为，例4：四面体ABCD中，AB=CD=5，则四面体ABCD外接球的表面积为（)A50 B100 C150 D200解：且分别以a，b，c为长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为a，b，c的长方体，并且a2+b2=25
3、，a2+c2=34,b2+c2=41，设球半径为R，则有（2R）2=a2+b2+c2=50，4R2=50，球的表面积为s=4R2=50故选：A1三棱锥PABC中，PA平面ABC,ACBC,AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（）A5BC20D42.在三棱锥PABC中，PA=BC=4，PB=AC=5，PC=AB=，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A26B12C8D243已知三棱锥PABC的顶点都在球O的表面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=2，则球O的体积为（)ABC4D44九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑,PA
4、平面ABC,PA=AB=2，AC=4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为(）A8B12C20D245已知三棱锥PABC的各顶点都在同一球面上，且PA平面ABC，若该棱锥的体积为，AB=2，AC=1，BAC=60，则此球的表面积等于（)A5B20C8D166已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为(）A12B8C4D37三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA,PB,PC两两垂直，PA=1，PB+PC=4，当三棱锥的体积最大时，球O的体积为（）A36B9CD8如图所示,平面四边形ABCD中，A
5、B=AD=CD=2，BD=2，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD,若四面体ABCD的顶点在同一个球面上,则该球的体积为（）AB24C4D129三棱锥三条侧棱两两垂直,长度分别是1、2，则其外接球的表面积是（)A8B16CD3210九章算术中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，PA=3，AB=4,AC=5，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为（）A17B25C34D501 A;2A；3C；4C；5B；6D；7C；8C；9A；10C；秒杀秘籍:三棱柱的切割体的外接球(1）立着放的模型 (2） 躺
6、着放的模型 （1）立着放的模型一定有重垂线，且重垂线在底面的射影一定位于底面三个顶点中的一个,底面三角形非直角三角形，将重垂线长度设为,底面三角形外接圆半径设为,可以求出，则；（2）躺着放的模型,底面是直角三角形或者矩形，侧面非直角三角形,底面一条棱垂直于侧面，例5：如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在ABC中,AB=,ACB=60，BCD=90，ABCD,CD=，则该球的体积为 解：此图可以理解为躺着的三棱柱，以ABC所在平面为底面，则由正弦定理得截面圆的半径为依题意得CD平面ABC，故,则球的半径为所以球的体积为例6：已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A
7、8B16C32D64解：此图可以理解为立着的三棱柱，底面为一等腰直角三角形，则由正弦定理得截面圆的半径为依题意得，则球的半径为所以球的体积为1如图是某几何体的三视图,正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（)AB8C9D2三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为()A BCD3四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上,AB平面BCD，三角形BCD是边长为3的等边三角形，若AB=4，则球O的表面积为（）A36B28C16D4第1题 第2题 第4题 第5题4已知一个三棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）
8、A20B16C8D175如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形,若该三棱锥的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为（）A27B48C64D816已知A,B，C，D是同一球面上的四个点，其中ABC是正三角形，AD平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为(）AB48C24D167如图，在ABC中，AB=BC=，ABC=90，点D为AC的中点,将ABD沿BD折起到PBD的位置，使PC=PD,连接PC，得到三棱锥PBCD,若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是(）A B3C5D7 第7题 第8题8如图,在三棱锥DABC中，若该三棱锥的四个顶点均在
9、同一球面上，则该球的体积为（）AB4C2D1D;2A；3B；4A;5C；6A；7D;8.D；秒杀秘籍：切瓜模型（两个平面互相垂直，最大高和最小高问题） (1） （2) 底面固定，在球面上运动，最值问题（1）由图可知，小圆直径长可以求出，必在大圆上，解出；(2）先根据求出底面圆的直径，再根据几何性质求出球大圆的直径，最后根据垂径定理算出到底面距离的最大值和最小值.例7:某几何体的三视图如图所示,则它的外接球表面积为（）A12B16C20D24解:由已知中的三视图可得：该几何底是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面两直角边长分别为2,，故斜边长为，过斜边的侧面与底面垂直，且高为3的等腰三角形，设其外接
10、球的半径为R,则解得:R=2,故它的外接球表面积S=4R2=16，故选：B例8：已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC满足AB=BC=，AC=3，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的半径为(）A1B2C3D解:如图所示，由AB=BC=,AC=3,可得cosB=B=120，SABC=设ABC的外接圆的半径为r，.当DB平面ABC时,该三棱锥取得体积的最大值为 ，由VDABC=，解得DB=3设三棱锥DABC的外接球的球心为O,解得R=2故选:B1矩形ABCD中，AB=4,BC=3，沿AC将矩形ABCD折起，使面BAC面DAC,则四面体ABCD的外接球的体积为（）ABCD2点A，
11、B,C，D在同一个球面上，AB=BC=，AC=2，若球的表面积为,则四面体ABCD体积最大值为（）ABCD23在四面体SABC中,ABBC,AB=BC=，SA=SC=2，平面SAC平面BAC，则该四面体外接球的表面积为(）AB8CD44已知如图所示的三棱锥DABC的四个顶点均在球O的球面上，ABC和DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A4B12C16D36 第4题 第5题 第10题5如图,在四边形ABCD中，AB=BC=2，ABC=90,DA=DC=现沿对角线AC折起，使得平面DAC平面ABC，此时点A，B,C，D在同一个球面上，则该球的体积是（
12、）ABCD126三棱锥PABC中，ABC为等边三角形,PA=PB=PC=3，PAPB，三棱锥PABC的外接球的体积为(）ABC27D277点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=1,ABC=120,若四面体ABCD体积的最大值为,则这个球的表面积为（）AB4CD8已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上,底面ABC满足,，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为(）A8B16CD9已知三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，BCCD，BC=CD=4，AB=AD=，则三棱锥ABCD的外接球的大圆面积为()A36B27C12D910一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三
13、角形，则该几何体的外接球的体积为（）ABCD1C；2C；3A；4C;5A；6B；7D;8D；9D；10D；秒杀秘籍：全等三角形折叠模型题设:两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠，设折叠的二面角,根据几何意义可得:和分别为外心,，,故例9：已知菱形ABCD中，DAB=60，AB=3,对角线AC与BD的交点为O,把菱形ABCD沿对角线BD折起，使得AOC=90，则折得的几何体的外接球的表面积为（)A15BCD7解：菱形ABCD中，DAB=60，AB=3，三角形ABD的外接圆的半径为：，高对角线AC与BD的交点为O，使得AOC=90，则折得的几何体的外接球的半径为：，外接球的表面积为。故选
14、：A例10：在三棱锥 PABC 中，PA=PB=AC=BC=2，AB=2,PC=1，则三棱锥PABC 的外接球的表面积为（）AB4C12D解:取AB中点D，PA=PB=AC=BC=2,PD=CD=1，PDAB，CDAB，面PDC面ABC，设ABC的外心为O1，外接圆半径为r，三棱锥PABC 的外接球的球心为O,则OO1面ABC，由，设(二面角平面角)，外接球的半径为R，则三棱锥PABC 的外接球的表面积为4R2=故选：D综合训练1(2018广州二模）体积为的三棱锥PABC的顶点都在球O的球面上，PA平面ABC，PA=2,ABC=120,则球O的体积的最小值为()A B C D2（2018莆田二
15、模)三棱锥PABC中，PA平面ABC且PA=2,ABC是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A B4 C8 D203(2018西宁一模）点A，B,C，D在同一个球面上,AB=BC=，AC=2，若球的表面积为,则四面体ABCD体积最大值为(）A B C D24（2018张掖模拟）已知如图所示的三棱锥DABC的四个顶点均在球O的球面上，ABC和DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（)A4 B12 C16 D365(2018红河州二模）四面体ABCD中，AB=CD=5，,则四面体ABCD外接球的表面积为（）A50 B100 C150 D200
16、6（2018郴州二模）三棱锥PABC的一条棱长为m,其余棱长均为2，当三棱锥PABC的体积最大时，它的外接球的表面积为()A B C D7（2018佛山一模)已知三棱锥PABC中,侧面PAC底面ABC，BAC=90，AB=AC=4，PA=，PC=，则三棱锥PABC外接球的表面积为（)A24 B28 C32 D368（2018衡阳一模)已知三棱锥SABC,SA底面ABC，AB=AC=4，BC=，点A到平面SBC的距离为,则三棱锥SABC外接球的表面积为（)A240 B248 C252 D2729（2018鄂伦春自治旗二模）在三棱锥PABC中，PAAB，ACAB，PA=3，AC=4,PC=5，且三
17、棱锥PABC的外接球的表面积为28，则AB=（）A B C2 D310（2018呼和浩特一模）已知球O半径为,设S、A、B、C是球面上四个点，其中，则棱锥SABC的体积的最大值为（)A B C D11(2018遂宁模拟）在三棱锥PABC中,PA平面ABC，BAC=120,AP=，M是线段BC上一动点，线段PM长度最小值为，则三棱锥PABC的外接球的表面积是（）A B9 C18 D4012（2018长春三模）已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕，将ABC折起，使BDC=90,则过A，B，C，D四点的球的表面积为（）A3 B4 C5 D613（2018潍坊三模）三棱锥PAB
18、C中，平面PAC平面ABC，ABAC,PA=PC=AC=2,AB=4，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A23 B C D6414（2018乌鲁木齐模拟)四面体ABCD中,AB=AC=BC=2，点E是BC的中点，点A在平面BCD的射影恰好为DE的中点，则该四面体外接球的表面积为(）A B C D15（2018金牛区模拟）已知四边形ABCD是边长为2的菱形,BAD=60,沿对角线BD将ABD折起使A位于新位置A，且AC=，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为(）A B C6 D251B；2C;3C；4C;5A；6B；7D；8D；9B；10.A;11.C；12。C；13。C；14.A；15.A欢迎关注老唐说题的微信公众号，更多资料下载请加入QQ群758352643，数学建模,针对热点考题,会推出视频讲解！原创不易！多多包涵!秒杀秘籍:长方体的切割体的外接球设长方体方体相邻的三条的棱长为，（1） 墙角体 （2) 鳖臑 （3）挖墙角体 （4)对角线相等的四面体 （1） 与(2)有重垂线,三视图都是三个直角三角形,（3）无重垂线，俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图和左视图为直角三角形；图（4）中， ， 另