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1、1.2 平面曲线运动的描述平面曲线运动的描述质点的运动总是要经过一定的轨道质点的运动总是要经过一定的轨道.曲线运动是常见的运动形式曲线运动是常见的运动形式.本节只研究本节只研究平面曲线运动平面曲线运动.描述质点的曲线运动描述质点的曲线运动，就是要找出质点在曲线运，就是要找出质点在曲线运动过程中的位置、速度、加速度及运动方程等的动过程中的位置、速度、加速度及运动方程等的数学表示形式。数学表示形式。在曲线上任意选一个点作为原点，沿着曲线建立在曲线上任意选一个点作为原点，沿着曲线建立一个弯曲的坐标轴，并沿着曲线指定一个正方向一个弯曲的坐标轴，并沿着曲线指定一个正方向(人为的，随意的人为的，随意的),
2、),这样就建立了这样就建立了自然坐标系自然坐标系自然坐标系自然坐标系.1 平面平面自然坐标系自然坐标系OP沿轨道切线沿轨道切线,指向运动的一方指向运动的一方.P P点的位置不同，二者的方向往往不同点的位置不同，二者的方向往往不同点的位置不同，二者的方向往往不同点的位置不同，二者的方向往往不同.指向曲线的凹侧指向曲线的凹侧,.,.不是恒矢量不是恒矢量.?单位矢量单位矢量单位矢量单位矢量2 质点的位置质点的位置位置是时间的函数位置是时间的函数:s=s(t)位置坐标用距离原点的弧长表示位置坐标用距离原点的弧长表示位置坐标用距离原点的弧长表示位置坐标用距离原点的弧长表示,位置坐标可正可负位置坐标可正可
3、负位置坐标可正可负位置坐标可正可负.OPs sOP-s s自然坐标系下的运动学方程自然坐标系下的运动学方程自然坐标系下的运动学方程自然坐标系下的运动学方程P13 质点的速度质点的速度P2s自然坐标系中自然坐标系中,速度仅有切向分量速度仅有切向分量-自然坐标系自然坐标系 tt+t-直角坐标系直角坐标系 t0时时的方向趋向于的方向趋向于P1点的切线方向点的切线方向P24 质点的加速度质点的加速度P1t时刻时刻:t+t时刻时刻:ROABCDAC上截取上截取AD=AB,连接连接BD.当当t0时时,0,则则ABD90,即即当当t0时时,t0时时,是速度增量的是速度增量的切向分量切向分量,由速度大小变化引
4、起。由速度大小变化引起。是速度增量的是速度增量的法向分量法向分量,由速度方向变化引起。由速度方向变化引起。加速度的方向总是指向曲线凹进去的一侧加速度的方向总是指向曲线凹进去的一侧.切向加速度切向加速度tangential acceleration 法向加速度法向加速度normal acceleration 自然坐标系自然坐标系直角坐标系直角坐标系OP-v是速度大小是速度大小对于作曲线运动的物体，以下几种说法正确的是：对于作曲线运动的物体，以下几种说法正确的是：（A）切向加速度必不为零；切向加速度必不为零；（B）法向加速度必不为零（拐点处除外）；法向加速度必不为零（拐点处除外）；（C）由于速度沿
5、切线方向，法向分速度必为零，因由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零；此法向加速度必为零；（D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；（E）若物体的加速度若物体的加速度 为恒矢量，它一定作匀变速为恒矢量，它一定作匀变速率运动率运动.例题例题1 一球以一球以30ms-1的速度水平抛出，试求的速度水平抛出，试求5s钟后加速度的切向分量和法向分量。钟后加速度的切向分量和法向分量。解：解：由题意可知，小球作平抛运动，运动方程为由题意可知，小球作平抛运动，运动方程为 速度在坐标轴上的分量为速度在坐标轴上的分量为 时刻速度的大小为时刻速度的大小为
6、t时刻切向加速度的大小为时刻切向加速度的大小为 切向加速度与法向加速度满足关系切向加速度与法向加速度满足关系 且互相垂直，则法向加速度为：且互相垂直，则法向加速度为：代入数据，得代入数据，得 Oyx例题例题2 质点在质点在oxy平面内运动平面内运动,其运动方程为其运动方程为 求求:(1)质点的轨迹方程质点的轨迹方程;(2)在在t1=1.00s到到t2=2.00s时间内的平均速时间内的平均速;(3)t1=1.00s时的速度及切向和法向加速度时的速度及切向和法向加速度.消去消去t得质点的轨迹方程得质点的轨迹方程:(2)在在t1=1s到到t2=2s时间内的平均速度时间内的平均速度(1)(1)由参数方
7、程由参数方程解：解：(3)质点在任意时刻的速度和加速度分别为：质点在任意时刻的速度和加速度分别为：则则t1=1s时的速度为时的速度为:切向和法向加速度切向和法向加速度分别为分别为:1.3 圆周运动及其描述圆周运动及其描述 运动的运动的线量描述线量描述：位置：位置 位移位移 速度速度 加速度加速度（直角坐标系，自然坐标系）（直角坐标系，自然坐标系）运动的运动的角量描述角量描述：角位置：角位置 角位移角位移 角速度角速度 角加速度角加速度(用极坐标系描述圆周运动）用极坐标系描述圆周运动）一一 圆周运动的线量描述圆周运动的线量描述 圆周运动是一种特殊的曲线运动，因而关于曲线圆周运动是一种特殊的曲线运
8、动，因而关于曲线圆周运动是一种特殊的曲线运动，因而关于曲线圆周运动是一种特殊的曲线运动，因而关于曲线运动的描述完全适用于圆周运动的描述。运动的描述完全适用于圆周运动的描述。运动的描述完全适用于圆周运动的描述。运动的描述完全适用于圆周运动的描述。位置位置 s=s(t)速度速度R R是圆的半径，而是圆的半径，而是圆的半径，而是圆的半径，而v v则是质点做圆周运动的速率则是质点做圆周运动的速率则是质点做圆周运动的速率则是质点做圆周运动的速率.如果圆周运动的如果圆周运动的如果圆周运动的如果圆周运动的切向加速度为切向加速度为切向加速度为切向加速度为0 0，就是，就是，就是，就是匀速圆周运动匀速圆周运动匀
9、速圆周运动匀速圆周运动.加速度加速度用平面自然坐标系描述：用平面自然坐标系描述：用平面自然坐标系描述：用平面自然坐标系描述：O1 1 极坐标系极坐标系极轴极轴以圆心以圆心以圆心以圆心OO为极点，沿着任意为极点，沿着任意为极点，沿着任意为极点，沿着任意方向引出一条线作为极轴，方向引出一条线作为极轴，方向引出一条线作为极轴，方向引出一条线作为极轴，就建立了就建立了就建立了就建立了极坐标系极坐标系极坐标系极坐标系.2 2 角位置角位置 矢径矢径矢径矢径 与极轴的夹角与极轴的夹角与极轴的夹角与极轴的夹角.3 3 角位移角位移 t t 时间内转过的角度时间内转过的角度时间内转过的角度时间内转过的角度.角
10、位移的方向角位移的方向角位移的方向角位移的方向 右手定则判定右手定则判定右手定则判定右手定则判定四指沿着质点运动方向弯曲，拇指指向为其正向四指沿着质点运动方向弯曲，拇指指向为其正向四指沿着质点运动方向弯曲，拇指指向为其正向四指沿着质点运动方向弯曲，拇指指向为其正向.二二 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述 运动方程运动方程 =(t t)先绕先绕先绕先绕 x x 轴转轴转轴转轴转 /2/2，再绕，再绕，再绕，再绕 y y 轴转轴转轴转轴转 /2./2.最后的效果是不一样的最后的效果是不一样的最后的效果是不一样的最后的效果是不一样的.先绕先绕先绕先绕 y y 轴转轴转轴转轴转 /2/2，再绕，再
11、绕，再绕，再绕 x x 轴转轴转轴转轴转 /2./2.有限大小的角位移有限大小的角位移有限大小的角位移有限大小的角位移 不是矢量不是矢量不是矢量不是矢量 不符合交换律不符合交换律不符合交换律不符合交换律，无，无，无，无限小的角位移限小的角位移限小的角位移限小的角位移 才是矢量才是矢量才是矢量才是矢量.4.4.角速度角速度(angular velocity)(angular velocity)5.5.角加速度角加速度(angular acceleration)(angular acceleration)三三 圆周运动中线量与角量的关系圆周运动中线量与角量的关系右手定则判定方向右手定则判定方向右手
12、定则判定方向右手定则判定方向.四四 匀变速圆周运动与匀变速直线运动的比较匀变速圆周运动与匀变速直线运动的比较 描述质点的位置只需要一个标量描述质点的位置只需要一个标量描述质点的位置只需要一个标量描述质点的位置只需要一个标量 即可即可即可即可.于是，二维于是，二维于是，二维于是，二维运动退化为一维运动；运动退化为一维运动；运动退化为一维运动；运动退化为一维运动；匀变速圆周运动的角加速度是恒量，因而运动规律匀变速圆周运动的角加速度是恒量，因而运动规律匀变速圆周运动的角加速度是恒量，因而运动规律匀变速圆周运动的角加速度是恒量，因而运动规律与匀变速直线运动相似与匀变速直线运动相似与匀变速直线运动相似与
13、匀变速直线运动相似.匀变速圆周运动匀变速圆周运动匀变速圆周运动匀变速圆周运动匀变速直线运动匀变速直线运动匀变速直线运动匀变速直线运动求求:(1)t 时刻其速度为多少？时刻其速度为多少？(2)其切向加速度的大小为多少？其切向加速度的大小为多少？(3)该质点运动的轨迹是什么？该质点运动的轨迹是什么？例题例题3 在在xy平面内有一运动质点，其运动学方程为：平面内有一运动质点，其运动学方程为：解：（解：（1）（2）（3）两式平方后相加，两式平方后相加，轨迹为一半径为轨迹为一半径为10m的圆的圆.解：例题例题4 一质点作圆周运动，其路程与时间的关系为一质点作圆周运动，其路程与时间的关系为 ,v0和和 b
14、 都是常量。都是常量。求求:(1)质点在质点在 t 时刻的速度时刻的速度;(2)t为何值时，质点的切向加速度和法向加速度为何值时，质点的切向加速度和法向加速度 的大小相等。的大小相等。当当时时av分析：分析：分析：分析：掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系，掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系，掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系，掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系，应用运动学求解的方应用运动学求解的方应用运动学求解的方应用运动学求解的方法即可得到。法即可得到。法即可得到。法即可得到。例题例题例题例题5 5 一质点在半径为一质点在半径为一质点在半径为一
15、质点在半径为0.10m0.10m的圆周上运动，其角位置的圆周上运动，其角位置的圆周上运动，其角位置的圆周上运动，其角位置 求（求（求（求（1 1）在）在）在）在t=2.0st=2.0s时法向加速度和切向加速度；时法向加速度和切向加速度；时法向加速度和切向加速度；时法向加速度和切向加速度；（2 2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，值为多少？值为多少？值为多少？值为多少？（3 3）t t 为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等为多少时，法向
16、加速度和切向加速度的值相等为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等。解：解：解：解：（1 1）由于）由于）由于）由于 则角速度则角速度则角速度则角速度 在在在在t=2st=2s时，法向加速度和切向加速度的数值分别为时，法向加速度和切向加速度的数值分别为时，法向加速度和切向加速度的数值分别为时，法向加速度和切向加速度的数值分别为（2 2）当）当）当）当 时，有时，有时，有时，有 即即即即此时刻的角位置为此时刻的角位置为此时刻的角位置为此时刻的角位置为（3 3）要使）要使）要使）要使 ，则有，则有，则有，则有解得解得解得解得solve(144*t3-24)a
17、ns=6(2/3)/6(6(2/3)*(3(1/2)*i)/2-1/2)/6-(6(2/3)*(3(1/2)*i)/2+1/2)/6取实数解6(2/3)/6=0.5503例题例题例题例题6 6 一半径为一半径为一半径为一半径为0.50m0.50m的飞轮在启动时的短时间内，的飞轮在启动时的短时间内，的飞轮在启动时的短时间内，的飞轮在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比。在其角速度与时间的平方成正比。在其角速度与时间的平方成正比。在其角速度与时间的平方成正比。在t t=2.0s=2.0s时测得轮缘时测得轮缘时测得轮缘时测得轮缘一点的速度为一点的速度为一点的速度为一点的速度为4.0m.s4.
18、0m.s-1-1。求（求（求（求（1 1）该轮在）该轮在）该轮在）该轮在t t=0.50s=0.50s时的角速度，轮缘一点的切向时的角速度，轮缘一点的切向时的角速度，轮缘一点的切向时的角速度，轮缘一点的切向 加速度和总加速度；加速度和总加速度；加速度和总加速度；加速度和总加速度；（2 2）该点在）该点在）该点在）该点在2.0s2.0s内所转过的角度。内所转过的角度。内所转过的角度。内所转过的角度。解解解解:(1)(1)由题意由题意由题意由题意 =k t k t 2 2所以所以所以所以=(t t)=2 2t t2 2t t=0.5s=0.5s时角速度、角加速度和切向加速度分别为时角速度、角加速度
19、和切向加速度分别为时角速度、角加速度和切向加速度分别为时角速度、角加速度和切向加速度分别为总加速度总加速度总加速度总加速度（2 2 2 2）在）在）在）在2.0s2.0s2.0s2.0s内该点所转过的角度内该点所转过的角度内该点所转过的角度内该点所转过的角度例题例题7 一质点一质点P沿半径沿半径R=3.00m的圆周作匀速率运动的圆周作匀速率运动,运运动一周所需时间为动一周所需时间为20.0s,设设t=0时时,质点位于质点位于o点点,按图中按图中所示所示oxy坐标系坐标系,求求:(1)质点质点P在任意时刻的位矢在任意时刻的位矢;(2)5s时的速度和加速时的速度和加速度度.如图所示如图所示,在在 坐标系中坐标系中,因因 ,则质则质点点P的参数方程为的参数方程为o坐标变换后坐标变换后,在在oxy坐标系中有坐标系中有:解：解：则则质点质点P的位矢方程为的位矢方程为:5s时的速度和加速度分别为时的速度和加速度分别为:没没 了了