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1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1 数学期望数学期望引言引言问题：问题：如何比较各班大学英语四级考试成绩的优劣？如何比较各班大学英语四级考试成绩的优劣？方案一：方案一：通过各班的通过各班的最高分最高分进行比较进行比较方案二：方案二：通过各班的通过各班的最低分最低分进行比较进行比较方案三：方案三：通过各班的通过各班的平均分平均分进行比较进行比较引言引言l随机变量的分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性随机变量的分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性.l在一些问题中，我们往往只关心随机变量与数值有关的某在一些问题中，我们往往只关心随机变量与数值有关的某些特征这些特征虽然不能完
2、整地描述随机变量，但在理些特征这些特征虽然不能完整地描述随机变量，但在理论和实践上都具有重要的意义例如：论和实践上都具有重要的意义例如：在评定某一地区粮食产量的水平时，主要关心该地区的平均在评定某一地区粮食产量的水平时，主要关心该地区的平均亩产量；亩产量；研究水稻品种的优劣时，时常关心稻穗的平均稻谷粒数研究水稻品种的优劣时，时常关心稻穗的平均稻谷粒数;检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，也要检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，也要注意纤维长度与平均长度的偏离程度注意纤维长度与平均长度的偏离程度l常见的数字特征：数学期望、方差、相关系数和矩常见的数字特征：数学期望、方差、
3、相关系数和矩例：例：游戏规则：游戏规则：落在落在e0区域得区域得0分；分；落在落在e1区域得区域得1分；分；落在落在e2区域得区域得2分分.对技术熟练的射手甲对技术熟练的射手甲对新手乙对新手乙哪一个人的射击水平较高？哪一个人的射击水平较高？频率频率 概率概率例：例：游戏规则：游戏规则：落在落在e0区域得区域得0分；分；落在落在e1区域得区域得1分；分；落在落在e2区域得区域得2分分.设设 X 的分布律为的分布律为PX=k=pk,k=0,1,2共射击共射击 N 次，其中次，其中得得 0 分的有分的有n0 次，次，得得 1 分的有分的有n1 次，次，得得 2 分的有分的有n2 次，次，那么总得分为
4、那么总得分为每次射击的平均得分为每次射击的平均得分为N 的增大的增大稳定于稳定于N 的增大的增大稳定于稳定于数学期望的概念数学期望的概念定义：定义：设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的分布律为的分布律为PX=xk=pk,k=1,2,若级数若级数 绝对收敛绝对收敛，则级数，则级数 的的和和称为称为离散型随机变量离散型随机变量 X 的的数学期望数学期望，记作，记作E(X)数学期望数学期望简称期望，简称期望，又称为均值又称为均值.几点说明几点说明lE(X)是一个实数，而不是一个变量是一个实数，而不是一个变量l虽然随机变量的数学期望又称为均值，但这均值不同于一虽然随机变量的数学期望又称为均值，但这
5、均值不同于一般变量的般变量的算术平均值算术平均值，而是随机变量所有可能取值的而是随机变量所有可能取值的加权平均加权平均l级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数求和次序的改级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数求和次序的改变而改变变而改变例：例：游戏规则：游戏规则：落在落在e0区域得区域得0分；分；落在落在e1区域得区域得1分；分；落在落在e2区域得区域得2分分对技术熟练的射手甲对技术熟练的射手甲对新手乙对新手乙哪一个人的射击水平较高？哪一个人的射击水平较高？射手甲的水平较高射手甲的水平较高例：例：设随机变量设随机变量 X 的所有可能取值为的所有可能取值为分布律为分布律为 ，试求，试求 X 的数
6、学期望的数学期望.解：解：题目给出的确实是一个离散型随机变量的分布律：题目给出的确实是一个离散型随机变量的分布律：(1)(2)但因为但因为 是发散的调和级数，是发散的调和级数，所以所以 X 的数学期望不存在，的数学期望不存在，ln2 也就不是也就不是 X 的数学期望的数学期望并非任意一个随机变量并非任意一个随机变量都存在数学期望！都存在数学期望！数学期望的概念数学期望的概念定义：定义：设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的分布律为的分布律为PX=xk=pk,k=1,2,若级数若级数 绝对收敛绝对收敛，则级数，则级数 的的和和称为称为离散型随机变量离散型随机变量 X 的的数学期望数学期望，记作
7、，记作E(X)定义：定义：设连续型随机变量设连续型随机变量 X 的概率密度为的概率密度为 f(x)，若积分若积分绝对收敛绝对收敛，则积分，则积分 的值称为连续的值称为连续型随机变量型随机变量X 的的数学期望数学期望，记作，记作E(X)数学期望数学期望简称期望，简称期望，又称为均值又称为均值.几种常用的概率分布几种常用的概率分布分布分布参数参数分布律分布律数字特征数字特征两点两点分布分布二项二项分布分布泊松泊松分布分布几种常用的概率分布（续）几种常用的概率分布（续）分布分布参数参数概率密度概率密度数字特征数字特征均匀均匀分布分布正态正态分布分布指数指数分布分布例：例：有两个相互独立工作的电子装置
8、，它们的寿命有两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 Xk（k=1,2）服从同一个指数分布，其概率密度为）服从同一个指数分布，其概率密度为若将这两个电子装置串联联接组成整机，求整机寿命（以小若将这两个电子装置串联联接组成整机，求整机寿命（以小时计）时计）N 的数学期望的数学期望.解：解：Xk（k=1,2）的分布函数）的分布函数N=min(X1,X2)，则，则N 服从参数为服从参数为 q q /2 的指数分布，故的指数分布，故 E(N)=q q /2 例：例：按规定，某车站每天按规定，某车站每天8:00 9:00，9:00 10:00 都恰有一都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，两者到站的
9、时刻相互辆客车到站，但到站的时刻是随机的，两者到站的时刻相互独立独立其规律为其规律为一旅客一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望到车站，求他候车时间的数学期望概率概率8:509:508:309:308:109:10到站时刻到站时刻50分钟分钟10分钟分钟30分钟分钟70分钟分钟10分钟分钟30分钟分钟90分钟分钟10分钟分钟30分钟分钟第第1辆车辆车第第2辆车辆车8:108:308:509:109:309:50例：例：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽检在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽检 N 个人的血，可以用两种方法进行个人的血，可以用两种方法进行(i)将每个人的血
10、分别去验，这就需验将每个人的血分别去验，这就需验 N 次次(ii)按按 k 个人一组进行分组，把从个人一组进行分组，把从 k 个人抽来的血混合在一个人抽来的血混合在一起进行检验起进行检验如果这混合血呈阴性反应，就说明如果这混合血呈阴性反应，就说明 k 个人的血都呈阴性个人的血都呈阴性反应，这样，这反应，这样，这 k 个人的血就只需验个人的血就只需验 1 次次 若呈阳性，则再对这若呈阳性，则再对这 k 个人的血液分别进行化验这样个人的血液分别进行化验这样,k 个人的血总共要化验个人的血总共要化验 k+1 次次假设每个人化验呈阳性的概率为假设每个人化验呈阳性的概率为 p，且这些人的试验反应是，且这
11、些人的试验反应是相互独立的试说明当相互独立的试说明当 p 较小时，选取适当的较小时，选取适当的k，按第二种，按第二种方法可以减少化验的次数并说明方法可以减少化验的次数并说明 k 取什么值时最适宜取什么值时最适宜分析：分析：设以设以 k 个人为一组时，组内每人化验的次数为个人为一组时，组内每人化验的次数为X 随机变量的函数的期望随机变量的函数的期望例：例：设设随机变量随机变量 X 具有以下的分布律具有以下的分布律且且 Y=g(X)=X2，试求，试求E(X)，E(Y)解：解：例（续）：例（续）：Y=g(X)=X2，那么，那么Y 有可能取的值为有可能取的值为 0，1，4，9PY=0=PX=0=0.2
12、5PY=1=PX=1+PX=1=0.2+0.2=0.4PY=4=PX=2+PX=2=0.1+0.15=0.25PY=9=PX=3=0.1于是于是随机变量随机变量 Y 数学期望为数学期望为定理：定理：设设 Y=g(X)（g 是连续函数）是连续函数），(i)X 是离散型随机变量，分布律为是离散型随机变量，分布律为 PX=xk=pk，k=1,2,(ii)若级数若级数 绝对收敛，则有绝对收敛，则有(ii)X 是连续型随机变量，概率密度为是连续型随机变量，概率密度为 f(x)，若积分，若积分(iii)绝对收敛，则有绝对收敛，则有(iv)上述定理可推广到两个或两个以上随机变量的函数的情形，上述定理可推广到
13、两个或两个以上随机变量的函数的情形，如如例：例：设随机变量设随机变量(X,Y)概率密度为概率密度为求数学期望求数学期望 ，分析：分析：例（续）：例（续）：设随机变量设随机变量(X,Y)概率密度为概率密度为求数学期望求数学期望 ，分析：分析：例：例：某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量他们估计出售一件产品可获利产量他们估计出售一件产品可获利m 元，而积压一件产品元，而积压一件产品导致导致 n 元的损失再者，他们预测销售量元的损失再者，他们预测销售量Y（件）服从指数（件）服从指数分布，其概率密度为：分布，其概率密度为：问若要获得利润的
14、数学期望最大，应生产多少件产品（问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品（m,n,q q 均为已知）？均为已知）？分析：分析：产量产量x，销售量，销售量Y，利润，利润Q 三者之间关系三者之间关系利润利润Q 是随机变量是随机变量 Y 的函数，所以的函数，所以产量产量x没有视没有视作随机变量！作随机变量！数学期望的性质数学期望的性质设所遇到的随机变量的数学期望存在，那么设所遇到的随机变量的数学期望存在，那么性质性质1：常数的数学期望就是它本身，即常数的数学期望就是它本身，即 E(C)=C 性质性质2：常数因子可提出数学期望号之外，即常数因子可提出数学期望号之外，即E(CX)=C E(X)性质
15、性质3：和的数学期望等于数学期望的和，即和的数学期望等于数学期望的和，即E(X+Y)=E(X)+E(Y)性质性质4：设设 X，Y 相互独立，则相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)例：例：一民航送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有位旅客自机场开出，旅客有10个车个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车就不停车以站可以下车如到达一个车站没有旅客下车就不停车以 X 表示停车的次数，求表示停车的次数，求E(X)（设每位旅客在各个车站下车是等（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）可能的，并设各旅客是否下车相互独立）分析：分析：引入随机变量引入随机变量停车
16、次数停车次数 X=X1+X2+X10，于是于是 E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X10)在第在第 i 站没有人下车，站没有人下车，在第在第 i 站有人下车，（站有人下车，（i=1,2,10)例：例：设一电路中电流设一电路中电流 I(安培安培)与电阻与电阻 R(欧姆欧姆)是两个相互独是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为立的随机变量，其概率密度分别为试求电压试求电压 V=IR 的均值的均值分析：分析：因为电流因为电流 I 与电阻与电阻 R是两个相互独立的随机变量，所以是两个相互独立的随机变量，所以E(V)=E(IR)=E(I)E(R)2 方差方差引言引言l随机变量的数学期望体现了随机变
17、量所有可能取值的加权随机变量的数学期望体现了随机变量所有可能取值的加权平均平均离散型：离散型：连续型：连续型：若级数若级数 绝对收敛绝对收敛，则，则 若积分若积分 绝对收敛绝对收敛，则，则引言引言例：例：检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，也要注意纤维长度与平均长度的偏离程度也要注意纤维长度与平均长度的偏离程度l若偏离程度较小，表示质量比较稳定若偏离程度较小，表示质量比较稳定l若质量不稳定，则偏离程度较大若质量不稳定，则偏离程度较大随机变量与其均值的偏离程度的衡量：随机变量与其均值的偏离程度的衡量：EXE(X)E|XE(X)|EXE(
18、X)2 正负误差互相抵消正负误差互相抵消 带有绝对值，运算不方便带有绝对值，运算不方便方差的概念方差的概念定义：定义：设设 X 是一个随机变量，若是一个随机变量，若D(X)=EXE(X)2=E(X2)E(X)20存在，则存在，则 EXE(X)2称为称为 X 的的方差方差，记作，记作D(X)或或 Var(X).把把 称为称为标准差标准差或或均方差均方差，记作记作s s(X)说明：说明：方差是方差是随机变量随机变量 X 的函数的函数 g(X)=XE(X)2 的期望的期望E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(CX)=C E(X)E(C)=C切比雪夫不等式切比雪夫不等式D(X)=0当且仅当当且仅当P(X
19、=C)=1,其中其中C=E(X)附注：附注：D(X)=EXE(X)2 =E(X2)E(X)2 D(X+C)=D(X)设设 X，Y 相互独立，则相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 EXE(X)YE(Y)特别地，若特别地，若 X，Y 相互独立，相互独立，则则D(X+Y)=D(X)+D(Y)D(CX)=C 2 D(X)D(C)=0线线性性性性质质方差方差数学期望数学期望切比雪夫不等式切比雪夫不等式定理定理（切比雪夫不等式）（切比雪夫不等式）：设随机变量设随机变量 X 具有期望和方差，具有期望和方差，E(X)=m m，D(X)=s s 2则对于任意正数则对于任
20、意正数e e，都有，都有常用的等价形式常用的等价形式标准化变量标准化变量设随机变量设随机变量 X 具有数学期望具有数学期望 E(X)=m m，方差，方差 D(X)=s s2 0记记则则其中其中D(X+C)=D(X)几种常用的概率分布几种常用的概率分布分布分布参数参数分布律分布律数字特征数字特征两点两点分布分布二项二项分布分布泊松泊松分布分布几种常用的概率分布（续）几种常用的概率分布（续）分布分布参数参数概率密度概率密度数字特征数字特征均匀均匀分布分布正态正态分布分布指数指数分布分布3 协方差及相关系数协方差及相关系数引言引言l数学期望体现了随机变量所有可能取值的加权平均数学期望体现了随机变量所
21、有可能取值的加权平均l方差刻画了随机变量的取值与其数学期望的偏离程度方差刻画了随机变量的取值与其数学期望的偏离程度l对于二维随机变量对于二维随机变量(X,Y)，不仅要讨论，不仅要讨论各个分量的期望和各个分量的期望和方差，方差，还要讨论描述还要讨论描述 X 与与Y 之间相互关系的数字特征之间相互关系的数字特征lD(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EXE(X)YE(Y)特别地，若特别地，若X,Y 相互独立，则有相互独立，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)l当当 EXE(X)YE(Y)0 时，时，X 与与Y 不独立，而是存不独立，而是存在一定的关系在一定的关系E(XY)E(X)E(Y)协方差的概念
22、协方差的概念定义：定义：EXE(X)YE(Y)称为随机变量称为随机变量 X 与与Y 的的协方差协方差，记为，记为Cov(X,Y)于是于是 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EXE(X)YE(Y)协方差的基本性质：协方差的基本性质：1.Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)2.对称性：对称性：Cov(X,Y)=Cov(Y,X)特别地，特别地，D(X)=Cov(X,X)，D(Y)=Cov(Y,Y)3.线性性质：线性性质：Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)（a,b 是常数）是常数）Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
23、几点说明几点说明 Cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y)l协方差的协方差的“协协”是是“协同协同”的意思，可将的意思，可将D(X)=EXE(X)2中的一个因式换成中的一个因式换成YE(Y)而得到，其形式接近方差，而得到，其形式接近方差，又有又有X 和和 Y 的共同参与，的共同参与，协方差由此得名协方差由此得名例：例：Cov(2X,2Y)=4Cov(X,Y)(2X,2Y)的关联程度与的关联程度与(X,Y)的关联程度并不相等虽然的关联程度并不相等虽然协协方差反映了两个随机变量方差反映了两个随机变量的关联程度，但其数值的大小与随的关联程度，但其数值的大小与随机变量的取值以及量纲尺度的选取有关机变量
24、的取值以及量纲尺度的选取有关l为了消除这种不应有的影响，常常将协方差加以标准化，导为了消除这种不应有的影响，常常将协方差加以标准化，导出更能如实反映两个随机变量关联程度的另一个数字特征出更能如实反映两个随机变量关联程度的另一个数字特征返回返回相关系数的概念相关系数的概念定义：定义：称为随机变量称为随机变量 X 与与Y 的的相关系数相关系数说明：说明：因为因为所以所以r rXY 是一个无量纲的量，是一个无量纲的量，形式上可将它看作是形式上可将它看作是“标准尺度标准尺度下的协方差下的协方差”标准化变量标准化变量考虑以考虑以 X 的线性函数的线性函数 a+bX 来近似表示来近似表示 Y，以均方误差以
25、均方误差来衡量近似的好坏程度来衡量近似的好坏程度令令解得解得代入得代入得相关系数的性质相关系数的性质1.|r rXY|12.的充要条件是，存在常数的充要条件是，存在常数a,b，使得，使得PY=a+bX =1于是于是 r rXY 可以用来表征可以用来表征 X,Y 之间之间线性关系线性关系的紧密程度的紧密程度当当|r rXY|较大时，较大时，X,Y 线性相关的程度较好；线性相关的程度较好；当当|r rXY|较小时，较小时，X,Y 线性相关的程度较差；线性相关的程度较差；当当 r rXY=0 时，时，称称 X,Y（线性）（线性）不相关不相关例：例：设设(X,Y)N(m m1,m m2,s s12,s
26、 s22,r r)，其中其中 m m1,m m2,s s12,s s22,r r 都都是常数，且是常数，且 s s1 1 0 0，s s2 2 0 0，0|0|r r|1|0 0，s s2 2 0 0，0|0|r r|1|0 0，s s2 2 0 0，0|0|r r|1|1 令令则则于是于是 二维正态随机变量二维正态随机变量(X1,X2)的概率密度定义为的概率密度定义为 n 维正态随机变量维正态随机变量(X1,X2,Xn)的概率密度定义为的概率密度定义为二维正态分布的性质二维正态分布的性质若若(X1,X2)N(m m1,m m2,s s12,s s22,r r)，则，则l两个边缘分布都是正态分布，并且不依赖于参数两个边缘分布都是正态分布，并且不依赖于参数 r r l两个两个条件条件分布都是正态分布分布都是正态分布l有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布分布lCov(X1,X2)=rsrs1s s2，从而，从而r rX1X2=r r r r =0 X1 和和X2 相互独立相互独立 X1 和和 X2 不相关不相关注意：一般注意：一般 n 维正态随机变量的性质请参看课本维正态随机变量的性质请参看课本P.136