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1、1.1.事件的频率事件的频率3.3.小结小结 1.21.2 概率的定义概率的定义2.2.事件的概率事件的概率1.事件的频率频率的性质频率的性质设设 A 是随机试验是随机试验 E 的任一事件的任一事件,则则试验试验序号序号1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次,各做各做 7
2、遍遍,观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率.波动最小波动最小随随n的增大的增大,频率频率 R 呈现出稳定性呈现出稳定性从从上述数据可得上述数据可得(2)抛抛硬硬币币次次数数 n 较较小小时时,频频率率 R 的的随随机机波波动动幅幅度度较较大大,但但随随 n 的的增增大大,频频率率 R呈呈现现出出稳稳定定性性.即即当当 n 逐逐渐渐增增大大时时频频率率 R总总是是在在 0.5 附附近近摆摆动动,且且逐逐渐渐稳稳定定于于 0.5.(1)频率有频率有随机波动性随机波动性,即对于同样的即对于同样的 n,所得的所得的R 不一定相同不一定相同;实验者实验者德德 摩根摩根蒲蒲 丰丰2048106
3、10.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验高尔顿高尔顿(Galton)板试验板试验.试验模型如下所示试验模型如下所示:自上端放入一小球自上端放入一小球,任其自任其自由下落由下落,在下落过程中当小球碰在下落过程中当小球碰到钉子时到钉子时,从左边落下与从右边从左边落下与从右边落下的机会相等落下的机会相等.碰到下一排钉碰到下一排钉子时又是如此子时又是如此.最后落入底板中最后落入底板中的某一格子的某一格子.因此因此,任意放入一球任意放入一球,则此球落入哪一个格子则此
4、球落入哪一个格子,预先难以确定预先难以确定.但是如果但是如果放入大量小球放入大量小球,则其最后所呈现的曲线则其最后所呈现的曲线,几乎总是几乎总是一样的一样的.请看动画演示请看动画演示http:/ n 较小时，事件较小时，事件发生的频率波动发生的频率波动幅度比较大，当幅度比较大，当 n 逐渐增大时逐渐增大时，频率趋于稳定值，频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可在试验中出现可能性的大小它就是事件的能性的大小它就是事件的概率概率用这种定义很难计算事件的概率，因为我们用这种定义很难计算事件的概率，因为我们不可能对每个事件都做大量的试验从中得到频率不可能
5、对每个事件都做大量的试验从中得到频率的稳定值同时，由于理论研究的需要，受频率的稳定值同时，由于理论研究的需要，受频率性质的启发，于是性质的启发，于是 1933年年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构了概率论的公理化结构，给出了概率的严格，给出了概率的严格定义定义，使概率论有了迅速的发展，使概率论有了迅速的发展.Born:25 Apr.1903 in Tambov,Tambov province,RussiaDied:20 Oct.1987 in Moscow,Russia柯尔莫哥洛夫资料Andrey NikolaevichKolmogorov概率的可列可加性概率的可列可加性.事件的事件的概率（概率的公理化定义）概率（概率的公理化定义）证明证明由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得概率的性质概率的性质概率的有限可加性概率的有限可加性证明证明由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得证明证明证明证明证明证明 由图可得由图可得又由又由性质性质 3 得得因此得因此得推广推广 三个事件和的情况三个事件和的情况n 个事件和的情况个事件和的情况解解SABAB解解1.频率频率(波动波动)概率概率(稳定稳定).2.概率的主要性质概率的主要性质小结