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1、第五章 一元函数的导数及应用1717世纪中叶，牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分世纪中叶，牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分 牛顿偏重从物理问题出发，应用了运动学的原理，如瞬时速度中的“微分”、运动变量的“积分”等概念.莱布尼茨从几何学问题出发，用分析法引进微积分，得出运算法则，比牛顿的更为规范和严密.章前导入微积分的创立与处理四类科学问题直接相关1求物体在任意时刻的速度与加速度2求曲线的切线3求函数的最大值与最小值4求长度、面积、体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等
2、性质的基本方法.导数的本质是什么？第五章 一元函数的导数及应用5.1.1 5.1.1 变化率问题变化率问题第一课时第一课时一二三学习目标会求函数在某一点附近的平均变化率，理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念会求抛物线的切线斜率，体会数学的极限思想通过本节课的学习，培养起数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养.学习目标课堂导入 在必修第一册中，我们研究在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道度的差异，知道“对数增长对数增
3、长”是是越来越慢的，越来越慢的，“指数爆炸指数爆炸”比比“直线上升直线上升”快得多快得多.进一步地，能进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？慢呢？下面我们就来研究这个问题下面我们就来研究这个问题.变化率：一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率.创设情境创设情境问题1 高台跳水运动员的速度新知探究：变化率问题新知探究：变化率问题问题1 高台跳水运动员的速度 在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？请计算对应时间段
4、的平均速度：新知探究：变化率问题新知探究：变化率问题 要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度再计算：追问1：(1)(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)(2)平均速度能准确反映运动员的运动状态吗?(1)(1)在这段时间内，运动员并不处于静止状态.(2)(2)用平均速度不能准确反映运动员在这段时间内里的运动状态.新知探究：变化率问题 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度瞬时速度的概念的概念.我们把我们把物体在某一时刻的速度物体在某一时刻的速度称为称为瞬时速度瞬时速度(instantaneous velocity).).
5、追问2 瞬时速度与平均速度有什么关系瞬时速度与平均速度有什么关系?你能利用这种关系求运动员在你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗时的瞬时速度吗?新知探究：变化率问题问题 运动员在t=1s时的瞬时速度是多少？t是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格.t 0-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001-0.000010.00001-0.0000010.000001-4.951-4.9951-4.99951-4.999951-4.9999951-5.049-5.0049-5.00049-5.00
6、0049-5.0000049 通过观察可得，当t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于5.归纳总结(1)求物体运求物体运动路程与路程与时间的关系的关系ss(t)；(2)求求时间改改变量量t，位移改，位移改变量量ss(t0t)s(t0)；求瞬时速度的步骤求瞬时速度的步骤方法归纳新知应用 思考思考(1)求运动员在求运动员在t=2 s时的瞬时速度；时的瞬时速度；(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度的瞬时速度?新知应用 思考思考(1)求运动员在求运动员在t=2 s时的瞬时速度；时的瞬时
7、速度；(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度的瞬时速度?解：因此运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度为1.本节课收获了哪些知识？平均速度瞬时速度瞬时速度的本质是平均速度的极限.(1)平均速度：平均速度：(2)瞬时速度：瞬时速度：2.求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤：课堂小结巩固练习1.求问题求问题1中高台跳水运动员在中高台跳水运动员在t=0.5 s时的瞬时速度时的瞬时速度.课本课本P61巩固练习课本课本P612.火箭发射火箭发射t s后，其高度后，其高度(单位单位:m)为为h(t)=0.9t2.求：求：(1)在在1t2这段时间里，火箭爬高的平均速度；这段时间里，火箭爬高的平均速度；(2)发射后第发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度时，火箭爬高的瞬时速度.巩固练习课本课本P623.一个小球从一个小球从5 m的高处自由下落，其位移的高处自由下落，其位移y(单位单位:m)与时间与时间t(单位单位:s)之之间的关系为间的关系为 y(t)=4.9t2.求求t=1 s时小球的瞬时速度时小球的瞬时速度.