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1、大学物理习题课（简谐振动和简谐波）机 械 振 动简谐振动简谐振动1、振幅振幅 A2、周期周期 T3、频率频率 4、相位、相位时时为初相位为初相位位移位移速度速度加速度加速度简谐振动的判据简谐振动的判据1.动力学判据动力学判据:3.运动学判据运动学判据:2.能量判据：能量判据：简谐振动的种类简谐振动的种类弹簧振子弹簧振子单摆单摆复摆复摆能量能量同方向同方向,同频率简谐振动的合成同频率简谐振动的合成:其中其中:阻尼振动阻尼振动式中式中1）阻尼振动（阻尼小）阻尼振动（阻尼小）2）过阻尼振动（阻尼较大）过阻尼振动（阻尼较大）3）临界阻尼振动）临界阻尼振动tx临界阻尼临界阻尼过阻尼过阻尼阻尼振荡阻尼振荡
2、受迫振动受迫振动定态解定态解暂态解暂态解式中式中共振共振当当时时,B 达最大达最大,称位移共振称位移共振当当波函数波函数平面简谐波波 动弹性模量切变模量波的能量和能流波的能量和能流平均能量密度平均能流密度体积模量机械波的几个概念机械波的几个概念波的干涉波的干涉波的衍射波的衍射惠更斯原理惠更斯原理波的反射、折射波的反射、折射相干波的条件频率相同振动方向相同有恒定相位差驻波驻波形成条件半波损失波疏波密波疏波密存在不存在多普勒效应多普勒效应一般形式波的叠加原理振动与波动的比较定义研究对象能量速度周期频率方程振动质点在平衡位置附近来回运动某个质点的运动状态 能量守恒，不向外传播振动一次的时间单位时间内
3、的振动次数一元函数波动振动的传播整个介质 能量不守恒，有能流（行波）和传播一个波长的时间单位时间内传播的完整波数二元函数1.1.符合什么规律的运动是简谐运动符合什么规律的运动是简谐运动?判断下列物体判断下列物体(物理量物理量)的运的运动是不是简谐运动动是不是简谐运动?(1)(1)拍皮球时球的运动（设皮球与地面的碰撞是弹性的）拍皮球时球的运动（设皮球与地面的碰撞是弹性的）;(2)(2)如图所示如图所示,一小球在半径很大的光滑凹球面上滑动，且假设一小球在半径很大的光滑凹球面上滑动，且假设它经过的弧线很短它经过的弧线很短););提示：提示：简谐运动不是一般的往复运动,要判断一一个物理量是否作简谐运动
4、必须严格按照谐运动的运动学或动力学特征是否得到满足来判定.讨论题讨论题讨论题讨论题讨论题讨论题:(3)(3)质点做匀加速圆周运动质点做匀加速圆周运动,质点在直径上的投影点的运动质点在直径上的投影点的运动;(4)(4)竖直悬挂的弹簧上挂一重物，将重物拉开一定距离（在弹性竖直悬挂的弹簧上挂一重物，将重物拉开一定距离（在弹性限度之内），然后放手任其运动。限度之内），然后放手任其运动。答答答答：（2）、（）、（4）是简谐振动）是简谐振动2.伽利略曾提出并解决了这样的一个问题：伽利略曾提出并解决了这样的一个问题：一根很长的细线挂在又高又暗的城堡中，既看不见它的上端，也一根很长的细线挂在又高又暗的城堡中，
5、既看不见它的上端，也无法爬到高处去测量它的长度，只能看见它的下端，问如何用简无法爬到高处去测量它的长度，只能看见它的下端，问如何用简便的方法测量此线的长度？便的方法测量此线的长度？3.波的能量与振幅的平方成正比波的能量与振幅的平方成正比,两列振幅相同的相干波叠加后两列振幅相同的相干波叠加后加强点的振幅加倍加强点的振幅加倍,能量便为分振动的能量便为分振动的4倍倍,这是否违反了能量守这是否违反了能量守恒定律？恒定律？4.4.设在媒质中有一振源作简谐振动并产生平面余弦波设在媒质中有一振源作简谐振动并产生平面余弦波,问振动的问振动的频率与波动的频率是否相同？振动的速度与波动的速度数值是频率与波动的频率
6、是否相同？振动的速度与波动的速度数值是否相同？方向是否相同？否相同？方向是否相同？振动表达式的求解振动表达式的求解（1）解析法：由初始条件，代入相应表达式联立求解。已知（2）曲线法：已知曲线求O2-2X(m)t(s)1已知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根据图中数据写出已知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根据图中数据写出振动表达式。振动表达式。（3）旋转矢量图示法pMAMxyo1、旋转矢量：作坐标轴OX,自原点作一矢量A,规定：模 振幅角速度角频率与X轴的夹角相位初始与X轴的夹角初相t=t，A与X轴夹角为 显然P点的坐标即P点作简谐振动2、矢端X轴投影的运动规律t=0，A与X轴夹角为3、两
7、点说明:(1)旋转矢量法是研究简谐振动的一种直观方法;(2)不能把M的运动误认为简谐振动。一、一个沿一、一个沿x轴正向传播的平面简谐波（用余弦函数表示）在轴正向传播的平面简谐波（用余弦函数表示）在t=0时的波形曲线如图所示。时的波形曲线如图所示。（1）原点）原点O和和2、3各点的振动初位相各是多少？各点的振动初位相各是多少？（2）画出）画出t=T/4时的波形曲线。时的波形曲线。yx01 23 4答答答答：（1）O点2点3点 由图：A=a,=2b,=u/2b,对于坐标原点O有：t=t 时相位为-/2,解得 t+=-/2,=-t-/2,O点的振动方程及波动方程为 解：解：解：解：二、一平面简谐横波
8、以速度二、一平面简谐横波以速度u沿沿x轴正方向传播轴正方向传播,在在t=t时的波时的波形曲线如图所示形曲线如图所示,试写出试写出:(1)(1)坐标原点坐标原点o o的振动方程的振动方程;(2)(2)波动方程波动方程.x(m)y(m)uOab三、如图所示，在平面波传播方向上有一障碍物三、如图所示，在平面波传播方向上有一障碍物AB，根据惠更，根据惠更斯原理，定性地绘出波绕过障碍物传播的情况。斯原理，定性地绘出波绕过障碍物传播的情况。波线波阵面AB波线波线波线波阵面四、一个质点同时参与两个同方向，同频率的谐振动，振动四、一个质点同时参与两个同方向，同频率的谐振动，振动方程分别为：方程分别为：试用旋转
9、矢量法求合振动的振动方程。试用旋转矢量法求合振动的振动方程。解：解：解：解：x五、两个同方向的简谐振动曲线五、两个同方向的简谐振动曲线(如图所示如图所示)1、求合振动的振幅。、求合振动的振幅。2、求合振动的振动方程。、求合振动的振动方程。解：解：解：解：xTt六、试画出谐振子的动能、振动势能和机械能随时间六、试画出谐振子的动能、振动势能和机械能随时间t而变的三而变的三条曲线（设条曲线（设t=0时物体经过平衡位置）。时物体经过平衡位置）。T/2tE动能动能势能势能o机械能机械能七、设反射波的表达式为七、设反射波的表达式为波在波在 x=0 处反射，反射点为一自由端，求入射波和反射处反射，反射点为一
10、自由端，求入射波和反射波合成的驻波的波节位置所在处的坐标。波合成的驻波的波节位置所在处的坐标。xO入射波入射波反射波反射波解：解：解：解：入射波的表达式为驻波表达式为波节位置：八、一列横波在绳索上传播，其表达式为八、一列横波在绳索上传播，其表达式为 y y1 1=0.05cos2=0.05cos2(t/0.05-x/4)(t/0.05-x/4)。(1)(1)现有另一列横波（振幅也是现有另一列横波（振幅也是0.050.05m m）与上已知横波在绳索上与上已知横波在绳索上形成驻波，设这一横波在形成驻波，设这一横波在x=0 x=0处与已知横波同位相，写出该波动处与已知横波同位相，写出该波动方程。方程
11、。(2)(2)写出绳索上的驻波方程；求出各波节的位置坐标表达式；写出绳索上的驻波方程；求出各波节的位置坐标表达式；并写出离原点最近的四个波节的坐标数值。并写出离原点最近的四个波节的坐标数值。解解解解:(1)(2)九九、如如图图，一一圆圆频频率率为为，振振幅幅为为A的的平平面面简简谐谐波波沿沿x轴轴正正方方向向传传播播，设设在在t=0时时该该波波在在原原点点O处处引引起起的的振振动动使使媒媒质质元元由由平平衡衡位位置置向向y轴轴的的负负方方向向运运动动。M是是垂垂直直于于x轴轴的的波波密密媒媒质质反反射射面面。已已知知OO=7/4，PO=/（为为该该波波波波长长）；设设反反射射波波不不衰衰减减，求求：（）入射波与反射波的波动方程；（）入射波与反射波的波动方程；（）P点的振动方程。点的振动方程。OyxMOP解：解：解：解：设处振动方程为当时，故入射波方程为在O处入射波引起的振动方程为在O处入射波引起的振动方程为由于M是波密媒质反射面，所以O处反射波振动有一个位相的突变。反射波方程合成波方程为将P点坐标代入上述方程得P点的振动方程