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1、 欧 拉 积 分 的 性 质 及 其 应 用 _ _ 欧拉积分及其应用 专业：数学与应用数学(师范类)班级：2012 级 姓名：唐颖 _ _ 目 录 引 言.3 1 预 备 知识.5 2 欧 拉 积 分 的 性质.7 2.1 函 数 的 性质.7 2.1.1函 数 的 定 义域.7 2.1.2函 数 的 连 续性.8 2.1.3函 数 的 可 微性.9 2.1.4函 数 的 递 推 公式._ _.11 2.1.5函 数 的 极 值 与 凸性.12 2.1.6函 数 的 延拓.13 2.2 B函 数 的 性质.13 2.2.1B函 数 的 定 义域.13 2.2.2B函 数 的 连 续性.14
2、2.2.3B函 数 的 可 微性.15 2.2.4B函 数 的 对 称性.15 _ _ 2.2.5B函 数 的 递 推 公式.16 2.2.6B函 数 的 其 他 形式.17 2.3 函 数 和B函 数 的 联系.18 3 欧 拉 积 分 的 应用.20 3.1 欧 拉 积 分 在 数 学 分 析 中 的 应用.20 3.2 欧拉积分在概率和统计中的应用.22 3.3 欧 拉 积 分 在 微 分 方 程 中 的 应用.25 3.4 欧 拉 积 分 在 物 理 中 的 应_ _ 用.26 3.4.1B函 数 在 李 超 代 数 相 干 态 表 示 当 中 的 应用.26 3.4.2函 数 在 半
3、 导 体 物 理 中 的 应用.27 结 论.29 致 谢.30 参 考 文献.31 _ _ _ _ 摘 要 欧拉积分是由含参变量的反常积分定义的两个十分重要的非初等函数，在理论与实践上，它的地位仅次于初等函数，应用领域十分广泛然而，对于欧拉积分性质的研究远远比对初等函数性质的研究要复杂得多为了对欧拉积分有一个更加全面、更加系统的认识，为了探索欧拉积分的应用领域，充分挖掘欧拉积分的应用价值，在深刻理解伽马函数、贝塔函数定义的基础上，对两类函数的定义域、函数的连续性、函数的可微性、函数的递推公式、函数的某些性态以及伽马函数和贝塔函数的内在联系等性质进行全面归纳总结，并加以严格的理论证明通过典型例
4、题来说明利用伽马函数、贝塔函数的性质有效地解决某些具有特殊类型的定积分计算问题，有效地解决概率和统计、微分方程中的相关问题，沟通知识间的内在联系同时还将伽马函数、贝塔函数的性质应用于物理学中，为物理学中相关问题的顺利解决提供有力工具 关键词：欧拉积分；一致收敛；连续性；可微性 _ _ Abstract Euler integral is two important elementary function defined by improper integral containing parameper,on the theory and practice,it is second only t
5、o the elementary function,its application is very wide However,the study on the properties of Euler integral is far more complex than the ones of elementary function In order to have a more comprehensive and systemic knowledge of Euler integral,and in order to explore the application of Euler integr
6、al,make full use of the Euler integral value,on the base of the deep understanding of gamma function and beta function,this paper summarizes the domain,the continuity,the differentiability,the recurrence formula,the inner link of gamma function and beta function,the nature and so on of two kinds of
7、function,and gives strict theoretical proof Typical examples illustrate that the use of the properties of the gamma function and beta function can effectively solve some definite integral calculation problem with special types,effectively solve the related problems in _ _ differential equation,proba
8、bility and statistics,communicate the intrinsic relationship between knowledges At the same time,we apply the gamma function and beta function to physics,they provide the related problems a powerful tool in physics Keywords:Euler integral;uniform convergence;continuity;differentiability _ _ 引 言 莱昂哈德
9、欧拉于 1707 年 4 月 15 日在瑞士出生，他被公认与阿基米德、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”阿拉戈也曾说过：“欧拉进行计算看起来毫不费劲儿，就像人进行呼吸，像鹰在风中盘旋一样”这句话对欧拉那无与伦比的数学才能来说并不夸张，与他同时代的人们称他为“分析的化身”他作为数学教授，是有史以来最多产的数学家欧拉的著述浩瀚，不仅包含科学创见，而且富有科学思想，他给后人留下了极其丰富的科学遗产和为科学现身的精神在数学的许多分支中经常可以看到以他的名字命名的重要常数、公式和定理等等他作为欧拉近似法的创始人为微分方程理论作出了巨大的贡献，同时，由于他对微分方程中贝塞尔问题的深入研究，最终使得贝塞尔问
10、题得以解决，使得二阶微分方程特解的表示简洁明了，后续工作得以顺利完成他还根据牛顿定律建立了流体力学里的欧拉方程，为物理学揭开了新的篇章 欧拉对含参变量积分的研究十分深入，最终揭开了关于含参变量积分神秘的面纱,使得含参变量积分成为数学学习中的重点，同时也是数学学习中的难点内容表示非初等函数可用各种不同的数学工具，如例，可变上限的定积分、收敛的函数项级数、函数方程或者函数方程组等，含参变量积分也是表示非初等函数的一种重要的数学工具深刻理解含参变量积分的本质，并且通过本质和它的性质解决许多复杂的综合性问题以及一些实际问题，可以大大提高问题解决的效率欧拉积分就是由欧拉整理得出的两类含参变量积_ _ 分
11、表示的非初等函数，第一类型积分称为贝塔函数(B函数)，第二类型积分称伽马函数(函数)它的地位仅次于初等函数然而，目前对于欧拉积分的性质及其应用的研究仍然不够全面，关于欧拉积分性质的研究方法也十分复杂，如果我们能够对欧拉积分有一个充分、全面的认识，那么对于解决许多含参变量积分问题和一些实际生活中的问题都会有很大的帮助因此，探讨欧拉积分及其应用问题对于我们具有重要的意义和价值，对欧拉积分的深入研究也是必要且有实际意义的 德国数学大师 Hilbert 曾在巴黎的国际数学家大会上说过：“揭开隐藏在未来之中的面纱，探索未来世纪的前景，谁不高兴呢?”随着时间的推移，一百年过去了，关于数学欧拉积分的百年面纱
12、层层被揭开随着对欧拉积分全面深入的研究以及科学技术的不断发展和研究水平的显著提高，欧拉积分的应用领域不断扩大，不断地解决更多的实际生活中的问题，发展前景十分广阔 _ _ 1 预备知识 为了能够深入研究欧拉积分的性质及其应用，必须要先了解与欧拉积分密切相关的知识内容如无穷积分与瑕积分敛散性的判别方法、一致收敛的判别方法以及函数的连续、可导等相关知识因此，只有在掌握好预备知识的前提之下才能更加深入地研究欧拉积分的性质及其应用 定理 1 设),a x，函数)(x f 0，a 0，且有极限 d x f xx)(lim，0 d 1)若 1，0 d，则无穷积分ax f)(dx收敛；2)若 1，0 d，则无
13、穷积分ax f)(dx发散 定理 2 设),a x，有)()(x c x f，c是常数 1)若无穷积分dx xa)(收敛，则无穷积分ax f)(dx也收敛；2)若无穷积分adx x f)(发散，则无穷积分dx xa)(也发散 定理 3 无穷积分ax f)(dx收敛 a b，无穷积分dx xa)(也收敛 定理 4 设,(b a x，函数)(x f 0，a 0，且有极限 a xlim d x f a x)()(，0 d _ _ 1)若 1，0 d，则瑕积分dx x fba)(收敛；2)若 1，0 d，则瑕积分dx x fba)(发散 定理 5 设 x,(b a，有)(x f c)(x，c是正常数
14、1)若瑕积分dx xba)(收敛(a是瑕点)，则瑕积分dx x fba)(收敛；2)若瑕积分dx x fba)(发散(a是瑕点)，则瑕积分dx xba)(发散 定理 6 若B 0，x B，u I，有),(u x f)(x F，且无穷积分dx x Fa)(收敛，则无穷积分dx u x fa),(在区间I一致收敛 定理 7 设函数),(u x f在区域R(a x b，u)连续，则函数)(u dx u x fa),(在闭区间,内连续 定理 8 设函数),(u x f在区域D(a x，u)连续，且无穷积分)(u dx u x fa),(在闭区间,内一致收敛，则函数)(u 在闭区间,连续 定理 9 若函
15、数),(u x f与),(u x f在区域D(a x，u)连续，且无穷积分)(u dx u x fa),(在闭区间,上收敛，而无穷积分dx u x fa),(在闭区间,上一致收敛，则函数在)(u 闭区间,可微，且 adx u x f u),()(即 dx u x fudx u x fduda a),(),(_ _ 2 欧拉积分的性质 欧拉积分由两类含参量积分表示的非初等函数，第一类型积分称为贝塔函数(B函数)，即函数),(q p B 101 1)1(dx x xq p第二类型积分称伽马函数，即函数)(01dx e xx(函数)2.1 函数的性质 函数)(01dx e xx 称为函数(伽马函数)
16、关于函数的性质，主要研究它的定义域、函数在定义域内的连续性、可微性、函数相关的递推公式、极值与凸性以及函数的延拓 2.1.1函数的定义域 性质 1 函数)(01dx e xx 的定义域是),0(证明 首先将无穷积分改写为 01dx e xx 101dx e xx 11dx e xx)()(x Z x I 1 其中)(x I 101dx e xx，)(x Z 11dx e xx _ _(i)考察积分)(x I 101dx e xx，当 1 时，0 x是被积函数xe x 1 的瑕点，有 1 lim lim01 10 xxxxe e x x 因此，根据定理 4 可知，当1 1，即 0时，瑕积分)(x
17、 I 101dx e xx 收敛(ii)考察无穷积)(x Z 11dx e xx 已知对于 R，有极限 xxxxexe x x11 2lim lim 0 其中，1 2，0 d，根据定理 1 可知，则 R，无穷积分)(x Z 11dx e xx 都收敛 综上可知，瑕积分)(x I 101dx e xx 与无穷积分)(x Z 11dx e xx 同时收敛的的公共部分是0 于是，函数)(01dx e xx 的定义域是区间),0(2.1.2函数的连续性 性质 2 函数)(01dx e xx 在区间),0(连续 证明 首先将无穷积分改写为 01dx e xx 101dx e xx 11dx e xx 令
18、)(x I 101dx e xx，)(x Z 11dx e xx 有 01dx e xx)()(x Z x I),0(，1和2，使 0 1 2 1,0(x，有 _ _ xe x 1 xe x 11),1 x，有 xe x 1 xe x 12(i)对于积分)(x I 101dx e xx，有 xe x 1 xe x 11 而积分 1011dx e xx)0(1 收敛，根据定理 6 可知，则积分)(x I 101dx e xx 在,2 1 上一致收敛(ii)对于积分)(x Z 11dx e xx，有 xe x 1 xe x 12 而积分 1012dx e xx)0(2 收敛，根据定理 6 可知，则
19、无穷积分)(x 11dx e xx 在区间,2 1 上一致收敛 综上可知，积分 01dx e xx 在区间,2 1 上一致收敛而被积函数xe x 1 在区域D(0 x+，1 2)连续，根据定理 8 可知，函数在区间,2 1 连续于是，函数在点连续由的任意可知，函数)(01dx e xx 在区间),0(连续 2.1.3函数的可微性 性质 3 函数)(01dx e xx 在区间),0(可导，且)(x 01ln xdx e xx 证明,0，a,b，使b a 0被即函数xe x x f 1),(与 f x e xxln1 在 x D 0，b a 连续，无穷积分 01dx e xx 在,b a收敛 _
20、_ 再 考 察 积 分dx e xx)(10 01ln xdx e xx 在 区 间,b a的 一 致 收 敛性，将此积分表示成 dx e xx)(10 01ln xdx e xx 101ln xdx e xx 11ln xdx e xx(i)考察积分 101ln dx x e xx a的一致收敛性 当 a 0时，有 x e xxln1 x xaln1)0,1 0(a x 101ln dx x xa 101ln xdx xa 10)(ln1ax xda)(ln01ln 110 x d x x xaa a ln lim 1 ln 1 11010 dx x x xaa axa 011ln lim
21、0 10a axxax xa 0 111lnlim 10 axxaax 11lim 110a x axaax 201)1(lim 1a a axaax 由上可知，无穷积分 101ln dx x xa收敛根据定理 6 可知，含参变量积分 101ln xdx e xx 在,b a上一致收敛(ii)考察积分 11ln xdx e xx b在,b a的一致收敛性 方法 1 当 a b，3 x，有 x e xxln1 x e xxln1 x e xx bln1 x e x xx bxln lim1 2 x e x xx bxln lim1 2 x e xx bxln lim1 _ _ xbxex x l
22、nlim1 2 21lnlimx xbxexex 2 21lnlim limxxxbxexex 由数学分析知识可知0 lim21 xbxex，由洛必达法则可知 2 2 22lim211limlnlimxxxxxxxe exex 0 因此 0 ln lim1 2 x e x xx bx 其中，1 2，0 d，根据定理 1 可知，无穷积分 31ln dx x e xx b收敛由定理 3 可知，无穷积分 11ln dx x e xx b 也是收敛的根据定理 6 可知，积分 11ln xdx e xx 在,b a上一致收敛 方法 2 当1 x时，x x ln，则有 x b x xe x e x x e
23、 x ln1 由上可知，无穷积分 1dx e xx b 收敛，根据定理 6 可知，积分 11ln xdx e xx 在,b a上一致收敛 综上两种方法都可知，含参变量积分 0101ln)(xdx e x dx e xx x 在,b a上一致收敛根据定理 9 可知，函数 01dx e xx 在区间,b a可导，所以，函数在点可导，由的任意性可知，函数 01dx e xx 在,0可导且)(x 0101ln)(xdx e x dx e xx x _ _ 类似地可证)(在闭区间,b a(0 a)上连续且可在)(基础上求导通过数学归纳法可知，对任意正整数n，)()(n在 0上都存在连续且可在积分号下求导
24、数，得)()(n 01)(ln dx x e xn x，0 2.1.4 函数的递推公式 性质 4 递推公式 0，有)1()(证明 由分部积分公式，0，有)1(dx e xx 0)(0 xe d x=01 xe x 01dx e xx)()(0 lim1 xxex 设n 1 n，n N，逐次应用递推公式，有)1()()1()1()1()()(n n 而1 0 n 由此可见，只要知道函数在区间 1,0(的函数值，由递推公式就能计算出任意正数的函数值)(特别地，n，n N，有)1(n)(n n)1()1(n n n)1(1 2)1(n n 而1 lim)1(00 0 e e e dx exxx x，
25、即!)1(n n dx e xx n 0 _ _ 这是n！的一个分析表达式，函数就是n！的推广，后者只对自然数有定义，现已推广到自变量是任意正整数的范围 2.1.5函数的极值与凸性 性质 5 函数)(01dx e xx 在区间),0(是下凸函数，且存在唯一一个极小值点0 x 证明 对 0，)(01dx e xx 0 通过对上述函数求导，有)(01ln xdx e xx，)(=02 1)(ln dx x e xx 0 因此，函数在 0时是下凸的且位于x轴上方 而1)1(，)2(0dx xex 0 xxe0dx ex10 dx ex所以)1(1)2(由性质 2 可知，函数)(01dx e xx 在
26、区间),0(是连续的，因此函数 01dx e xx 在区间 2,1 也是连续的所以在区间 2,1 内一定有最小值点，且函数)(01dx e xx 在区间)2,1(是严下凸的由此，函数在 0上有唯一一个极小值点0 x落而在在区间)2,1(内 2.1.6 函数的延拓 证明 由递推公式可得，)()1(当1 0时，1 1 0，上式右端有意义，运用上式来定义左端函数)(在)0,1(内的值，由于 0 1，0，推得此时_ _)(0利用)(在)0,1(内有定义，又可定义)(在)1,2(内值，而这时)(0依此类推，可把)(延拓到整个数轴(除=0，1，2，外)对于伽马函数的性质还有余元公式以及勒让德公式,其中 余
27、元公式 2 设1 0 a，则 aa asin)1()(勒让德公式 0 a，有 a a aa22)21(1 2 因为数学分析教材中已经给出了详细的证明，这里不再进行研究 2.2 B 函数的性质 函数),(q p B=101 1)1(dx x xq p称为B函数(贝塔函数)关于B函数的性质，主要也是研究它的定义域、它在定义域内的连续性、可微性、对称性以及B函数递推公式 2.2.1 B 函数的定义域 性质 1),(q p B 101 1)1(dx x xq p的定义域为 0,0),(q p q p D 证明 首先将积分改写为 101 1)1(dx x xq p 2101 1)1(dx x xq p
28、1211 1)1(dx x xq p 3 其中)(1x I 2101 1)1(dx x xq p，)(2x I 1211 1)1(dx x xq p(i)首先考察积分)(1x I，有 _ _ 当p 1时，积分)(1x I 2101 1)1(dx x xq p为定积分；当p 1时，被积函数的瑕点是0 x，因为 pxx10lim1 1)1(q px x 1)1(lim10 qxx 当 1 1 p，即p 0 时，由定理 4 可知，瑕积分)(1x I 2101 1)1(dx x xq p收敛(ii)再考察积分)(2x I，有 当q 1时，积分)(2x I 1211 1)1(dx x xq p为定积分；
29、当q 1 时，被积函数的瑕点是1 x，有 qxx11)1(lim 111 qpx x 1 lim11 pxx 当1 1 q，即q0 时，由定理 4 可知，瑕积分)(2x I 1211 1)1(dx x xq p收敛 综上可知，当p 0 且q 0 时，瑕积分)(1x I 2101 1)1(dx x xq p与瑕积分)(2x I 1211 1)1(dx x xq p都收敛，所以B函数),(q p B 101 1)1(dx x xq p的定义域为 0,0),(q p q p D 2.2.2 B 函数的连续性 性质 2),(q p B 101 1)1(dx x xq p在定义域 0,0),(q p q
30、 p D内连续 证明 0 p，0 q，d c b a,使0 ab p，0 cq d，1 1)1(q px x1 1)1(c ax x 而积分 101 1)1(dx x xc a收敛，根据定理 5 可知，含参变量积分 101 1)1(dx x xq p在区域,d c b a 上是一致收敛的同时，由于1 1)1(),(q px x x q p f在,(b p a V _ _)1 0,x d q c上连续因此，根据定理 9 可知，含参变量积分 101 1)1(dx x xq p在区域,d c b a 连续，因此积分 101 1)1(dx x xq p在),(q p内连续由q p,的任意性可知，B函数
31、),(q p B在定义域 0,0),(q p q p D内连续 2.2.3 B 函数的可微性 性质 3),(q p B 101 1)1(dx x xq p在区域D(0 p，0 q)内可微 证明 0 p，0 q，d c b a,使0 ab p，0 cq d，函数),(q p x f 1 1)1(q px x，x x xpfqpln 111，x x xqfqp 1 ln 111在,d c b a 连续，积分 dx x xqp11011 是收敛的 再考察含参变量积分dx x xpBq p)1(1 110 dx x x xq p 1 110)1(ln 在,d c b a 上的一致收敛性)1,0(x，有
32、 x x xq pln)1(1 1 x x xc aln)1(1 1 x xaln1 x xaln1 而积分 101ln dx x xa收敛(已证)根据定理 6 可知，积分dx x xpBq p)1(1 110 一致收敛因此，无穷积分),(q p B 101 1)1(dx x xq p在间,d c b a 存在偏导数即 pBdx x x xq p 1 110)1(ln 同理可证),(q p Bq在区间,d c b a 也存在且 _ _ qBdx x x xq p 1 110)1()1 ln(即函数),(q p B 101 1)1(dx x xq p在区间,d c b a 存在偏导数由q p,的
33、任意性可知，0,0 q p，),(q p B在区间,d c b a 存在偏导数同理可证，),(q p B存在二阶、三阶等任意阶偏导数 2.2.4 B 函数的对称性 性质 4 函数),(q p B具有对称性：即),(q p B),(p q B 证明 令y x 1，dx dy，当0 x时，1 y；当1 x时，0 y，有),(q p B 101 1)1(dx x xq p-011 1)1(dy y yq p 101 1)1(dy y yq p),(p q B 2.2.5 B 函数的递推公式 性质 5 B函数的递推公式：(i)p 0，q 1，有),(q p B)1,(11 q p Bq pq(2-1)
34、(ii)p 1，q 0，有),(q p B),1(11q p Bq pp(2-2)(iii)p 1，q 1，有),(q p B 4)1,1()2)(1()1)(1(q p Bq p q pq p(2-3)证明(2-1)对于 p 0，q 1，由分部积分公式，有 _ _),(q p B 101 1)1(dx x xq p 101)()1(pxd xpq 101)1(px xq p pq 1 102)1(dx x xq p pq 1 102 1 1)1)(1(dx x x x xq p p pq 1 102 1)1(dx x xq ppq 1 101 1)1(dx x xq p pq 1)1,(q
35、p B-pq 1),(q p B 即),(q p B)1,(11 q p Bq pq成立 由对称性，p 1，q 0，有),(q p B),(p q B)1,(11 p q Bq pp),1(11q p Bq pp 因此，p 1，q 0，),(q p B),1(11q p Bq pq 成立 同理可证),(q p B)1,(11 q p Bq pq)1,1(2111 q p Bq ppq pq 即对于 p 1，q 1，),(q p B)1,1()2)(1()1)(1(q p Bq p q pq p也成立 2.2.6 B 函数的其他形式 性质 6 p 0，q 0，),(q p B 201 2 1 2
36、sin cos 2 dq p 证明 设 2cos x，d dx cos sin 2，有),(q p B dx x xq p 101 1)1(_ _ dqp)cos sin 2()(sin)(cos1 21022 201 2 1 2sin cos 2 dq p(2-4)由公式(2-4)，有下面几个简单的公式：0 p，0 q，有 201 2 1 2sin cos dq p),(21q p B)(2)()(q pq p(2-5)在公式(2-5)中，令21 nq与21 p1 n，当1 x时，0；当0 x时，2,有 20sin dn)12(2)21()21(nn(2-6)在公式(2-6)中，令0 n，有
37、 20 d)1(2)21()21(2)21(21 或 2)21(即)21(2-7)2.3 函数和 B 函数的联系 在 B 函数的递推公式)1,(11),(q p Bq pqq p B中，特别地，取n q，N n，逐次应用递推公式，有 _ _),(n p B)1,(11 n p Bn pn)2,()2)(1()2)(1(n p Bn p n pn n)1,()1()2)(1(1 2)2()1(p Bp n p n pn n 而 1011)1,(pdx x p Bp，即),(n p B)1()1(!1 n p p pn 当m p，),(N n m n q时，有),(n m B)1()1(!)1(n
38、 m m mn!)1(!)1(!)1(n mm n 或),(n m B)()()(n mn m 这个公式可以表明，尽管函数)(=01dx e xx)0(和B函数),(q p B 101 1)1(dx x xq p(0 p，0 q)的定义在形式上没有任何联系，但通过对函数和B函数性质的全面研究发现，它们内在之间有着紧密的联系这个公式可以推广为 p 0，q 0，有),(q p B)()()(q pq p _ _ 3 欧拉积分的应用 函数和B函数是两个含参量的反常积分所定义的非初等函数，它们有十分广泛的应用，如欧拉积分在计算定积分和广义积分中的应用以及证明一些重要的积分等式中的应用、在概率和统计中的
39、应用、在微分方程中都有重要的应用，同时在物理和工程技术等方面起到至关重要的作用 3.1 欧拉积分在数学分析中的应用 通过上述对函数和B函数的性质的全面深入的学习和研究，可以帮助我们在数学分析的定积分的计算、广义积分的计算、平面_ _ 图形围成区域面积的计算以及三角函数求解积分的计算方面都有十分广泛的应用，大大简化了计算过程，节省了计算的时间 例 1 5 计算积分 I dx e xx n204 分析 上述积分的形式符合函数)(01dx e xx)0(定义的基本形式，通过换元法，化为函数形式，利用函数来计算此积分 解 令u x 2，u x，xdx du 2 有 I dx e xx n204 xdx
40、 e xx n201 4)(21201 42x d e xx n du e uu n 01 421)(21du e uun 021221)212(21 n)212()212(21 n n)21(2123 421 421 n n 2123 421 42 n n 例 2 计算由曲线mxmyma)0,0(n a所围城的区域的面积 分析 由题意可知，所求封闭区域的图形关于x轴、y轴都是对称的令第一象限那部分图形的面积为1S，且在第一象限的曲线方是 ymm mx a 所以，这个图形围成的区域的面积S应该是第一象限那部分图形的面积的四倍因此，面积S 14S dx x aamm m 04 解 换元法，令 x
41、 at，当x 0 时，0 t；当a x 时，1 t则 S1021 4mmt a _ _ 再设 umt，m u t1，du umdt m111，当0 t时，0 u；当1 t时，1 u因此，将积分转化为欧拉积分：S 1021 4mmt a du u uma m m 101112)1(14 du u umam m101112)1(4)11,1(42 m m ma)1,1(2142m mBmmma)1,1(22m m ma)2()1(222mmma 特别地，当2 m时，曲线方程为2 2 2a y x，这是半径为a的圆，其面积 222221)(1)21(22a aaS，这与所学的圆的面积计算公式一致 例
42、 3 6 计算积分dxx n xxcos 11sincos 10)1 0(n 分析 这道题显然被积函数非常复杂，若变化技巧使用不恰当会导致计算过程极为复杂，甚至一无所获当然可以用万能换元，但很复杂令 2tant2tan11 xnn，则有2tanx2tan11 tnn 再利用三角恒等式可得 x cost nn xcos 1cos，x ncos 1t nncos 112，dx dtt nncos 112 _ _ 当0 x时，0 t；当 x时，t则有 dxx n xxcos 11sincos 10t nnnt n tnncos 111cos 12cos11220 0212143412cos2sin)
43、1()1(dtt tnn 021214341cos sin)1()1(2tdt tnn 由三角函数和贝塔函数联系可知，此时转化为欧拉积分会更加简单 解 令2tant2tan11 xnn，2tanx2tan11 tnn，当0 x时，0 t；当 x时，t则有 dxx n xxcos 11sincos 102021214341cos sin)1()1(2tdt tnn)43,41(21)1()1(24341 nn)4341()43()41(21)1()1(24341 nn 1221)1()1(24341nn4341)1()1(2nn 3.2 欧拉积分在概率和统计中的应用 欧拉积分不仅在数学分析当中有
44、广泛的应用，同时在概率和统计当中的应用更加非常广泛并且至关重要利用函数和B函数的性质可以帮助我们解决求解概率密度函数、求解分布函数的随机变_ _ 量以及随机变量有关的证明问题等等，这样对于学习概率和统计这一课程也提供了方便 例 4 分别求出下列分布密度中的常数k使其成为概率密度函数)(x f,0,)1(1 1 q px kx.),0,0(1 0是其他数值 xq p x 分析 上式中1 1)1(q px kx符合函数),(q p B 101 1)1(dx x xq p的被积函数的形式，因此利用B函数来解决问题会更加便利 解 由于 101 1)1(dx x kxq p1)1(101 1 dx x
45、x kq p，所以，1),(q p kB 即 k),(1q p B 例 5 7 求下列分布函数的期望和方差(1)随机变量），（t 即)(x f.0,0,0,)(1xx e xtt tt(2)贝塔分布函数),(n m B)(x f,0,)1()()()(1 1 n mx xn mn m.,1 0是其他数值 xx 解(1)令x u，ux，du dx1，当0 x时，0 u；当 x时，u则有 dx x xf)(dx e xtt tt 0)(_ _)()()(10 x d e xttt 0)(1du e utu t)()()()1(tt ttt t 同理可得 2 2)1(t t 由公式 D2 2)(，有
46、 D 2)1(t t2)(t21(2)dx x xf)(xdx x xn mn mn m 1 110)1()()()(),1()()()(n m Bn mn m)1()()1()()()(n mn mn mn m n mm 同理可得 2)(1()1(n m n mm m 由公式 D2 2)(，有 D)(1()1(n m n mm m 2)(n mm 2)(1(n m n mnm 例 6 8 设随机变量),(it 0 it，i 2,1且1与2相互独立，则1 2),(2 1 t t _ _ 证明 由于i),(it，因此)(x f,0,)()(1it xtx ei.0,2,1,0 xi x 由卷积公
47、式可知 当0 a时，0)(2 1a f 当0 a时，)(2 1a f at xtx e011)()(1 dxtx a x et x a)()(21)(2 attt t adx x a xt te0112 1212 1)()()(当 x au时，)(2 1a f 101 12 112 12 1 2 1)1()()(du u ut ta et tt t t ta),()()()(2 1 2 111 2t t B t ta et t a)()(2 111 2t ta et t a 即 1 2),(2 1 t t 3.3 欧拉积分在微分方程中的应用 二阶微分方程2xx dy d22 dxdyx 0)(
48、2 2 y k x(k 0，k不一定是整数)的解所定义的函数叫贝塞尔函数，在微分方程中应用十分广泛贝塞尔方程的两个特解为：1y 02)2()1(!)1(nk nnxn k n)(xk，2y 02)2()1(!)1(nk nnxn k n)(xk _ _ 其中)1(n k与)1(n k是两个函数)(xk称为n阶贝塞尔函数，)(xk 称为n 阶贝塞尔函数对于贝塞尔方程求特解的方法是非常困难和繁琐的此时，利用它与函数的密切的关联来求解贝塞尔方程的特解，使得二阶微分方程特解的表示简洁明了，为后续工作的顺利完成提供极大地方便 3.4 欧拉积分在物理中的应用 欧拉积分不仅在数学分析和概率统计以及微分方程中
49、得到了非常广泛，同时在物理和工程技术等方面也有应用 3.4.1 B 函数在李超代数相干态表示当中的应用 现代物理学当中的李超代数，在物理学当中的超统一理论、量子场理论以及超统一理论等领域当中具有极其重要的作用在研究李超代数的相干态表示的时候，无法避免的要确定相干态的完备性关系，因为一个不具有完备性的相干态是没有多大的价值的在确定完备性关系的时候，经常会遇到类似于 021 2)1(qpxx 9 的积分形式，为了方便它的计算，我们将此积分的计算结果作一推导.根据函数),(q p B 101 1)1(dx x xq p)0,0(q p的定义形式，利用换元法，有 令u x 2，21u x，du u d
50、x 2121当0 x时，0 u；当 x时，u，则有 _ _ 021 2)1(qpxx 0212121)1(du uuuqp duuuqp 0)1(21 令ut11，tttu 111，dttdu21，当0 u时，1 t；当 u时，0 t 则有 dtttttduuuq pqp 0120)1()1(21)1(21 dt t tp p q 102)1(21)1,1(21 p p q B 通过函数和B函数的联系),(q p B)()()(q pq p，可知)1,1(p q p B!)1(!)2(!)()1()1(qp q pqp p q 当m p，n q 时，)1,1(m n m B!)1(!)2(!)