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1、微专题50 等比数列性质一、基础知识1、定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列2、等比数列通项公式：，也可以为：3、等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项（1）若为的等比中项，则有（2）若为等比数列，则，均为的等比中项（3）若为等比数列，则有4、等比数列前项和公式：设数列的前项和为当时，则为常数列，所以当时，则可变形为：，设，可得：5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列，则有 数列（为常数）为等
2、比数列 数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列 数列为等比数列 数列为等比数列6、相邻项和的比值与公比相关：设，则有：特别的：若，则成等比数列7、等比数列的判定：（假设不是常数列）（1）定义法（递推公式）：（2）通项公式：（指数类函数）（3）前项和公式：注：若，则是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于，均有8、非常数等比数列的前项和 与前项和的关系，因为是首项为，公比为的等比数列，所以有 例1：已知等比数列的公比为正数，且，则_思路：因为，代入条件可得：，因为，所以， 所以 答案： 例2：已知为等比数列，且，则（ ）A. B. C. D. 思路一：由可求出公比：，可得，所以
3、思路二：可联想到等比中项性质，可得，则，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。例3：已知等比数列的前项和为，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 思路：由等比数列的结论可知：非常数列的等比数列，其前项和为的形式，所以，即 答案：A例4：设等比数列的前项和记为，若，则（ ）A. B. C. D. 思路：由可得：，可发现只有分子中的指数幂不同，所以作商消去后即可解出，进而可计算出的值解：，解得：所以答案：A例5：已知数列为等比数列，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 思路：与条件联系，可将所求表达式
4、向靠拢，从而，即所求表达式的值为答案：C例6：已知等比数列中，则其前5项的和的取值范围是（ ）A. B. C. D. 思路：条件中仅有，所以考虑其他项向靠拢，所以有，再求出其值域即可解： ，设，所以 答案：A 例7：已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“”是“数列是递增数列”的（ ）A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件思路：在等比数列中，数列的增减受到的符号，与的影响。所以在考虑反例时可从这两点入手。将条件转为命题：“若，则数列是递增数列”，如果，则是递减数列，所以命题不成立；再看“若数列是递增数列，则”，同理，如果，则要求，所以
5、命题也不成立。综上，“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件答案：D例8：在等比数列中，若，则（ ）A. B. C. D. 解：条件与结论分别是的前项和与倒数和，所以考虑设，则 所以 答案：B例9：已知等比数列中，各项都是正数，且，则（ ）A. B. C. D. 思路：所求分式中的分子和分母为相邻4项和，则两式的比值与相关，所以需要求出。由条件，将等式中的项均用即可求出。从而解得表达式的值解：成等差数列 将代入等式可得：，而为正项数列，所以不符题意，舍去答案：C例10：在正项等比数列中，则满足的最大正整数的值为_思路：从已知条件入手可求得通项公式：，从而所满足的不等式可变形为关于的不等式
6、：，由 的指数幂特点可得： ，所以只需，从而解出的最大值解：设的公比为，则有解得：（舍）或 所以所解不等式为： 可解得： 的最大值为 答案：三、历年好题精选（等差等比数列综合）1、已知正项等比数列满足，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 2、已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则（ ）A. B. C. D. 3、（2016，内江四模）若成等比数列，则下列三个数： ，必成等比数列的个数为（ ）A.0 B.1 C.2 D.34、设等差数列的前项和为，且满足，则，中最大的项为（ ）A. B. C. D.5、（2016，新余一中模拟）已知等差数列的公差，且
7、成等比数列，若，为数列前项和，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 6、（2015，北京）设是等差数列，下列结论中正确的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则 7、（2015，广东）在等差数列中，若，则_8、（2014，北京）若等差数列满足，则当_时，的前项和最大9、（2015，福建）若是函数的两不同零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（ ）A. B. C. D. 10、已知是等差数列，公差，其前项和为，若成等比数列，则（ ）A. B. C. D. 11、（2014，广东）若等比数列各项均为正数，且，则12、（2014，安徽）数
8、列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则_13、（2014，新课标全国卷I）已知数列的前项和为，其中为常数（1）证明： （2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由14、（2016，河南中原第一次联考）已知为等差数列的前项和，若，则（ ）A. B. C. D. 15、设等差数列的前项和为，且满足，则中最大的项为（ ）A. B. C. D. 16、（2014，湖北）已知等差数列满足：，且成等比数列（1）求数列的通项公式（2）记数列的前项和为，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由习题答案：1、答案：C解析：设等比数列的公比为，由已知可得，则有，所以，等号成立当且仅当2、答案：C
9、解析：由交点对称可知： 交点所在直线与垂直，所以； 直线为圆上弦的中垂线，所以该直线过圆心，由圆方程可得圆心坐标：，代入可得：，所以，3、答案：B解析：本题从“等比数列中不含0项”入手，不妨设的公比为，可得中若公比，则无法构成等比数列，同理中若，则无法构成等比数列；对于可知均能构成公比为的等比数列4、答案：D解析：，可得在中，且最大。所以可知，从而最大5、答案：A解析：设公差为，因为成等比数列解得： ，令6、答案：C解析：A选项：反例为公差小于0，且的数列，例如：，所以A错误B选项：同A中的例子即可判定B错误C选项：由可知，且，则，再将统一用表示，即，所以C正确D选项：由等差数列可得：，所以D
10、错误综上所述：C选项正确7、答案：10解析：，可得，所以 8、答案：8解析：由可得：，由可得，从而，由此可知数列前8项为正项，且数列单调递减，从第9项开始为负项，所以前8项和最大9、答案：D解析：由韦达定理可知，且由可知，因为可构成等比数列，所以必为等比中项，即，所以构成等差数列，同样由判断出则等差中项只能是或，所以有或，解得或，则，所以 10、解析：成等比数列 综上所述：11、答案：50解析：由可得，从而，因为为等比数列，所以为等差数列，从而有：12、答案：1解析：方法一：设的公差为，由成等比数列可得： 方法二：由等比数列性质可知：，由合比性质可得： 13、解析：（1） ，即（2）由题设可得： 由（1）可得： 若为等差数列，则 解得： 下面验证是否能让为等差数列由（1）可得：是首项为1，公差为4的等差数列 是首项为，公差为4的等差数列且为公差是2的等差数列 14、答案：D解析：15、答案：D解析：，所以，所以可得在中，最大，在中，是最小的正数。所以最大16、解析：（1）设的公差为 成等比数列 或 当时，可得 当时， 或（2）当时，故不存在符合条件的 当时， 令 解得或（舍），即的最小值为 综上所述：当时，不存在符合条件的；当时，的最小值为