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1、微专题52 等差等比数列的证明在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。一、基础知识：1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列（1）定义法（递推公式）：（等差），（等比）（2）通项公式：（等差），（等比）（3）前项和：（等差），（等比）（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项2、如何证明一个数列是等差等比数列：（1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即，均有： （等差） （等比）二、典型例题：例1：已知数列的首项求证：数列为等比数列思路一：构造
2、法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：即，在考虑构造“”：即数列是公比为的等比数列思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用表示：，则只需证明是等比数列即可，那么需要关于的条件（首项，递推公式），所以用将表示出来，并代换到的递推公式中，进而可从的递推公式出发，进行证明解：令，则 递推公式变为： 是公比为的等比数列。即数列为等比数列小炼有话说：（1）构造法：在构造的过程中，要寻找所证数列形式的亮点，并以此为突破对递推公式进行变形，如例1中就是抓住所证数列有一个“倒数”的特点，进而对递推公式作取倒数的变换。所以构造法的关键之处在于
3、能够观察到所证数列显著的特点并加以利用（2）代换法：此方法显得模式化，只需经历“换元表示代入化简”即可，说两点：一是代换体现了两个数列的一种对应关系，且这种对应是同序数项的对应（第项对应第项）；二是经过代换，得到的递推公式，而所证是等比数列，那么意味着其递推公式经过化简应当形式非常简单，所以尽管代入之后等式复杂，但坚定地化简下去，通常能够得到一个简单的答案。个人认为，代入法是一个比较“无脑”的方法，只需循规蹈矩按步骤去做即可。例2：数列的前n项和为，（*）设，证明：数列是等比数列，并求出的通项公式思路：本题所给等式混合在一起，可考虑将其转变为只含或只含的等式，题目中倾向于项的关系，故考虑消掉，
4、再进行求解解： 可得： 即 是公比为的等比数列 令 代入（*）可得： 小炼有话说：（1）遇到混合在一起的等式，通常转化为纯（项的递推公式）或者纯（前项和的递推公式），变形的方法如下： 消去：向下再写一个关于的式子（如例2），然后两式相减（注意取值范围变化） 消去：只需代换即可（）（2）混合在一起的等式可求出，令即可（因为）（3）这里体现出的价值：等差等比数列的通项公式是最好求的：只需一项和公差（公比），构造出等差等比数列也就意味这其通项可求，而通过也可将的通项公式求出。这里要体会两点：一是回顾依递推求通项时，为什么要构造等差等比数列，在这里给予了一个解释；二是体会解答题中这一问的价值：一个复杂
5、的递推公式，直接求其通项公式是一件困难的事，而在第一问中，恰好是搭了一座桥梁，告诉你如何去进行构造辅助数列，进而求解原数列的通项公式。所以遇到此类问题不要只停留在证明，而可以顺藤摸瓜将通项一并求出来例3：已知数列满足：且，求证：为等差数列解：设，则代入可得： 为等差数列，即为等差数列例4：已知曲线，过上一点作一斜率为的直线交曲线于另一点（且，点列的横坐标构成数列，其中.（1）求与的关系式；（2）令，求证：数列是等比数列；解：（1）曲线 （2），代入到递推公式中可得： 是公比为的等比数列小炼有话说：本题（2）用构造法比较复杂，不易构造出的形式，所以考虑用代入法直接求解例5：已知数列满足，判断数列
6、是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出解：设代入到可得：而 时，不是等比数列 时，是等比数列，即为等比数列 例6：（2015山东日照3月考）已知数列中， ，求证：数列是等比数列思路：所证数列为，可发现要寻找的是偶数项的联系，所以将已知分段递推关系转变为与之间的关系，再进行构造证明即可证明：由可得： 数列是公比为的等比数列例7：（2015湖北襄阳四中阶段性测试）已知数列满足，且对任意非负整数均有： （1）求 （2）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式解：（1）令可得：再令可得： （2）思路：考虑证明数列是等差数列，则要寻找，的关系，即所涉及项为，结合已知等式令，利用（1）中的，将代换
7、为即可证明，进而求出通项公式证明：在中令得： 由（1）得代入可得： 数列是公差为的等差数列 例8：（2010 安徽，20）设数列中的每一项都不为0，求证：是等差数列的充分必要条件是：对都有 思路：证明充要条件要将两个条件分别作为条件与结论进行证明，首先证明必要性，即已知等差数列证明恒等式。观察所证等式可联想到求和中的裂项相消。所以考虑，然后恒等式左边进行求和即可证明。再证明充分性，即已知恒等式证明等差数列：恒等式左侧为求和形式，所以考虑向前写一个式子两式相减，进而左边消去大量的项，可得：，通过化简可得：，从而利用等差中项完成等差数列的证明证明：先证必要性：是等差数列 当时 左边 右边 当时，考
8、虑左边 右边所证恒等式成立再证必要性： 可得：两边同时乘以得： 同理： -可得： 为等差数列小炼有话说：（1）本题证明等差数列所用的是等差中项的方法，此类方法多在数列中存在三项关系时使用（2）在充分性的证明中连续用到了构造新式并相减的方法，这也是变形递推公式的方法之一，当原递推公式难以变形时，可考虑使用这种方法构造出新的递推公式，尤其递推公式的一侧是求和形式时，这种方法可以消去大量的项，达到化简递推公式的目的。例9：若数列的各项均为正数，（为常数），且 （1）求的值（2）求证：数列为等差数列解：（1）令，则有 令，则有 可得： （2）思路：所给的递推公式中含有，而且原递推公式也很难变形，所以考虑再写一个式子两式相减，构造新的递推公式，仿照（1）进行变形。解： 可得： 从而 数列为等差数列例10：在数列中，且对任意，成等差数列，其公差为，若，求证：成等比数列思路：由的公差为，而表示数列中相邻的奇数项，所以可选择它们的关系作为突破口，即，从而可以求出奇数项的通项公式，再利用可求出，进而均可用含的式子表示，再从定义出发即可证明其成等比数列解：成等差数列且 成等差数列 成等比数列