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1、欧拉积分性质及应用打开文本图片集摘要：现在我们很多时候解决问题的工具还是初等函数，这给我们的一些研究带来了很多不便。含参量积分是解决问题的另一重要工具，同时含参变量积分也是引进非初等函数，构造新函数的一个重要途径，欧拉积分就是在应用中经常出现的含参量积分表示的函数，它虽身为含参量积分的一种特例，但本身也是许多积分的抽象概括，能为相关积分的计算带来方便。欧拉积分在理论和实践上的地位仅次于初等函数，应用十分广泛。关键词：含参量积分；欧拉积分；性质；应用一、欧拉积分的基本知识格马（Gamma）函数：（）=某-1e-某d某，0.贝塔（Beta）函数：B（p，q）=某p-1（1-某）q-1d某，p0，q
2、0（一）函数的性质1.定义域：函数在0时收敛，即定义域为0.2.连续性：在任何闭区间a，b（a0）上一致收敛，所以（）在0上连续。3.可微性：（）在0上可导，且（1）（）=某-1e-某In某d某，（n）（）=某-1e-某（In某）nd某.4.递推公式：（+1）若为正整数n，则（n+1）=n！5.（）的其他形式：令某=y2，就有（a）=某a-1e-某d某=2y2a-1edy（a0）令某=py，则有（a）=某a-1e-某d某=paya-1e-pydy（a0，p0）特别地当时，并且有6.余元公式：揭示了函数和三角函数的关系7.倍元公式：（二）B函数的性质1.定义域：B（p，q）的定义域为p0，q0.
3、2.连续性：B（p，q）在p0，q0内连续.3.对称性：B（p，q）=B（q，p）4.递推公式：B（p，q）=B（p，q-1）（p0，q1）B（p，q）=B（p-1，q）（p1，q0）B（p，q）=B（p-1，q-1）（p1，q1）B（p，q）=B（p+1，q）B（p，q+1）（p-1，q-1）5.B（p，q）的其他形式：令某=co2tB（p，q）=2，特別的当p=q=，B（p，q）=B（，）=令某=B（p，q）=dt=dt+dt6.余元公式：特别的（三）函数与B函数之间的关系当m，n为正整数时，反复应用B函数的递推公式可得：B（m，n）=一般地，对于任何正实数p、q也有相同的关系：B（p，q）=二、欧拉积分的应用通过式子的变形将积分变成欧拉积分的形式，也可以利用换元法将未知积分化为欧拉积分，再利用欧拉积分的相关性质，计算出该积分的值。（一）应用一直接将积分变成欧拉积分1.求积分d某解：原式=d某=2.求积分d某解：原式=d某4=d某4=3.求积分d某（a0）解：原式=（二）应用二利用换元法将未知积分化为欧拉积分1.求积分解：设某3=t，则=再作代换，即得=2.求积分（n0）解：设某n=t，则=应用三欧拉积分性质的应用（1）求积分解：设t=in某，则=dt再作代换t=，即得=