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1、经济数学基础复习资料v 函数的定义域求法（常见的函数类型）:（1）有理整式（定义域是R）（2）分式（保证分母不为0）（3）二次根式（保证被开方式大于或等 于0 （4）对数式（真数要大于0）一、求函数定义域：例1（P7）、求函数 的定义域解： ；例2（P8）、求函数 解： 3、（2023上半年试题）函数的定义域为 。解题同上类似。答案为：4、（2023下半年试题）函数的定义域是（ ） （A） ； （B） ； （C） ； （D） ；解： 故应选（B）二、判断两个函数是否相同（根据函数两要素来判断）1、（2023下半年试题）下列各函数对中，（ ）中的两个函数是相等的： 分析：故应选（D）。2、课本P
2、12的第4题3、（2023上半年试题）下列各函数对中，（ ）中的两个函数是相等的：分析：故应选（C）三、求函数值与函数式1、课本P12第2题：2、课本P12第3题：则3、2023下半年试题：（换元法）4、解：四、 判断函数的奇偶性课本P9：练习1（2023上半年试题）下列函数是奇函数的是（ ）： 分析：故选（A）2、（2023上半年试题）函数的图形关于 对称分析：这道题其实是换一种考法考我们判断函数的奇偶性由于所以函数是奇函数，奇函数是关于坐标原点对称单调性： 单调增长 单调减少二、函数的极限：(以前经常出现在解答题里面) 求极限的四种方法：（1）当时，只要分母的极限不为0，则可得 （1）解：
3、 =；（2）当时，只要分母的极限为0，则例2：求极限解：由于有理式函数分母的极限，但分子， 而 所以（注意：无穷小量与无穷大量互为倒数）（3）当极限为型时，先约分或分母有理化或分子有理化进行化简； 例3：求下列极限：（1）； （2） 解： （1）=； （2）= =（意：上例用到了公式将根式有理化。）（4）当分子分母为高次有理多项式，且极限为型时，有以下结论： =例4：求下列极限： （1） （2）解：（1）= （2）=练习册P2第三题第四小题结果是：（4） 2、两个重要极限：（P6871） （1） （要与区分开来，后者是无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量） （特点：一是分子、分母的极限均为0；
4、二是分子或分母中至少有一个具有正弦函数的关系式） （2）（或）（特点：一是与x互为倒数且同号；二是底数第二项极限为0，指数的极限为） 四、函数的连续性：（P7276）（一般出现在选择题或填空题中） 1、函数的连续与连续函数： 此定义具有三个意思，它们缺一不可： （1）在点及其邻域内有定义；（2）在点处有极限；（3）。当，则称在点处左连续；当，则称在点处右连续；显然：在点处连续的充足必要条件是，在点处既左连续又右连续； 2、函数的间断点：（P74）函数间断点假如函数在点处不连续，则称在点处发生间断。使发生间断的点称为的间断点。即假如函数在点处有下列三种情况之一，则在点处间断：（1）在点处没有定义
5、；（2）在点处极限不存在；（3）在点处有定义，且有极限存在，但是。例2：讨论函数在处的连续性。 解：由于在处没有定义，所以在处不连续。即是的间断点。 例3：讨论函数在点处的连续性。 解：由P62页2.1节的结论知，不存在，故在处不连续。即是的间断点。 例4：讨论函数在点处的连续性。 解：依连续的定义， 在处不连续。即是的间断点。1、（2023下半年第2题）设函数，则k=（ ） A； B. ； C、1 ； D、2 ； 解：， 而，由已知条件在处连续，所以。 故应选（C）2、（2023上半年第2题）设函数，则k=（ ） A、； B. ； C、1 ； D、2 ； 解： 而，由已知条件在处连续，所以，
6、得。故应选（B）3、（练习册P3第2题）设函数 问：（1）当a,b为什么值时，在处有极限存在？ （2）当a,b为什么值时，在处连续？ 解： （1） 要使在处有极限存在，左、右极限要相等，则，； （2）而 ， 所以要使在处连续，则要，即； 五、导数运算法则：（P96） （1） ； （2）； （3） （4） （5） （6）对于复合函数，令，则有。六、微分的运算公式：举例：例1：求在处的导数。解：. 当时，有.例2：已知，求， 解：由于，则有； ；例3：计算下列各函数的导数和微分：（P89）（1）； （2）； （3）；解：（1）； ；（2）； ；（3） ； ； （注意：这里用到了公式：）关于复合函数
7、求导是必考题例4：求下列函数的导数和微分：（P9093） （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； 解：（1） ； （2）令，有 ； 或写成：； ； （3）令，则有 ； 或写成：； ； （4），得到 ； 或写成：； ； （5）由于则有 ； ； 2、（2023上半年第3题）设，则（ ） （A）； （B）； （C）； （D）； 3、（2023上半年第18题）设，求； 解： 4、（2023上半年第11题）设，求解：5、（2023下半年第11题）6、（2023上半年第11题）设，求7、（2023下半年第11题）已知，求解：六、导数的几何意义：（P8283）例1：求曲线在x=1处切线的斜率。解：
8、 ， 曲线在x=1处切线的斜率为 。例2：求曲线在点（1，1）处的切线方程。 解： ， 曲线在点（1，1）处的切线方程为： 即：。七、可导与连续的关系：（P83） 定理2.5 若函数在点x处可导，则它在点x处一定连续。 逆命题不一定成立。即函数在点x处连续，不一定在点x处可导。八、导数在经济分析中的应用（P135） 1、需求价格弹性（P135136）：（有也许在填空题出现）定义3.2 设某种商品的市场需求量为q，价格为p，需求函数可导，则称为该商品的需求价格弹性，简称需求弹性。经济含义：当某种商品的价格下降（或上升）1%时，其需求量将增长（或减少）%。 例1：某种商品的需求量q（单位：百件）与
9、价格p（单位：千元）的关系为： ，求当价格为9千元时的需求弹性。 解： ，由公式，有： 当时，。（即当价格上涨1%时，商品的需求量将减少3%；反之，当价格下降1%时，商品的需求量将增长3%）九、积分基本公式（P223225） 1、不定积分与导数（微分）之间的关系： 或 或 2、导数基本公式与积分基本公式：（P223） 导数基本公式 积分基本公式 （以上积分基本公式中的积分变量x可以换成其他的字母）定积分计算公式：（牛顿莱布尼茨公式）十、基本积分方法（P225229） 1、不定积分的性质：（1）； （2）； 定积分特有的性质（P267）：（1） （） （2） ；且； （3） ； ； 2、直接积分
10、法（这是积分计算基础）： 例1：（练习册P7一、1）若，则； 解：求，即求，而 所以例2：（练习册P7三、1（1）（3）（1）；（2） （注意：这里用上公式： ， ）；（3）；例3：（P226例1（2）、（3）（2）；（3） ；例4：（P268）计算下列定积分： （1） ； （2） ； 3、凑微分法（第一换元法）（考试重点）凑微分法的基本思想就是“凑微分，使变量一致”。使变量一致是指被积函数的自变量与新凑成的积分变量一致。而使变量一致的目的是为了运用积分基本公式直接求出积分结果。 例1：求下列积分：（P229、P268） （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ；（
11、练习册P9）解：（1）运用积分基本公式：； （2）运用积分基本公式：； 纯熟掌握凑微分法后，可以省去“视”和“还原”的过程，直接运用积分基本公式求得结果。 （3）用凑微分法及积分基本公式：。 ； （4）用凑微分法及积分基本公式： ；（5） ； （注意：）（6）（注意：）练习（2023上半年第19题）4、分部考核知识点：矩阵概念与矩阵的运算、特殊矩阵；矩阵的初等行变换与矩阵的秩、可逆矩阵与逆矩阵；线性方程组、消元法；线性方程组有解鉴定定理、线性方程组解的表达；一、矩阵的概念（P5052） 1、定义2.1 由个数排成m行n列，并括以方括弧（或圆括弧）的数表 称为m行n列矩阵，简称矩阵。 通常以英文
12、大写黑体字母A、B、C、.表达矩阵。2、矩阵与行列式的区别：矩阵是一张矩形数表，行列式则是一个算式，当元素是具体的数字时，行列式即是一个数值。3、几个概念：行矩阵、列矩阵、n阶矩阵、主对角线、次对角线、零矩阵、同形矩阵、负矩阵。二、矩阵的运算（P5561）1、 矩阵的相等：定义2.2 若两个矩阵A=，B=，满足（1）行、列数分别相同，即；（2）相应元素相等，即，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。 2、矩阵的加法：定义2.3 设A=，B=都是矩阵，且 ，则称矩阵C=为A与B之和，记为C=A+B矩阵的加法满足以下运算规律：A+B=B+A； （A+B）+C=A+（B+C）矩阵的减法：AB=A+（B
13、） 且有：AA=O ， A+O=A 3、矩阵的数量乘法：定义2.4 设矩阵A=，为任意数，且，则称矩阵为数与矩阵A的数量乘法，记为。矩阵的数量乘法满足以下运算规律：结合律：；矩阵对数的分派律：；数对矩阵的分派律：；数1与矩阵满足：， ；数k乘单位矩阵： = 称为数量矩阵。数量矩阵的特点是主对角线上的元素均为k，其余元素全为0 。当k=1时，为单位矩阵。（例4、例5 P5657） 4、矩阵乘法：定义2.5 设矩阵A=，B=，则称矩阵为A与B的乘积，记为C=AB，其中（例6、例7、例8 P5960） 矩阵乘法满足的运算规律： （1）结合律：（AB）C=A（BC）； （2）数乘结合律：； （3）分派
14、律：A（B+C）=AB+AC（左分派律） （B+C）A=BA+BC（右分派律） （4）， ； ； ； ； ； ； 5、矩阵的转置： 定义2.6 把一个矩阵A的行与列依次互换位置，得到的矩阵，称为A的转置矩阵。转置矩阵满足的运算律：（1）； （2）；（3）； （4）；三、几类特殊矩阵 1、对角矩阵主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵。 满足的性质：（1）同阶的对角矩阵的和与差仍然是对角矩阵； （2）数与对角矩阵的乘积仍然是对角矩阵；（3）同阶对角矩阵的乘积仍然是对角矩阵，并且它们的乘积是可互换的；即AB=BA。（4）对角矩阵A与它的转置矩阵相等，即；2、三角矩阵主对角线下方的元素全为0的方
15、阵称为上三角矩阵；上方的元素全为0的方阵称为下三角矩阵；上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵。满足的性质： 两个同阶上（下）三角矩阵的和、数乘仍为上（下）三角矩阵，而上（下）三角矩阵的转置为下（上）三角矩阵。3、对称矩阵若矩阵A满足，则称A为对称矩阵。 （对角矩阵是对称矩阵）四、n阶方阵的行列式：与n阶方阵相应的行列式称为方阵A的行列式，记作或detA。 定理2.1 对于任意两个n阶方阵A，B，总有|AB|=|A|B|； 推论1：若都是n阶方阵，则 特别地： ； 推论2：设A是n阶方阵，则；五、可逆矩阵与逆矩阵： 1、逆矩阵的定义： 定义2.11 对于n阶方阵A，假如有n阶方阵B，且满足AB=
16、BA=I，则称矩阵A可逆，称B为A的逆矩阵，记作：； 性质：（1）若A可逆，则也可逆，并且； （2）若n阶方阵A与B都可逆，则AB也可逆，并且； （3）若A可逆，则也可逆，并且； （4）若A可逆，则，且。 2、可逆矩阵的鉴定： 定理2.2 方阵A可逆的必要条件为A是非奇异矩阵，即；定理2.3 若方阵A是非奇异的，即，则A是可逆的，并且有；定理2.4 矩阵A为可逆矩阵的充足必要条件是：，且有；定理2.5 设A与B都是n阶方阵，若AB=I，则A与B都可逆，并且 ， ；六、矩阵的初等行变换和初等矩阵：（P77） 1、矩阵的初等行变换：（1）对换变换将矩阵的某两行对换位置；（2）倍乘变换将某一行遍乘一
17、个非零常数k；（3）倍加变换将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行； 2、运用初等行变换求逆矩阵：举例（P82）七、矩阵的秩：（P84） 1、矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记为或秩（A）； 2、阶梯形矩阵的秩等于非零行行数；（P86例3、4） 第三章 线性方程组一、线性方程组解的情况鉴定 定理3.1 ： 线性方程组AX=b有解的充足必要条件是它的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等，即：秩（A）=秩（） 定理3.2 ： 若线性方程组AX=b满足秩（A）=秩（）=r ，则当r = n 时，线性方程组有解且只有惟一解；当r n时，线性方程组有无穷多解； 举例（P132 例1、 P134例2） 推论：齐次线性方程组AX=O有非0解的充足必要条件是系数矩阵A的秩小于未知量的个数，即：秩（A） n ；二、矩阵方程的求解：1、 对于方程AX=B，则方法一：； 方法二：由通过初等行变换可以化为的形式，其中I 是单位矩阵，则 就是矩阵方程AX=B的解； 2、对于矩阵方程XA=B，求解时两端先求转置，得，然后用解矩阵方程的方法求解，得到后，再转置便可得到X；