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1、四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理1第七章第七章功率谱估计的现代方法功率谱估计的现代方法 现 代 谱 估 计四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理2 经典谱估计以傅立叶变换为基础，具有计算效经典谱估计以傅立叶变换为基础，具有计算效率高的优点，但是由于将未观测数据认为率高的优点，但是由于将未观测数据认为0 0和数据和数据加窗，而具有频率分辨率低、旁瓣泄漏等严重的缺加窗，而具有频率分辨率低、旁瓣泄漏等严重的缺陷。陷。现代谱估计与经典谱估计不同，它以参数模型现代谱估计与经典谱估计不同，它以参数模型为基础，能够得到小方差和高分辨率，特别是数据为基
2、础，能够得到小方差和高分辨率，特别是数据长度很短的情况，更具优势。长度很短的情况，更具优势。7.1 概述概述四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理3现代谱估计法的基本思想：现代谱估计法的基本思想：处理步骤：处理步骤：1 1 确定或选择一个合适的模型确定或选择一个合适的模型依赖于对所研依赖于对所研究随机过程进行理论分析和实验研究；究随机过程进行理论分析和实验研究；2 2 根据观测数据估计模型参数根据观测数据估计模型参数涉及各种算法涉及各种算法的研究；的研究；3 3 由模型参数计算功率谱。由模型参数计算功率谱。关键关键 1 1、模型选择问题（、模型选择问题（AR，MA，A
3、RMA）2 2、参数确定方法（导致产生了各种算法）、参数确定方法（导致产生了各种算法）四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理4 7.2 自回归模型自回归模型(AR)谱估计谱估计数字系统的数学模型数字系统的数学模型:有理分式传递函数的模型有理分式传递函数的模型如下图：如下图：w(n)x(n)式式中中ak为自回归系数，称为为自回归系数，称为AR系数；系数；bk为滑动平均系数，称为为滑动平均系数，称为MA系数。系数。模型模型传递函数传递函数为：为：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理5有理分式传递函数的模型有理分式传递函数的模型的差分方程为：的差
4、分方程为：令令a0=1有：有：w(n)为高斯白噪声，为高斯白噪声，四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理6求功率谱的实质变为确定系统参数的问题求功率谱的实质变为确定系统参数的问题求功率谱的实质变为确定系统参数的问题求功率谱的实质变为确定系统参数的问题模型的功率谱密度：即系统输出功率谱和输入模型的功率谱密度：即系统输出功率谱和输入功率谱之间关系为（假定功率谱之间关系为（假定h(n)为实序列）：为实序列）：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理7如果如果除除b0外其它的外其它的MA系数都等于系数都等于0，即，即AR（p）模型）模型全极点全极点模型
5、模型四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理8自回归模型自回归模型四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理9如果如果除除a0外其它的外其它的AR系数都等于系数都等于0，即，即全零点全零点模型模型MA（q）模型）模型四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理10如果如果除除a0=1和和b0=1外其它的外其它的AR系数和系数和MA系数都不全系数都不全等于等于0，即，即称为称为ARMA（p,q）模型，即极点）模型，即极点-零点模型。零点模型。四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理11到底选择什么模型？三种
6、模型之间关系如何到底选择什么模型？三种模型之间关系如何？Word分解定理分解定理WoldWold分分分分解解解解定定定定理理理理：任任何何一一个个有有限限方方差差的的平平稳稳ARMA过过程可以分为完全随机的部分和确定的部分。程可以分为完全随机的部分和确定的部分。推推推推论论论论：任任何何有有限限方方差差的的ARMA或或MA平平稳稳过过程程可可以以用用一一个个无无限限阶阶的的AR模模型型表表示示；同同样样，任任何何ARMA或或AR模模型型可可以以用用一一个个无无限限阶阶的的MA模模型型表表示示。因因 此此，如如果果在在这这三三个个模模型型中中选选了了一一个个与与信信号号不不匹匹配配的的模模型型，
7、利用高的阶数仍然可以得到对信号的好的逼近。利用高的阶数仍然可以得到对信号的好的逼近。四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理12 结结论论：由由于于对对AR模模型型参参数数的的估估计计，得得到到的的是是线线性性方方程程。故故AR模模型型比比ARMA以以及及MA模模型型有有计计算算上上的的优优点点，即即只只需需解解一一组组线线性性方方程程，而而ARMA或或MA模模型型一一般般需需要要解解一一组组非非线线性性方方程程。同同时时，实实际际的的物物理理系系统统往往往往是是全全极极点点系系统统。AR模模型型得得到到了了深入的研究和广泛的应用。深入的研究和广泛的应用。四川大学电气信
8、息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理13已知：自相关函数已知：自相关函数 要求：要求：AR模型的阶数模型的阶数p，以及，以及p个个AR 参数参数a(i),激励源方差激励源方差 Yule-Walker方程方程 7.3 AR模型的模型的Yule-Walker方程方程四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理147.3.1 Yule-Walker方程的推导方程的推导1.对对 进行求逆进行求逆z变换变换 2.直直接接由由模模型型差差分分方方程程推推导导，把把模模型型的的差差分分方方程程代代入入x(n)的自相关函数的自相关函数 四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院
9、医学信号处理医学信号处理15如何根据自相关函数确定系统参数如何根据自相关函数确定系统参数四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理16可见，可见，AR模型输出信号的自相关函数具有递推性质，即：模型输出信号的自相关函数具有递推性质，即：Yule-Walker方程（方程（Y-W方程）方程）四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理17选择选择m0的前的前P个方程并写成单一正规矩阵的形式为：个方程并写成单一正规矩阵的形式为：以以上上利利用用了了自自相相关关函函数数的的偶偶对对称称性性。Y-W方方程程表表明明：只只要要已已知知输输出出平平稳稳随随机机信信号号
10、的的自自相相关关函函数数，就就能能求求出出AR模型中的参数模型中的参数ak，并且需要的观测数据较少。，并且需要的观测数据较少。四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理18AR模型谱估计模型谱估计N个样值个样值x(0),x(1)x(N)自相关函数自相关函数R(0),R(1).R(N)AR模型参数和模型参数和a1,a2，ap激励源方差激励源方差功率谱密度功率谱密度Y-WY-W方程方程方程方程 四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理19Yule-Walker方程的求解方程的求解1 1、采用高斯消元法，解线性方程组常用方法，运、采用高斯消元法，解线性方
11、程组常用方法，运、采用高斯消元法，解线性方程组常用方法，运、采用高斯消元法，解线性方程组常用方法，运算量数量级为算量数量级为算量数量级为算量数量级为p p的三次方。的三次方。的三次方。的三次方。2 2、用、用、用、用Levinson-DurbinLevinson-Durbin算法，算法，算法，算法，Y-WY-W方程的高效解方程的高效解方程的高效解方程的高效解法，即按阶次进行递推运算量数量级为法，即按阶次进行递推运算量数量级为法，即按阶次进行递推运算量数量级为法，即按阶次进行递推运算量数量级为p p的二次方。的二次方。的二次方。的二次方。7.3.2 Levinson-Durbin算法算法四川大学
12、电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理20Levinson-DurbinLevinson-Durbin递推算法：递推算法：算法的关键就是要推导出由第算法的关键就是要推导出由第K阶阶AR模型模型的参数计算第的参数计算第k+1阶阶AR模型模型AR(k+1)参数的迭参数的迭代计算公式。代计算公式。首首先先以以AR(0)和和AR(1)模模型型参参数数作作为为初初始始条条件件，计计算算AR(2)模模型型参参数数，然然后后根根据据这这些些参参数数计计算算AR(3)模模型型参数，等等，一直到计算出参数，等等，一直到计算出AR(p)模型参数为止。模型参数为止。四川大学电气信息学院四川大学电气
13、信息学院医学信号处理医学信号处理21四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理22四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理23递推公式为：递推公式为：其中其中其中其中a akkkk称为称为称为称为反射系数反射系数反射系数反射系数将所估计的模型参数代入即可计算功率谱估计值：将所估计的模型参数代入即可计算功率谱估计值：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理24AR模型参数和模型参数和a1,a2，ap激励源方差激励源方差功率谱密度功率谱密度AR模型谱估计模型谱估计四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理2
14、5给给定定初初始始值值和和AR模模型型的的阶阶数数p，可可按按照照L-D算算法法流流程程进行进行估计，流程终止规则为估计，流程终止规则为 或或MATLAB里里有有专专门门实实现现L-D算算法法的的函函数数可可估估计计AR模型参数：模型参数：a E=aryule(x,p),a为模型参数，为模型参数，E为噪声方差。为噪声方差。分析：分析：分析：分析：ARARARAR模型的稳定性；模型的稳定性；模型的稳定性；模型的稳定性；L-DL-DL-DL-D算法的收敛性。算法的收敛性。算法的收敛性。算法的收敛性。四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理26例例5-1、已知实数据序列已知实
15、数据序列的自相关为：的自相关为：用用Levinson-Durbin递推算法求递推算法求AR模型的参量：模型的参量：解：解：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理27四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理28一、一、AR模型的稳定性具有下面性质：模型的稳定性具有下面性质：H(z)全部的极点在单位圆内全部的极点在单位圆内自相关矩阵正定自相关矩阵正定激励信号方差随阶次增加而递减激励信号方差随阶次增加而递减7.3.3 确定确定AR模型的阶模型的阶四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理29阶太低，功率谱平滑的太厉害，平滑后的谱
16、分辨不出真实谱中的两个峰；阶太高，可以提高谱估计的分辨率，但会出现许多虚假谱峰。真实谱真实谱虚假谱峰虚假谱峰二、有关二、有关AR模型的阶的问题：模型的阶的问题：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理30所以，估计一个AR(p）过程，选取AR(k）阶数要求 kp,但k不能太大。如果估计精确的话，kp时，AR(p)模型参数估计为：ARAR模型谱估计方法，既要估计模型参数，又要估计模型的模型谱估计方法，既要估计模型参数，又要估计模型的模型谱估计方法，既要估计模型参数，又要估计模型的模型谱估计方法，既要估计模型参数，又要估计模型的阶，在这样复杂的情况下，如何评价各种谱估计的性
17、能，阶，在这样复杂的情况下，如何评价各种谱估计的性能，阶，在这样复杂的情况下，如何评价各种谱估计的性能，阶，在这样复杂的情况下，如何评价各种谱估计的性能，目前尚无定论。目前尚无定论。目前尚无定论。目前尚无定论。四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理31三、确定三、确定AR模型的阶的方法模型的阶的方法 一般的观一般的观察方法，简单而直观察方法，简单而直观不断增加阶数，观察预测误差功率，下不断增加阶数，观察预测误差功率，下降到最小时，对应的阶选为模型的阶；降到最小时，对应的阶选为模型的阶；不断增加阶数，观察各阶模型预测误差不断增加阶数，观察各阶模型预测误差序列的周期图，最
18、接近平坦时对应于最序列的周期图，最接近平坦时对应于最佳的阶；佳的阶；四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理321 1、FPE(FPE(最终预测误差）最终预测误差）N为观测数据长度，为观测数据长度，为拟合残差方差，为拟合残差方差，随阶增加而减小，随阶增加而减小，FPE的最小值对应的的最小值对应的阶数为最后确定的阶。阶数为最后确定的阶。四、确定四、确定AR模型的阶的方法模型的阶的方法根据误差准则确定根据误差准则确定四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理332 2、AkaikeAkaike（AIC)AIC)信息准则信息准则AIC(i)=最小所对应的
19、阶。最小所对应的阶。i为模型的阶，为模型的阶，为模型误差，随着阶为模型误差，随着阶的增加而减小，而式中第二项随阶次的增加而减小，而式中第二项随阶次增加而增加。增加而增加。AIC定义式有一个最小值。定义式有一个最小值。适用于适用于AR模型。模型。四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理34此外，还有此外，还有CATCAT等准则等准则 。通过实验发现：在将这些准则用于估计通过实验发现：在将这些准则用于估计通过实验发现：在将这些准则用于估计通过实验发现：在将这些准则用于估计ARAR模型的阶，对于实际数据，所得到的谱估计结模型的阶，对于实际数据，所得到的谱估计结模型的阶，对于实
20、际数据，所得到的谱估计结模型的阶，对于实际数据，所得到的谱估计结果常常无太大区别。果常常无太大区别。果常常无太大区别。果常常无太大区别。对于短数据，以上准则都不理想。对于短数据，以上准则都不理想。对于短数据，以上准则都不理想。对于短数据，以上准则都不理想。在实际应用中，应该参照实验结果对模型的在实际应用中，应该参照实验结果对模型的在实际应用中，应该参照实验结果对模型的在实际应用中，应该参照实验结果对模型的阶加以适当调整。阶加以适当调整。阶加以适当调整。阶加以适当调整。四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理35 7.4 线性预测谱估计线性预测谱估计假设假设x(n)是一个
21、是一个N阶阶AR过程，现在时刻过程，现在时刻x(n)的的值值 可以由过去可以由过去N个时刻的取样值的加权来预测，个时刻的取样值的加权来预测，加权系数为加权系数为-ak，那么，那么N阶线性预测器：可看作用序列阶线性预测器：可看作用序列x(n-N),x(n-N-1),x(n-1)激励一个冲击响应为激励一个冲击响应为-ak的线性时不变系的线性时不变系统的输出值。统的输出值。x(n-N),x(n-N-1),x(n-1)-ak预测误差为：预测误差为：预测误差功率为：预测误差功率为：确定系数确定系数ak的一个原则是使预测误差功率最小。根的一个原则是使预测误差功率最小。根据这一原则推导出的预测器系数据这一原
22、则推导出的预测器系数-ak与与x(n)的自相关的自相关序列序列Rxx(m)之间的关系为：之间的关系为：将两个关系式写成矩阵展开式分别为：将两个关系式写成矩阵展开式分别为：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理38将将(1)和和(2)两个关系式合并为一个式子：两个关系式合并为一个式子：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理39将将(3)写成矩阵展开形式为：写成矩阵展开形式为：可以看出：可以看出：N阶线性预测器的系数阶线性预测器的系数ak与与AR模型模型中的中的AR系数相等，预测误差概率最小值系数相等，预测误差概率最小值Pmin与与AR模型模型中
23、的输入噪声方差中的输入噪声方差 相等。所以，线性预测谱估相等。所以，线性预测谱估计与计与AR谱估计是等效的。谱估计是等效的。四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理40 熵熵是信息量的一种量度，也是不确定度性的一是信息量的一种量度，也是不确定度性的一种量度。信息量与事件发生概率之间有类似于反比例种量度。信息量与事件发生概率之间有类似于反比例的关系，信息量与概率之间存在对数关系。复合事件的关系，信息量与概率之间存在对数关系。复合事件的信息量等于各独立事件信息量之和。对于事件的信息量等于各独立事件信息量之和。对于事件A有：有：7.5 最大熵谱估计最大熵谱估计（MESE）Ma
24、ximum Entropy Spectral Estimation）7.5.1 按最大熵谱外推自相关函数按最大熵谱外推自相关函数四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理41N个符号组成信号系统传递消息，每个符号出现的概个符号组成信号系统传递消息，每个符号出现的概率为率为pi，接收到第，接收到第i个符号的信息量为个符号的信息量为I(i)，消息中总的，消息中总的平均信息量为：平均信息量为：这个平均信息量称为具有符号这个平均信息量称为具有符号i和概率和概率pi的信号系统的的信号系统的熵。对于随机过程，应该用联合概率密度函数来定义熵。对于随机过程，应该用联合概率密度函数来定义熵
25、：熵：x0,x1,xN为随机过程的为随机过程的N+1个取样值。个取样值。四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理42对于零均值的高斯平稳随机过程则有：对于零均值的高斯平稳随机过程则有：其中其中X=x0,x1,xN为由为由N+1个取样值构成行矩阵，个取样值构成行矩阵，XH为为X的共轭转置矩阵。的共轭转置矩阵。四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理43detR(N)是行列式的值。于是有下列式子：是行列式的值。于是有下列式子：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理44均值为均值为均值为均值为0 0的高斯平稳随机过程的熵的表达
26、式，它是的高斯平稳随机过程的熵的表达式，它是的高斯平稳随机过程的熵的表达式，它是的高斯平稳随机过程的熵的表达式，它是R(N)R(N)的函数。的函数。的函数。的函数。四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理45最大熵谱估计：为了使得最大熵谱估计：为了使得H取得最大值，应当使取得最大值，应当使detR(N)取最大值。根据外推或预测方法，求出使取最大值。根据外推或预测方法，求出使detR(N+1)取最大值的取最大值的Rxx(N+1)：由由得到：得到：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理46结论：结论：上述方程上述方程上述方程上述方程为为为为R Rx
27、xxx(N N+1)+1)的一元一次方程，可由已知或估的一元一次方程，可由已知或估的一元一次方程，可由已知或估的一元一次方程，可由已知或估计计计计的的的的N+1N+1个自个自个自个自相关相关相关相关值值值值R Rxxxx(0)(0)、R Rxxxx(1)(1)、R Rxxxx(N N)求出求出求出求出R Rxxxx(N N+1)+1)。以此。以此。以此。以此类类类类推。推。推。推。可以证明这种按最大熵外推自相关函数的结果与可以证明这种按最大熵外推自相关函数的结果与可以证明这种按最大熵外推自相关函数的结果与可以证明这种按最大熵外推自相关函数的结果与ARARARAR模型是等价的。模型是等价的。模型
28、是等价的。模型是等价的。所以，上式实质为所以，上式实质为所以，上式实质为所以，上式实质为YulerYulerYulerYulerwalkerwalkerwalkerwalker方程。方程。方程。方程。四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理47实际实际上，假定在上，假定在线线性性预测谱预测谱估估计计中，用外推的方法得到了中，用外推的方法得到了Rxx(N+1)，即：，即：7.5.2 MESE与与AR谱估计等效谱估计等效四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理48使联立方程有非零解的充分必要条件是系数行列式等于使联立方程有非零解的充分必要条件是系数行
29、列式等于0 0：n 结论结论结论结论 因此：最大熵谱估计与因此：最大熵谱估计与因此：最大熵谱估计与因此：最大熵谱估计与ARAR模型谱估计和线性模型谱估计和线性模型谱估计和线性模型谱估计和线性预测谱估计是等效的预测谱估计是等效的预测谱估计是等效的预测谱估计是等效的 。n 此外，还可以证明：此外，还可以证明：此外，还可以证明：此外，还可以证明：ARAR谱估计等效于最佳白化处理。谱估计等效于最佳白化处理。谱估计等效于最佳白化处理。谱估计等效于最佳白化处理。四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理49 7.6.1 预测误差格型滤波器预测误差格型滤波器 7.6 预测误差格型滤波器
30、及伯格预测误差格型滤波器及伯格(Burg)递推算法递推算法已知已知n个观测数据个观测数据x(1),x(2),x(n-1)，利用，利用p阶线性预测阶线性预测滤波器估计滤波器估计x(n)为为估计误差为：估计误差为：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理50代入有：代入有：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理51上式中上式中因此可得：因此可得：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理52格型前向预测误差滤波器四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理53格型预测误差滤波器传递函数为格型预测误差滤波器传
31、递函数为同时有：同时有：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理54也就是相当于：也就是相当于：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理55后向预测误差四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理56格型后向预测误差滤波器传递函数为格型后向预测误差滤波器传递函数为又因：又因：因此：因此：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理57 7.6.2 Burg递推算法递推算法Kp的确定的确定 根据信号的有限个取样值估计根据信号的有限个取样值估计AR模型参数的方法模型参数的方法自相关法、协方差法和自相关法、协方差
32、法和Burg递推法。递推法。自相关法和协方差法都是直接估计自相关法和协方差法都是直接估计AR参数，而参数，而Burg法是先估计反射系数，然后利用法是先估计反射系数，然后利用Levinson-Durbin递推算法由反射系数求得递推算法由反射系数求得AR参数。参数。Burg法可以保证：法可以保证：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理58算法准则是前向均方误差和后向均方误差之和最小。算法准则是前向均方误差和后向均方误差之和最小。如果用前向预测方法以均方误差最小为准则确定如果用前向预测方法以均方误差最小为准则确定Kp，用，用 表示为：表示为：令令四川大学电气信息学院四川大学
33、电气信息学院医学信号处理医学信号处理59如果用后向预测方法以均方误差最小为准则确定如果用后向预测方法以均方误差最小为准则确定Kp，用，用 表示为：表示为：令令四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理60Burg算法准则是前向均方误差和后向均方误差之和算法准则是前向均方误差和后向均方误差之和最小，令最小，令四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理61于是得到：于是得到：对于平稳随机序列，集合平均可用时间均值来代对于平稳随机序列，集合平均可用时间均值来代替，故上式为：替，故上式为：通过观察发现，下式成立：通过观察发现，下式成立：四川大学电气信息学院四
34、川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理62对于长度为对于长度为N的有限长序列，有下面一系列递推的有限长序列，有下面一系列递推关系式。当关系式。当p=1时：时：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理63于是有：于是有：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理64于是于是其中其中四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理65继续代入求得继续代入求得K3，b3(n)，e3(n)，以此类推。便可，以此类推。便可以由以由x(n)求得各阶求得各阶Kp以及前向与后向误差及其各个以及前向与后向误差及其各个akk。四川大学电气信息学院四
35、川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理66Burg法估计法估计AR(p)模型参数的具体步骤为：模型参数的具体步骤为：1、确定初始条件：、确定初始条件：2、按照公式、按照公式计算计算Kp。3、按照公式、按照公式计算计算ep(n)和和bp(n)。4、计算均方误差：、计算均方误差：5、p=p+1。6、重复第、重复第25步，直至满足条件为止。步，直至满足条件为止。四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理67例例5-2、设设N=5的数据的数据记录为记录为x(0)=1,x(1)=2,x(2)=3,x(3)=4,x(4)=5,AR模型的模型的阶阶次次p=3,试试用相关函数法确定用
36、相关函数法确定AR参量及参量及预测值预测值 .解：先由数据求自相关函数式：解：先由数据求自相关函数式：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理68用用Levinson-Durbin递推算法递推算法求求AR模型的参量分别是：模型的参量分别是：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理69根据所得的根据所得的AR(3)参量，预测值：参量，预测值：若使用的是二阶线性预测器，有例若使用的是二阶线性预测器，有例71所得的结果，则所得的结果，则可分别由前向与后向预测得到如下：可分别由前向与后向预测得到如下：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医
37、学信号处理70例例5-3、设设仍利用例仍利用例52中的中的记录记录数据，数据，试试用伯格用伯格法求法求AR(2)的参量。的参量。解：用上述递推公式，解：用上述递推公式，i=1=1时：时：e1(n)和和b1(n)四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理71p=2=2时：时：若使用此二阶线性预测，可得：若使用此二阶线性预测，可得：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理72算法比较算法比较 Levinson-Durbin Burg算法算法 真正样值真正样值25.9090 3.065025.5403 0.17415 1.2700 0.8549 1.00
38、00 2.8983 4.5825 5.0000显然，伯格算法要比莱文森德宾算法优越得多。短数据！四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理73比较比较Welch方法和方法和Burg方法在噪声信号的功率谱估计中的效方法在噪声信号的功率谱估计中的效果。果。为高斯型白噪声。为高斯型白噪声。例子：现代谱估计和经典谱估计方法的比较。例子：现代谱估计和经典谱估计方法的比较。例子：现代谱估计和经典谱估计方法的比较。例子：现代谱估计和经典谱估计方法的比较。利用利用MATLABMATLAB中的中的pburgpburg和和pwelchpwelch函数分别用函数分别用BurgBurg方法和方法
39、和WelchWelch方法对上述噪声信号进行功率谱估计并比较结果。方法对上述噪声信号进行功率谱估计并比较结果。四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理74function=burgwelchpsd()fs=1000;t=0:1/fs:1;xn=sin(2*pi*80*t)+2*sin(2*pi*140*t)+randn(size(t);plot(xn);pw,f=pwelch(xn,fs,twosided);pb1,f=pburg(xn,17,fs,twosided);pb2,f=pburg(xn,13,fs,twosided);figurew=10*log10(pw)
40、10*log10(pb1)10*log10(pb2);plot(f,w);gridxlabel(frequency(Hz);ylabel(amplitude(dB);axis(0 200-50 0);legend(welch方法方法,Burg方法高阶方法高阶,Burg方法低阶方法低阶);四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理75信号：四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理76很明显，Burg方法比Welch方法更光滑。但是，当AR模型阶数降低时，谱峰的频移越来越明显，频率分辨率降低。四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号
41、处理77 7.7 AR模型谱估计存在的问题模型谱估计存在的问题 7.7.1 谱线分裂谱线分裂 由正弦信号叠加噪声构成的随机信号，在下列由正弦信号叠加噪声构成的随机信号，在下列四种情况下容易出现谱线分裂的现象，即谱线频率四种情况下容易出现谱线分裂的现象，即谱线频率偏移或出现两个靠得很近的谱峰。偏移或出现两个靠得很近的谱峰。高信噪比；高信噪比；正弦信号分量的初始相位是正弦信号分量的初始相位是/4/4的的奇数倍；奇数倍；数据长度为正弦分量的数据长度为正弦分量的1/41/4周期的奇数周期的奇数倍；倍；ARAR模型参数的数目与数据的个数相比的百分模型参数的数目与数据的个数相比的百分比较大，即二者大小可比
42、拟。比较大，即二者大小可比拟。四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理78 对于对于Burg算法，谱线分裂是由于第一个反射算法，谱线分裂是由于第一个反射系数系数K的计算误差引起的，的计算误差引起的，K1的估计并没有使预的估计并没有使预测误差功率最小。测误差功率最小。改善措施：改善措施：1、用解析信号代替实值信号，克服信号相位的影、用解析信号代替实值信号，克服信号相位的影响；响；2、调整修正反射系数，以使预测误差功率达到最、调整修正反射系数，以使预测误差功率达到最小。小。四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理79 7.7.2 附加噪声使分辨率下降
43、附加噪声使分辨率下降 ARAR谱估计方法对观测噪声比较敏感，从而限谱估计方法对观测噪声比较敏感，从而限制了其应用范围。噪声使谱峰展宽，导致分辨率制了其应用范围。噪声使谱峰展宽，导致分辨率下降，使谱峰偏离正确位置。下降，使谱峰偏离正确位置。原因是：原因是：ARAR谱估计假设的全极点模型谱估计假设的全极点模型在有观测噪声时，不再成立。在有观测噪声时，不再成立。四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理80 设设x(n)是是p阶阶AR过程，有观测噪声过程，有观测噪声v(n)存在时，存在时，成为成为y(n)，y(n)=x(n)+v(n)。若若v(n)为与为与x(n)不相关的、方差
44、为不相关的、方差为 的白噪声，的白噪声，则：则：其功率谱为其功率谱为 分别为分别为w(n)、v(n)的方差。的方差。四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理81 令令且且则有则有于是看到，由于噪声的存在，使得于是看到，由于噪声的存在，使得AR模型变成一模型变成一个个ARMA过程。过程。四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理82 减小噪声对AR谱估计影响的措施：1 1、补偿自相关函数或反射系数估计中噪声的影响。对于、补偿自相关函数或反射系数估计中噪声的影响。对于BurgBurg算法，检查反射系数是否小于算法，检查反射系数是否小于1 1。2 2、对
45、数据进行滤波减小噪声。、对数据进行滤波减小噪声。3 3、采用、采用ARMAARMA谱估计方法。谱估计方法。4 4、采用高阶、采用高阶ARAR模型。模型。ARAR谱估计分辨率为：谱估计分辨率为：分辨率随阶的增加而增加，但是考虑到虚假谱峰的问题，分辨率随阶的增加而增加，但是考虑到虚假谱峰的问题，模型阶数最高不应该超过数据点数的一半。模型阶数最高不应该超过数据点数的一半。四川大学电气信息学院四川大学电气信息学院医学信号处理医学信号处理83作业1、已知序列、已知序列x(n)=4.684,7.247,8.423,8.650,8.640,8.392是由是由模型模型 x(n)=1.70 x(n-1)-0.72x(n-2)+u(n)产生的产生的，这里，这里u(n)是均值为是均值为0、方差为、方差为1的白噪声。的白噪声。试用试用Burg算法求算法求AR(2)的模型参数的模型参数,并画出二阶格型预测误并画出二阶格型预测误差滤波器结构。差滤波器结构。2、已知某自回归过程的五个观测值为、已知某自回归过程的五个观测值为1，1，1，1，1利用利用L-DL-D算法求一阶和二阶反射系数；算法求一阶和二阶反射系数；求该自回归过程的功率谱估计。求该自回归过程的功率谱估计。