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1、5.5.1第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式问题1请同学们写出两角差的余弦公式.提示cos()cos cos sin sin.问题2试比较cos()和cos()，观察两者之间的联系，你能发现什么？提示我们注意到与有联系，()，于是我们可以根据已知的两角差的余弦公式进行展开.即cos()cos()cos cos()sin sin()cos cos sin sin，于是我们得到了两角和的余弦公式.问题3同学们还记得诱导公式五和六吗？追问：公式五或六实现了正弦、余弦的相互转化，你能想到如何表示两角和与差的正弦吗？知识点1两角和与差的正弦公式、两角和的余弦公式 名称公式简记符号使用条件两角和的余
2、弦公式cos(+)=cos cos-sin sin C(+),R两角和的正弦公式sin(+)=sin cos+cos sin S(+),R两角差的正弦公式sin(-)=sin cos-cos sin S(-),R名师点睛两角和与差的正弦公式的记忆方法记忆口诀:正余余正,符号相同.正余余正表示展开后的两项分别是两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦;符号相同表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同,即两角和时用“+”,两角差时用“-”.过关自诊1.判断正误.(正确的画,错误的画)(1)sin(-)=sin cos-cos sin.()(2)sin+sin=sin(+).()(3)sin(
3、+-15)=sin(-15)cos+cos(-15)sin.()(4)sin 15+cos 15=sin 60.()问题4你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？用来代替tan()中的即可得到tan().知识点2两角和与差的正切公式 名师点睛公式的右边为分式形式,其中分子为tan,tan 的和或差,分母为1与tan tan 的差或和.公式中左边的加减号与右边分子上的加减号相同,与分母上的加减号相反.符号变化规律可简记为“分子同,分母反”.当,角的正切值不存在时,不能使用上述公式,但可以用诱导公式或其他方法解题2.你能写出和角、差角这6个公式的逻辑联系框图吗?提示 过关自诊
4、1.判断正误.(正确的画,错误的画)(3)存在,R,使tan(+)=tan+tan 成立.()探究点一探究点一化化简与求与求值【例1】化简下列各式:(5)(1+tan 21)(1+tan 24)=1+tan 21+tan 24+tan 21tan 24=1+tan(21+24)(1-tan 21tan 24)+tan 21tan 24=1+(1-tan 21tan 24)tan 45+tan 21tan 24=1+1-tan 21tan 24+tan 21tan 24=2.同理可得(1+tan 22)(1+tan 23)=2,原式=22=4.规律方法规律方法1.公式的巧妙运用顺用:如本题中的(
5、1);逆用:如本题中的(2);变用:变用涉及两个方面,一个是公式本身的变用,如cos(+)+sin sin=cos cos,一个是角的变用,也称为角的拆分变换,如=(+)-,2=(+)+(-)等,从某种意义上来说,是一种整体思想的体现,如cos(+)cos+sin(+)sin=cos(+)-=cos.这些需要在平时的解题中多总结、多研究、多留心,唯其如此才能在解题中知道如何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若A+B=,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则A+B=k+,k
6、Z.变式训练1 探究点二探究点二利用两角和与差的三角函数公式解决利用两角和与差的三角函数公式解决给值求求值问题(1)求sin(+)的值;(2)求cos(-)的值;(3)求tan 的值.规律方法规律方法给值求值的解题策略在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是:(1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.(2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.变式训练2(1)答案3 探究点三探究点三利用两角和与差的三角函数公式解决利用两角和与差的三角函数公式解决给值求角求角问题变式探究 本本节要点要点归纳1.知识清单:(1)公式的推导.(2)给式求值、给值求值、给值求角.(3)公式的正用、逆用、变形用.2.方法归纳:转化法、整体法、构造法.3.常见误区:(1)公式中加减符号易记错;(2)求值或求角时易忽视角的范围.1.sin(x+17)cos(28-x)+sin(28-x)cos(x+17)的值为()答案 D 解析原式=sin(x+17+28-x)=sin 45=.答案 A 解析cos(+)=cos cos-sin sin=,cos(-)=cos cos+sin sin=-,两式相加可得2cos cos=0,即cos cos=0.答案 A