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1、第02讲曲线运动的描述第1页，共29页，编辑于2022年，星期日1.2 平面曲线运动的描述平面曲线运动的描述质点的运动总是要经过一定的轨道质点的运动总是要经过一定的轨道.曲线运动是常见的运动形式曲线运动是常见的运动形式.本节只研究本节只研究平面曲线运动平面曲线运动.描述质点的曲线运动描述质点的曲线运动，就是要找出质点在曲线运动过，就是要找出质点在曲线运动过程中的位置、速度、加速度及运动方程等的数学表程中的位置、速度、加速度及运动方程等的数学表示形式。示形式。第2页，共29页，编辑于2022年，星期日在曲线上任意选一个点作为原点，沿着曲线建立一个弯在曲线上任意选一个点作为原点，沿着曲线建立一个弯
2、曲的坐标轴，并沿着曲线指定一个正方向曲的坐标轴，并沿着曲线指定一个正方向(人为的，随人为的，随意的意的),),这样就建立了这样就建立了自然坐标系自然坐标系.1 平面平面自然坐标系自然坐标系OP沿轨道切线沿轨道切线,指向运动的一方指向运动的一方.P点的位置不同，二者的方向往往不同点的位置不同，二者的方向往往不同.指向曲线的凹侧指向曲线的凹侧,.,.不是恒矢量不是恒矢量.?单位矢量单位矢量单位矢量单位矢量第3页，共29页，编辑于2022年，星期日2 质点的位置质点的位置位置是时间的函数位置是时间的函数:s=s(t)位置坐标用距离原点的弧长表示位置坐标用距离原点的弧长表示,位置坐标可正可负位置坐标可
3、正可负位置坐标可正可负位置坐标可正可负.OPsOP-s自然坐标系下的运动学方程自然坐标系下的运动学方程自然坐标系下的运动学方程自然坐标系下的运动学方程第4页，共29页，编辑于2022年，星期日P13 质点的速度质点的速度P2s自然坐标系中自然坐标系中,速度仅有切向分量速度仅有切向分量-自然坐标系自然坐标系 tt+t-直角坐标系直角坐标系 t0时时的方向趋向于的方向趋向于P1点的切线方向点的切线方向第5页，共29页，编辑于2022年，星期日4 质点的加速度质点的加速度自然坐标系中：自然坐标系中：直角坐标系中：直角坐标系中：加速度的方向总是指向曲线凹进去的一侧加速度的方向总是指向曲线凹进去的一侧.
4、切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度OP第6页，共29页，编辑于2022年，星期日对于作曲线运动的物体，以下几种说法正确的是：对于作曲线运动的物体，以下几种说法正确的是：（A）切向加速度必不为零）切向加速度必不为零;错误错误 （B）法向加速度必不为零（拐点处除外）；正确）法向加速度必不为零（拐点处除外）；正确 （C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零；错误加速度必为零；错误 （D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；错误）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；错误 （E）若物体的加速度）若物体的加速度 为恒矢量，它一
5、定作匀变速率运为恒矢量，它一定作匀变速率运动动.错误错误第9页，共29页，编辑于2022年，星期日例题例题1 一球以一球以30ms-1的速度水平抛出，试求的速度水平抛出，试求5s钟钟后加速度的切向分量和法向分量。后加速度的切向分量和法向分量。解：解：由题意可知，小球作平抛运动，运动方程为由题意可知，小球作平抛运动，运动方程为 速度在坐标轴上的分量为速度在坐标轴上的分量为 时刻速度的大小为时刻速度的大小为 第10页，共29页，编辑于2022年，星期日t时刻切向加速度的大小为时刻切向加速度的大小为 切向加速度与法向加速度满足关系切向加速度与法向加速度满足关系 且互相垂直，则法向加速度为：且互相垂直
6、，则法向加速度为：代入数据，得代入数据，得 Oyx第11页，共29页，编辑于2022年，星期日例题例题2 质点在质点在oxy平面内运动平面内运动,其运动方程为其运动方程为 求求:(1)质点的轨迹方程质点的轨迹方程;(2)在在t1=1.00s到到t2=2.00s时间内的平均速度时间内的平均速度;(3)t1=1.00s时的速度及切向和法向加速度时的速度及切向和法向加速度.消去消去t得质点的轨迹方程得质点的轨迹方程:(2)在在t1=1s到到t2=2s时间内的平均速度时间内的平均速度(1)(1)由参数方程由参数方程解：解：第12页，共29页，编辑于2022年，星期日(3)质点在任意时刻的速度和加速度分
7、别为：质点在任意时刻的速度和加速度分别为：则则t1=1s时的速度为时的速度为:切向和法向加速度切向和法向加速度分别为分别为:第13页，共29页，编辑于2022年，星期日1.3 圆周运动及其描述圆周运动及其描述 运动的运动的线量描述线量描述：位置：位置 位移位移 速度速度 加速度加速度（直角坐标系，自然坐标系）（直角坐标系，自然坐标系）运动的运动的角量描述角量描述：角位置：角位置 角位移角位移 角速度角速度 角加速度角加速度(用极坐标系描述圆周运动）用极坐标系描述圆周运动）第14页，共29页，编辑于2022年，星期日一一 圆周运动的线量描述圆周运动的线量描述 圆周运动是一种特殊的曲线运动，因而关
8、于曲线运动的圆周运动是一种特殊的曲线运动，因而关于曲线运动的圆周运动是一种特殊的曲线运动，因而关于曲线运动的圆周运动是一种特殊的曲线运动，因而关于曲线运动的描述完全适用于圆周运动的描述。描述完全适用于圆周运动的描述。描述完全适用于圆周运动的描述。描述完全适用于圆周运动的描述。位置位置 s=s(t)速度速度R R是圆的半径，而是圆的半径，而v v则是质点做圆周运动的速率则是质点做圆周运动的速率则是质点做圆周运动的速率则是质点做圆周运动的速率.如果圆周运动的如果圆周运动的如果圆周运动的如果圆周运动的切向加速度为切向加速度为切向加速度为切向加速度为0 0，就是，就是，就是，就是匀速圆周运动匀速圆周运
9、动匀速圆周运动匀速圆周运动.加速度加速度用平面自然坐标系描述：用平面自然坐标系描述：第15页，共29页，编辑于2022年，星期日O1 1 极坐标系极坐标系极轴极轴以圆心以圆心以圆心以圆心OO为极点，沿着任意方向为极点，沿着任意方向为极点，沿着任意方向为极点，沿着任意方向引出一条线作为极轴，就建立了引出一条线作为极轴，就建立了引出一条线作为极轴，就建立了引出一条线作为极轴，就建立了极坐标系极坐标系.2 角位置 矢径矢径 与极轴的夹角与极轴的夹角.3 3 角位移角位移 t t 时间内转过的角度时间内转过的角度时间内转过的角度时间内转过的角度.角位移的方向角位移的方向角位移的方向角位移的方向 右手定
10、则判定右手定则判定四指沿着质点运动方向弯曲，拇指指向为其正向四指沿着质点运动方向弯曲，拇指指向为其正向.二二 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述 运动方程运动方程 =(t t)第16页，共29页，编辑于2022年，星期日先绕先绕先绕先绕 x 轴转轴转轴转轴转 /2/2，再绕，再绕，再绕，再绕 y y 轴转轴转 /2./2.最后的效果是不一样的最后的效果是不一样的最后的效果是不一样的最后的效果是不一样的.先绕先绕先绕先绕 y y 轴转轴转 /2，再绕，再绕 x 轴转轴转轴转轴转 /2./2.有限大小的角位移有限大小的角位移不是矢量不是矢量不符合交换律不符合交换律，无，无限小的角位移限小的角位移
11、 才是矢量才是矢量.第17页，共29页，编辑于2022年，星期日4.角速度(angular velocity)5.5.角加速度(angular acceleration)三三 圆周运动中线量与角量的关系圆周运动中线量与角量的关系右手定则判定方向右手定则判定方向右手定则判定方向右手定则判定方向.第18页，共29页，编辑于2022年，星期日四四 匀变速圆周运动与匀变速直线运动的比较匀变速圆周运动与匀变速直线运动的比较 描述质点的位置只需要一个标量描述质点的位置只需要一个标量即可即可.于是，二维运于是，二维运动退化为一维运动；动退化为一维运动；匀变速圆周运动的角加速度是恒量，因而运动规律与匀变速圆周
12、运动的角加速度是恒量，因而运动规律与匀变速直线运动相似匀变速直线运动相似.匀变速圆周运动匀变速圆周运动匀变速圆周运动匀变速圆周运动匀变速直线运动匀变速直线运动匀变速直线运动匀变速直线运动第19页，共29页，编辑于2022年，星期日求求:(1)t 时刻其速度为多少？时刻其速度为多少？(2)其切向加速度的大小为多少？其切向加速度的大小为多少？(3)该质点运动的轨迹是什么？该质点运动的轨迹是什么？例题例题3 在在xy平面内有一运动质点，其运动学方程为：平面内有一运动质点，其运动学方程为：解：（解：（1）（2）（3）两式平方后相加，两式平方后相加，轨迹为一半径为轨迹为一半径为10m的圆的圆.第20页，
13、共29页，编辑于2022年，星期日解：例题例题4 一质点作圆周运动一质点作圆周运动,半径为半径为R,其路程与时间的关系为其路程与时间的关系为 ,v0和和 b 都是常量。都是常量。求求:(1)质点在质点在 t 时刻的速度时刻的速度;(2)t为何值时，质点的切向加速度和法向加速度为何值时，质点的切向加速度和法向加速度 的大小相等。的大小相等。当当时时av第21页，共29页，编辑于2022年，星期日分析：分析：分析：分析：掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系，应用运动掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系，应用运动掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系，应用运动掌握角量与线
14、量、角位移方程与位矢方程的对应关系，应用运动学求解的方法即可得到。学求解的方法即可得到。学求解的方法即可得到。学求解的方法即可得到。例题例题5 一质点在半径为一质点在半径为一质点在半径为一质点在半径为0.10m0.10m的圆周上运动，其角位置的圆周上运动，其角位置的圆周上运动，其角位置的圆周上运动，其角位置 求（求（求（求（1 1）在）在）在）在t=2.0st=2.0s时法向加速度和切向加速度；时法向加速度和切向加速度；时法向加速度和切向加速度；时法向加速度和切向加速度；（2 2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，）当切向加速度的大小
15、恰等于总加速度大小的一半时，）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，值为多少？值为多少？值为多少？值为多少？（3 3）t t 为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等。为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等。为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等。为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等。解：解：解：解：（1 1）由于）由于）由于）由于 则角速度则角速度则角速度则角速度 第22页，共29页，编辑于2022年，星期日在在在在t=2st=2s时，法向加速度和切向加速度的数值分别为时，法向加速度和切向加速度的数值分别为时，法向加速度和切向加速度的数值分别为时，法向加速度和切向加速度的数值
16、分别为（2 2）当）当）当）当 时，有时，有时，有时，有 即即即即第23页，共29页，编辑于2022年，星期日此时刻的角位置为此时刻的角位置为此时刻的角位置为此时刻的角位置为（3 3）要使）要使）要使）要使 ，则有，则有，则有，则有解得解得解得解得solve(144*t3-24)ans=6(2/3)/6(6(2/3)*(3(1/2)*i)/2-1/2)/6-(6(2/3)*(3(1/2)*i)/2+1/2)/6取实数解6(2/3)/6=0.5503第24页，共29页，编辑于2022年，星期日例题例题6 一半径为一半径为一半径为一半径为0.50m0.50m的飞轮在启动时的短时间内，其角速度的飞轮
17、在启动时的短时间内，其角速度的飞轮在启动时的短时间内，其角速度的飞轮在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比。在与时间的平方成正比。在与时间的平方成正比。在与时间的平方成正比。在t t=2.0s=2.0s时测得轮缘一点的速度为时测得轮缘一点的速度为时测得轮缘一点的速度为时测得轮缘一点的速度为4.0m.s4.0m.s-1-1。求（求（求（求（1 1）该轮在）该轮在）该轮在）该轮在t t=0.50s时的角速度，轮缘一点的切向时的角速度，轮缘一点的切向 加速度和总加速度；加速度和总加速度；加速度和总加速度；加速度和总加速度；（2 2）该点在）该点在）该点在）该点在2.0s2.0s内所转过的角度
18、。内所转过的角度。内所转过的角度。内所转过的角度。解解:(1)(1)由题意由题意由题意由题意 =k t k t 2所以所以所以所以=(t t)=2t2 2第25页，共29页，编辑于2022年，星期日t t=0.5s=0.5s时角速度、角加速度和切向加速度分别为时角速度、角加速度和切向加速度分别为时角速度、角加速度和切向加速度分别为时角速度、角加速度和切向加速度分别为总加速度总加速度总加速度总加速度（2 2）在）在2.0s2.0s内该点所转过的角度内该点所转过的角度第26页，共29页，编辑于2022年，星期日例题例题7 一质点一质点P沿半径沿半径R=3.00m的圆周作匀速率运动的圆周作匀速率运动
19、,运动运动一周所需时间为一周所需时间为20.0s,设设t=0时时,质点位于质点位于o点点,按图中所示按图中所示oxy坐标系坐标系,求求:(1)质点质点P在任意时刻的位矢在任意时刻的位矢;(2)5s时的速度和加速度时的速度和加速度.如图所示如图所示,在在 坐标系中坐标系中,因因 ,则质则质点点P的参数方程为的参数方程为o坐标变换后坐标变换后,在在oxy坐标系中有坐标系中有:解：解：第27页，共29页，编辑于2022年，星期日则质点则质点P的位矢方程为的位矢方程为:5s时的速度和加速度分别为时的速度和加速度分别为:第28页，共29页，编辑于2022年，星期日Have questionsHave questions？Never feeling shame for asking!下次课务必将下次课务必将 练习练习练习练习 带来！带来！带来！带来！第29页，共29页，编辑于2022年，星期日