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1、第第9 9章章 静电场中的导体与电介质静电场中的导体与电介质一静电感应一静电感应 静电平衡条件静电平衡条件 -均匀导体内场强处处为零均匀导体内场强处处为零静电平衡时，导体是个等势体，静电平衡时，导体是个等势体，导体表面导体表面 是个等势面是个等势面二静电平衡时导体上电荷的分布二静电平衡时导体上电荷的分布 1.1.静电平衡的导体的内部处处净电荷为零，静电平衡的导体的内部处处净电荷为零，净电荷只分布在导体表面净电荷只分布在导体表面S推论：推论：导体表面场强垂直表面导体表面场强垂直表面无电荷定向移无电荷定向移动动(静电平衡）静电平衡）9-1 静电场中的导体静电场中的导体12 2 导体表面处的场强处处
2、与表面垂直，导体表面处的场强处处与表面垂直，其大小其大小3.3.电荷密度与曲率有关电荷密度与曲率有关 -尖端放电尖端放电2导体静电平衡的条件导体静电平衡的条件(1)用电场强度描述用电场强度描述(2)用电势描述用电势描述:整个导体是等势体整个导体是等势体,表面是等势面表面是等势面.导体内部任一点的电场强度为零导体内部任一点的电场强度为零导体表面上任一点的电场强度垂直于该点的表面导体表面上任一点的电场强度垂直于该点的表面.(3)用电荷分布描述用电荷分布描述:导体内部没有电荷导体内部没有电荷,电荷只分布在电荷只分布在导体表面导体表面.且且3下面这些说法下面这些说法对不对对不对？“B 球上正电荷处电势
3、高球上正电荷处电势高,负电荷负电荷 处电势低。处电势低。正电荷发出的电力线正电荷发出的电力线 可以指向它的负电荷可以指向它的负电荷”“两球再靠近两球再靠近,再靠近，再靠近，A球左侧也会出现负电荷球左侧也会出现负电荷”答：不对！答：不对！答：不对！答：不对！讨论：讨论：因为因为静电平衡状态下，静电平衡状态下，导体是等势体。导体是等势体。ABAB不可能！不可能！4 三、静电屏蔽三、静电屏蔽腔内无带电体腔内无带电体金属空壳金属空壳的的内表面带不带电？内表面带不带电？答：不带电答：不带电作高斯面作高斯面S如图；有如图；有能不能在空壳的内表面上，某处带的正电荷与另一处能不能在空壳的内表面上，某处带的正电
4、荷与另一处带的负电荷一样多的情况？带的负电荷一样多的情况？（否则（否则 空腔空腔就不是等势体了）就不是等势体了）所以空腔内表面无电荷，空腔内部无电力线，空腔内部所以空腔内表面无电荷，空腔内部无电力线，空腔内部空间不会受外部电场的影响，空间不会受外部电场的影响，就起到了对内的屏蔽作用。就起到了对内的屏蔽作用。（当（当 A 在在 B 的外面转时的外面转时,B 的电荷分布会跟着变）的电荷分布会跟着变）5重要规律（重要规律（1）:导体壳外表面上的电荷与壳外电荷在导体壳外表面上的电荷与壳外电荷在导体壳外表面以内的空间的总场强等于零；电荷分布导体壳外表面以内的空间的总场强等于零；电荷分布在外表面上，空腔内
5、无电场，腔内电势处处相等。在外表面上，空腔内无电场，腔内电势处处相等。6 导体壳内表面上所带电荷导体壳内表面上所带电荷与腔内电荷代数和为零，而外与腔内电荷代数和为零，而外表面带有和腔内电荷同号同量表面带有和腔内电荷同号同量的电荷的电荷2、腔内有带电体、腔内有带电体 如果要求腔内电荷不影响腔如果要求腔内电荷不影响腔外外,可以将外壳接地。可以将外壳接地。电力线不可能到外面来电力线不可能到外面来,就起到了对外就起到了对外的屏蔽作用。的屏蔽作用。7 重要规律（重要规律（2）:导体壳内表面上的电荷与壳内电荷相等导体壳内表面上的电荷与壳内电荷相等,在导体壳在导体壳内表面以外的空间的总场强等于零。内表面以外
6、的空间的总场强等于零。静电屏蔽静电屏蔽）导体壳）导体壳 屏蔽外电场屏蔽外电场）导体壳接地，屏蔽内电场）导体壳接地，屏蔽内电场B8四四 有导体存在时静电场的分析与计算有导体存在时静电场的分析与计算导体上的电荷重新分布导体上的电荷重新分布电场电场利用：利用：相互影响相互影响静电场的基本规律静电场的基本规律（高斯（高斯定理和环路定理）定理和环路定理）电荷守恒定律电荷守恒定律导体的静电平衡条件导体的静电平衡条件进行分析与计算进行分析与计算静电场的叠加原理静电场的叠加原理9例：例：已知：一大导体板已知：一大导体板另一同样大导体板，不带电另一同样大导体板，不带电两板平形两板平形放置放置求：求：两导体板的电
7、荷分布两导体板的电荷分布解：解：设设静电平衡后两导体板的电荷分布为静电平衡后两导体板的电荷分布为由电荷守恒定律由电荷守恒定律由高斯定律由高斯定律由叠加原理和静电平衡条件由叠加原理和静电平衡条件P P对导体板内任一点对导体板内任一点P P+-10Q Q+-原不带电原不带电求：内侧接地后求：内侧接地后+-+例例接地的含义：接地的含义：(1)提供电荷流动的通道提供电荷流动的通道（导体上的电量可变）（导体上的电量可变）(2)导体与地等电势导体与地等电势 导体导体=地地=0 不意味着不意味着“电荷一电荷一定全跑光定全跑光”11在计算电场强度和电势等有关问题时，首先要确定带电体上的在计算电场强度和电势等有
8、关问题时，首先要确定带电体上的电荷分布。确定电荷分布的根据就是静电平衡条件：即导体内电荷分布。确定电荷分布的根据就是静电平衡条件：即导体内部任意一点的电场强度为零，或者导体是一个等势体。部任意一点的电场强度为零，或者导体是一个等势体。例、一个半径为例、一个半径为R R的金属球原来不带电，将它放在点电荷的金属球原来不带电，将它放在点电荷+q+q的电的电场中，球心和点电荷间距为场中，球心和点电荷间距为r r。求金属球上感应电荷在球心处的。求金属球上感应电荷在球心处的电场强度和金属球的电势。电场强度和金属球的电势。+q-+OR解：如图所示，设金属球上的解：如图所示，设金属球上的感应电荷为感应电荷为+
9、q+q和和-q-q，根据，根据静电平衡条件，电荷应该分布静电平衡条件，电荷应该分布在球的表面上在球的表面上。球心球心O O点的电场强度点的电场强度E EO O为正负感应电荷的电场强度为正负感应电荷的电场强度E E和点电荷的和点电荷的电场强度电场强度E E的叠加。即：的叠加。即：12根据静电平衡条件，金属球内的电场强度处处为零，即根据静电平衡条件，金属球内的电场强度处处为零，即E EO O=0=0，则，则：式中式中e er r为从球心为从球心O O到点电荷径矢到点电荷径矢r r的单位矢量。的单位矢量。根据静电平衡条件，金属球是一个等势体，所以只要求出球内任意根据静电平衡条件，金属球是一个等势体，
10、所以只要求出球内任意一点的电势就可以知道金属球的电势。而金属球心的电势最容易计一点的电势就可以知道金属球的电势。而金属球心的电势最容易计算。感应的正负电荷在球心的电势为零，根据电势叠加，球心上的算。感应的正负电荷在球心的电势为零，根据电势叠加，球心上的电势仅为点电荷在球心处的电势。即：电势仅为点电荷在球心处的电势。即：所以金属球的电势为：所以金属球的电势为：13求：求：导体球接地后导体球接地后球上感应电荷的电量球上感应电荷的电量q qx x 是多少？是多少？例例q qR Ra a0 0a:点电荷距离球心的距离点电荷距离球心的距离14证明：平行电场线的电场一定是匀强场。证明：平行电场线的电场一定
11、是匀强场。a ab bc c高斯定律：高斯定律：环路定理：环路定理：例例15例例.将一个将一个带电带电+Q 的导体球的导体球 A 移近一个移近一个不带电不带电的导体球的导体球 B，若以无限远为电势零点。试问若以无限远为电势零点。试问 B 球的球的电势是正的还是负的？（电势是正的还是负的？（用两种方法说明之）用两种方法说明之）方法一方法一.电力线法电力线法结论：结论：B0注意：注意：B 球上球上 有正电也有负电，有正电也有负电，但是它是等势体但是它是等势体,它的电势是正的。它的电势是正的。【答】【答】AB16方法二方法二.电势叠加法电势叠加法前者为零。前者为零。后者为正。后者为正。所以所以 o0
12、因为因为 B 球为等势体，球为等势体，所以所以 B0先分析先分析 B 球的球心点球的球心点o的电势的电势 o：A0B :B 球表面电荷（有正有负球表面电荷（有正有负,代数和为零）代数和为零）与与 A 球正电荷的电势的叠加球正电荷的电势的叠加。o17 一不带电的金属球壳，一不带电的金属球壳，其腔内有点电荷其腔内有点电荷q，球壳外半径为球壳外半径为R.(1)若点电荷在球心，金属球壳电势？若点电荷在球心，金属球壳电势？(2)若点电荷不在球心，金属球壳电势？若点电荷不在球心，金属球壳电势？例例【答】【答】(1)若点电荷在球心，若点电荷在球心，-qq分析电荷分布情况：如图。分析电荷分布情况：如图。只有最
13、外面的均匀带电球面只有最外面的均匀带电球面对金属球壳的电势有贡献，所以对金属球壳的电势有贡献，所以用电势叠加法用电势叠加法18用场强积分法用场强积分法 来检验一下：来检验一下：-q(2)若点电荷不在球心，若点电荷不在球心，只是只是金属球壳内部的电场变成非球对称场，金属球壳内部的电场变成非球对称场，金属球壳外部的电场未变，金属球壳外部的电场未变，所以仍有所以仍有-qq（相同）（相同）199-2 9-2 电容电容 电容器电容器一孤立导体的电容一孤立导体的电容二电容器及其电容二电容器及其电容）同心球形电容器电容）同心球形电容器电容）平板电容器电容）平板电容器电容A A设设203)3)同轴柱形电容器同
14、轴柱形电容器三三 电容器串并联电容器串并联串联串联B BA AQ Q1 1Q Q2 2U Ux x-x-xy yy y 并联并联21四四.电容器电容的计算电容器电容的计算计算电容器电容的一般步骤是：计算电容器电容的一般步骤是：设两极板带电设两极板带电 ，求电场强度，求电场强度 ；场强积分计算电势差场强积分计算电势差 代入公式代入公式 1 1）平行板电容器电容：）平行板电容器电容：AB设上下极板分别带电设上下极板分别带电 +Q,-Q,Q,-Q,极板间场强大小极板间场强大小极板间电势差极板间电势差电容为电容为222 2）同心球形电容器电容）同心球形电容器电容设内外极板分别带电设内外极板分别带电 +
15、Q,-Q,Q,-Q,极板间场强大小极板间场强大小极板间电势差极板间电势差电容为电容为233)3)同轴柱形电容器同轴柱形电容器BA设内外圆柱分别带电设内外圆柱分别带电 +Q,-Q,Q,-Q,内外圆柱间场强大小内外圆柱间场强大小内外圆柱间电势差内外圆柱间电势差单位长度电容：单位长度电容：24总结：总结：电容电容孤立导体的电容孤立导体的电容:电容器的电容电容器的电容:平行板电容器的电容平行板电容器的电容:球形电容器的电容球形电容器的电容:同轴圆柱形电容器的电容同轴圆柱形电容器的电容:259.3 9.3 静电场中的电介质静电场中的电介质电介质对电场的影响电介质对电场的影响电介质：电介质：实验表明：实验
16、表明：加入电介质后，两导体板间加入电介质后，两导体板间电压下降电压下降.相对介电常数相对介电常数（相对电容率）相对电容率）说明电场减弱了说明电场减弱了d269-3 9-3 静电场中的电介质静电场中的电介质一电介质的极化及其微观机制一电介质的极化及其微观机制无极分子的位移极化无极分子的位移极化时时,电矩电矩时时,电矩电矩有极分子的取（转）向极化有极分子的取（转）向极化 （正负电荷中心不重合）（正负电荷中心不重合）时时不规则排列不规则排列,不显电性不显电性也有位移极化，但取向极化占主要地位也有位移极化，但取向极化占主要地位27二极化强度二极化强度和极化电荷和极化电荷单位体积内分子电偶单位体积内分子
17、电偶极矩的矢量和极矩的矢量和单位单位:库仑米库仑米极化电荷极化电荷）在均匀介质中）在均匀介质中）非均匀介质中）非均匀介质中 表面有极化电荷表面有极化电荷 介质内部也有极化电荷介质内部也有极化电荷283 3各向同性线性电介质极化规律各向同性线性电介质极化规律当均匀电介质充满整个场时当均匀电介质充满整个场时+q+q-q-q-q-q+q+q定义定义电介质的电极化率电介质的电极化率29其它电介质其它电介质:1)1)线性各向异性电介质线性各向异性电介质2)2)铁电体铁电体 (铁磁体铁磁体)3)3)永电体或驻极体永电体或驻极体 (永磁体永磁体)4)4)压电体压电体 -压电效应压电效应 电致伸缩效应电致伸缩
18、效应30三三 电位移矢量电位移矢量 介质中的高斯定理介质中的高斯定理介质：介质：自由电荷自由电荷极化电荷极化电荷真空真空:31引入引入 电位移矢量电位移矢量-介质中高斯定理介质中高斯定理微分表达式：微分表达式：定义：定义：如何计算介质中的总场强？如何计算介质中的总场强？32点电荷之间相互作用能点电荷之间相互作用能）两点电荷（）两点电荷（q q1 1 q q2 2）相互作用能相互作用能9-49-4 静电场的能量静电场的能量一带电体系的静电能一带电体系的静电能33）三个点电荷组成系统）三个点电荷组成系统）个点电荷系统）个点电荷系统电荷连续分布静电能电荷连续分布静电能34能量密度能量密度表面均匀带电
19、的橡皮气球表面均匀带电的橡皮气球R0QdR厚度厚度dRdR的球壳中的能量的球壳中的能量静电场的能量静电场的能量35二二 电场能量电场能量 能量密度能量密度1.电容器储能电容器储能以平板电容器为例以平板电容器为例ABdq+-362.2.电场能量电场能量 能量密度能量密度能量密度能量密度介质中介质中或或真空中真空中37电容的计算电容的计算电容器电容可以根据电容的定义计算，一般计算步骤如下：电容器电容可以根据电容的定义计算，一般计算步骤如下：（1 1）设电容器两极板分别带有等量异号的电荷；）设电容器两极板分别带有等量异号的电荷；（2 2）计算电容器两极板的电场分布。有介质时需要用介质中的高斯定理求解
20、）计算电容器两极板的电场分布。有介质时需要用介质中的高斯定理求解电场；电场；（3 3）根据电势差的定义，求出两极板间的电势差；）根据电势差的定义，求出两极板间的电势差；（4 4）根据定义就可以求出电容。）根据定义就可以求出电容。有时候电容还可以通过电场能量来计算。有时候电容还可以通过电场能量来计算。例、一平板电容器，两板相距尺寸为例、一平板电容器，两板相距尺寸为d d，板间充以介电常数分别，板间充以介电常数分别为为1 1、2 2的两种均匀各向同性介质，其面积分别占据的两种均匀各向同性介质，其面积分别占据S1S1、S2S2，如，如图所示。（图所示。（1 1）求此电容器的电容；（）求此电容器的电容
21、；（2 2）如果电容器板上的电量为）如果电容器板上的电量为Q Q，计算板上面电荷密度的分布以及电介质表面上的极化电荷面密，计算板上面电荷密度的分布以及电介质表面上的极化电荷面密度的分布。度的分布。38+-S1E1D11 1S2E2D22 2d解：设在极板解：设在极板S1S1和和S2S2两部分上两部分上 的自由电荷面密度为的自由电荷面密度为1 1和和2 2，在与极板相邻，在与极板相邻的电介质表面上的极化电荷面密度分别为的电介质表面上的极化电荷面密度分别为分析：静电平衡时，导体是一个等势体。分析：静电平衡时，导体是一个等势体。由于两种电介质的介电常数不同，在计由于两种电介质的介电常数不同，在计算电
22、容时，先要求出电荷分布。算电容时，先要求出电荷分布。在介质和极板处作一个柱状封闭面，应用有介质的高斯定理可以求的电介质在介质和极板处作一个柱状封闭面，应用有介质的高斯定理可以求的电介质内的内的D D和和E E：由于带电导体板是等势体，所以正负极板间的电势差应相等，即：由于带电导体板是等势体，所以正负极板间的电势差应相等，即：39所以所以根据电荷守恒定律可以得到：根据电荷守恒定律可以得到：联立（联立（1 1）和（）和（2 2）可以得到：）可以得到：于是，可以得到电场的表达式：于是，可以得到电场的表达式：40根据电容器的定义，可以得到：根据电容器的定义，可以得到：可见，由于整个电容器两部分的电压相
23、等，所以整个电容器可以看作两个电容器可见，由于整个电容器两部分的电压相等，所以整个电容器可以看作两个电容器的并联，它们的电容分别为：的并联，它们的电容分别为：由定义，极化电荷面密度为：由定义，极化电荷面密度为：41例、如图所示，半径均为例、如图所示，半径均为a a的两根平行无限长直导线，相距为的两根平行无限长直导线，相距为d(dd(da)a)。试求单位。试求单位长度的电容。长度的电容。分析：电容与系统带电与否无关，只与系统自身性分析：电容与系统带电与否无关，只与系统自身性质有关。在具体计算中，可以先假设系统带电，求质有关。在具体计算中，可以先假设系统带电，求出电容极板间的电场强度和电势差，根据
24、定义可以出电容极板间的电场强度和电势差，根据定义可以求出电容。求出电容。解：设两平行直导线上电荷线密度分别为解：设两平行直导线上电荷线密度分别为+和和-，利用高斯定理可以分别求得两导线之间垂直连线上任利用高斯定理可以分别求得两导线之间垂直连线上任意一点意一点P P的场强。导线的场强。导线A A在在P P点产生的场强为：点产生的场强为：导线导线B B在在P P点产生的场强为：点产生的场强为：因为因为E E1 1和和E E2 2的方向相同，故由叠加原理得到的方向相同，故由叠加原理得到P P点的总场强为：点的总场强为：lrdd-rABpp42则两导线之间的电势差为：则两导线之间的电势差为：因此，单位
25、长度导线上的电容为：因此，单位长度导线上的电容为：由题意可知由题意可知：436 6、电场能量的计算、电场能量的计算（1 1）带电电容器储存的能量可以按照公式进行计算：）带电电容器储存的能量可以按照公式进行计算：（2 2）电场能量计算的步骤：）电场能量计算的步骤：（a a）根据电荷分布，计算出电场强度的分布规律，得到电场能量密）根据电荷分布，计算出电场强度的分布规律，得到电场能量密度度（b b）取适当的体积元）取适当的体积元dVdV，在所取的体积元中各点的电场强度量值相等。，在所取的体积元中各点的电场强度量值相等。通常在球对称电场中取薄球壳为体积元通常在球对称电场中取薄球壳为体积元dVdV=4=
26、4r r2 2drdr；在轴对称的电场中；在轴对称的电场中取薄圆柱壳为体积元取薄圆柱壳为体积元dVdV=2=2rldrrldr。（c c）按照电场能公式：）按照电场能公式：，正确定出积分上下限，计算出结果。正确定出积分上下限，计算出结果。44例、两个同轴长直圆柱，半径分别为例、两个同轴长直圆柱，半径分别为R R1 1和和R R2 2，长均为，长均为l l，带有等量异号电荷，带有等量异号电荷Q Q，两圆柱之间充满介电常数为两圆柱之间充满介电常数为的电介质。试求：（的电介质。试求：（1 1）两圆柱间任一点的电）两圆柱间任一点的电场能量密度；（场能量密度；（2 2）电介质中的总电场能量；（）电介质中
27、的总电场能量；（3 3）从电场能求圆柱形电容）从电场能求圆柱形电容器的电容。器的电容。分析：由介质中高斯定理可以求得电场分布，从而可以分析：由介质中高斯定理可以求得电场分布，从而可以求得电场能密度。取适当的体积元，积分可以求得电场求得电场能密度。取适当的体积元，积分可以求得电场总能量，从而可以求得电容。总能量，从而可以求得电容。解：（解：（1 1）在电介质中取半径为）在电介质中取半径为r r，长度为，长度为l l的圆柱作的圆柱作为高斯面，由高斯定理可以得到：为高斯面，由高斯定理可以得到：R2R1rl（2 2）在介质中取半径为）在介质中取半径为r r，厚度为，厚度为drdr的圆柱壳，此圆柱壳中的
28、电场能的圆柱壳，此圆柱壳中的电场能45整个介质中的电场能量为：整个介质中的电场能量为：（3 3）因为电容器贮存的电场能量为：）因为电容器贮存的电场能量为：所以电容器的电容为：所以电容器的电容为：46解：解：由高斯定理，可得内外层介质中的场强分布由高斯定理，可得内外层介质中的场强分布.设电荷线密度为设电荷线密度为 .例、例、两个共轴的导体两个共轴的导体圆筒圆筒,内筒内筒半径为半径为R R1 1,外外筒内筒内半径为半径为R R2 2(R R2 22R2R1 1),),圆筒圆筒内壁充入同轴圆筒形电介质内壁充入同轴圆筒形电介质,分界面半径为分界面半径为r r0 0，内层介质电容率，内层介质电容率为为 1 1 ,外层介外层介质电容率质电容率为为 2 2=1 1/2/2,两层介质的击穿场强均为两层介质的击穿场强均为E EM M .当电压升高时当电压升高时,哪层介质哪层介质先击穿先击穿?此时电压是多少？此时电压是多少？R1R2r0 1 2横截面图横截面图47击穿时击穿时由其中由其中r r0 02REE1m1m,当电压升高时，外层介质先被击穿当电压升高时，外层介质先被击穿每层介质中每层介质中r r 最小处场强最大最小处场强最大,此时此时48这时两导体圆筒间电势差为：这时两导体圆筒间电势差为：注意到注意到:击穿时两导体圆筒间电势差为：击穿时两导体圆筒间电势差为：49