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1、栾新成栾新成 四川大学软件学院四川大学软件学院85997822 13808024081第第2章章 一阶谓词逻辑一阶谓词逻辑(2)主要内容主要内容v谓词公式与解释谓词公式与解释v 1.谓词的合适公式谓词的合适公式v 2.谓词公式的解释谓词公式的解释v 3.几个特殊的公式几个特殊的公式v谓词公式的等价与范式表示谓词公式的等价与范式表示v 1.谓词公式的等价谓词公式的等价v 2.基本等价式基本等价式v 3.前束范式前束范式v 4.斯柯林范式斯柯林范式2022年年12月月31日日2谓词公式谓词公式v同命题演算一样，在谓词逻辑中也同样包含命题变元和命同命题演算一样，在谓词逻辑中也同样包含命题变元和命题联
2、结词，为了能够进行演绎和推理，为了对谓词逻辑中题联结词，为了能够进行演绎和推理，为了对谓词逻辑中关于谓词的表达式加以形式化，利用联结词、谓词与量词关于谓词的表达式加以形式化，利用联结词、谓词与量词构成构成命题函数命题函数，我们必须引入公式的概念。，我们必须引入公式的概念。2022年年12月月31日日3谓词公式谓词公式v四类符号四类符号:v常量符号常量符号：一般用：一般用a,b,c,a1,b1,c1,来表示，它可以是来表示，它可以是D中的中的某个某个元素元素;v变量符号变量符号：一般用：一般用x,y,z,x1,y1,z1,来表示来表示.它可以取它可以取值于值于D中的中的任意任意元素；元素；v函数
3、符号函数符号：一般用：一般用f,g,h,f1,g1,h1,来表示。来表示。n元函数元函数符号符号f(x1,x2,.xn)可以是可以是DnD的任意一个函数；的任意一个函数；v谓词符号谓词符号：一般用：一般用P,Q,R,.,P1,Q1,R1,.来表示。来表示。n元元谓词符号谓词符号P(x1,x2,.xn)可以是可以是Dn0,1的任意一个谓词。的任意一个谓词。v注：不含变元的函数是注：不含变元的函数是常量常量；不含客体变元的谓词是；不含客体变元的谓词是命题命题。2022年年12月月31日日4谓词公式谓词公式vn元函数符号元函数符号f(x1,x2,.xn)与与n元谓词符号元谓词符号P(x1,x2,.x
4、n)v1）两个）两个n元相同吗？元相同吗？v2）函数符号）函数符号f(x1,x2,.xn)中的中的f 可以用可以用P代换吗？如果能，代换吗？如果能，则代换结果为则代换结果为P(x1,x2,.xn)，与谓词符号，与谓词符号P(x1,x2,.xn)的的区别是什么？区别是什么？2022年年12月月31日日值域不同5谓词公式谓词公式定义定义2-2.1 2-2.1 谓词逻辑中的谓词逻辑中的项项被被递归地定义为：递归地定义为：v1 1）任意的常量符号是项；）任意的常量符号是项；v2 2）任意的变量符号是项；）任意的变量符号是项；v3 3）若）若f(xf(x1 1,x,x2 2,x,x3 3,x,xn n)
5、是是n n元元函数符号，函数符号，t t1 1,t,t2 2,t,t3 3,t,tn n是项，是项，则则f(tf(t1 1,t,t2 2,t,t3 3,t,tn n)是项；是项；v4 4）只有有限次使用）只有有限次使用1)-3)1)-3)产生产生的符号串才是项。的符号串才是项。例例2.12.1复合函数复合函数f(g(f(a),g(a,x)f(g(f(a),g(a,x)是是一个项一个项2022年12月31日6谓词公式谓词公式v定义定义2-2.2 设设P(x1,x2,x3,.xn)是是n元谓词，元谓词，t1,t2,t3,.tn是项是项,则则P(t1,t2,t3,.tn)是原子谓词公式，简是原子谓词
6、公式，简称原子公式。称原子公式。v定义定义2-2.3 满足下列条件的表达式，称为合适公式满足下列条件的表达式，称为合适公式,简简称公式。称公式。v1）原子公式是合适公式；）原子公式是合适公式；v2）若）若G，H是合适公式，则是合适公式，则(G)、(H)、(GH)、(GH)、(GH)、(GH)也是合适公式；也是合适公式；v3）若）若G是合适公式，是合适公式，x是个体变量，则是个体变量，则(x)G、(x)G也是合适公式；也是合适公式；v4）仅仅由）仅仅由1)-3)产生的表达式才是合适公式。产生的表达式才是合适公式。2022年年12月月31日日G G的区别的区别:G:G与与(x)Gx)G（x)x)7
7、谓词公式谓词公式v例例2.2(P(x)(Q(x,y)R(x,a,f(z)v(P(x)R(y)v(x)(P(x)v 等都是公式。等都是公式。v 而而v(x)(P(x)R(x)v(x)P(x)(y)v 等则不是公式，前者括号不匹配，后者量词无辖域。等则不是公式，前者括号不匹配，后者量词无辖域。2022年年12月月31日日8谓词公式的谓词公式的翻译翻译v例例1 1 并非并非每个每个实数都是有理数实数都是有理数v解：设解：设R(x):xR(x):x是实数是实数,Q(x):x,Q(x):x是有理数是有理数v原命题为：原命题为：x x(R(x)Q(x)R(x)Q(x)v例例2 2 没有没有不犯错误的人不犯
8、错误的人v解：设解：设M(x)M(x)：x x是人是人,F(x):x,F(x):x犯错犯错v原命题为：原命题为：x（(M(x)(M(x)F(x)F(x)v例例3 3 尽管尽管有人聪明有人聪明，但，但未必一切人未必一切人都都聪明聪明。v解：设解：设M(x):xM(x):x是人是人,P(x):x,P(x):x聪明聪明v原题为：原题为：x(M(x)P(x)x(M(x)P(x)x(M(x)x(M(x)P(xP(x)2022年年12月月31日日9谓词公式的谓词公式的翻译翻译v多元谓词可以多重量化多元谓词可以多重量化v例例4 4 翻译翻译每个人都有缺点每个人都有缺点。v解：设解：设F F（x,yx,y）:
9、x:x有有y,M(x):xy,M(x):x是人是人 G(y):yG(y):y有缺点有缺点v原命题为原命题为:x(M(x)y(G(y)F(x,y)F(x,y)v例例5:5:翻译翻译某些人对某些食物过敏某些人对某些食物过敏。v解：设解：设F F（x,yx,y）:x:x对对y y过敏过敏,M(x):x,M(x):x是人是人 v G(y):yG(y):y是食物。是食物。v原命题为原命题为:x y(M(x)G(y)F(x,y)F(x,y)2022年年12月月31日日10谓词公式的谓词公式的翻译翻译v谓词对于个体刻划的深度的谓词对于个体刻划的深度的机动灵活性机动灵活性v例例6 翻译翻译那只小花猫逮住这只大
10、老鼠那只小花猫逮住这只大老鼠。v解：设解：设v a:F(x,y):x逮住逮住y,P(x):x是小花猫是小花猫,Q(y):y是大老鼠是大老鼠,S(a):a是那只是那只,R(b):b是这只是这只v原命题为：原命题为：a b(P(a)Q(b)F(a,b)S(a)R(b)vb A(x):x是猫是猫,B(x):x是小的是小的,C(x):x是花的是花的,D(y):y是的是的,E(y):y是老鼠是老鼠,F(x,y),S(a),R(b)同上。同上。v原命题为：原命题为：a b(A(a)B(a)C(a)D(b)E(b)F(a,b)S(a)R(b)v。2022年年12月月31日日11谓词公式的解释谓词公式的解释v
11、定义定义2-2.4 一个定义在论域一个定义在论域D上的公式上的公式G的每一个的每一个解释解释（指（指派）由如下四部分组成：派）由如下四部分组成：v1、非空的个体域集合、非空的个体域集合D；v2、G中的每个常量符号中的每个常量符号,指定指定D中的一个元素；中的一个元素；v3、G中的每个中的每个n元函数符号元函数符号,指定指定Dn到到D的一个函数；的一个函数；v4、G中的每个中的每个n元谓词符号元谓词符号,指定指定Gn到到0,1的一个谓词。的一个谓词。v注：定义中所谓指定一个注：定义中所谓指定一个具体函数具体函数，即是对每组可能的变量，即是对每组可能的变量值给出值给出函数的对应值函数的对应值；（值
12、域？）（值域？）v所谓指定一个具体所谓指定一个具体命题函数命题函数，就是对每组可能的客体变元取，就是对每组可能的客体变元取值给出谓词的对应值，值给出谓词的对应值，1表示逻辑真，表示逻辑真，0表示逻辑假。表示逻辑假。2022年年12月月31日日12谓词公式的解释谓词公式的解释v含有量词的公式的解释含有量词的公式的解释v 对于含有量词的公式的解释，需要根据量词的逻辑意对于含有量词的公式的解释，需要根据量词的逻辑意义来决定公式的值。义来决定公式的值。v设论域设论域 D=a1,a2,，anv1）（）（x)P(x)P(a1)P(a2)P(an)v 表示公式（表示公式（x)P(x)值为值为1“当且仅当当且
13、仅当”对论域对论域D中每个中每个元素元素a，P(a)的值为的值为1。v2）（）（x)P(x)P(a1)P(a2)P(an)v 表示公式（表示公式（x)P(x)值为值为0“当且仅当当且仅当”对论域对论域D中每个中每个元素元素a，P(a)的值为的值为0。2022年年12月月31日日13谓词公式的解释谓词公式的解释v例例2.3 设公式：设公式：(x)(y)(P(x,y)Q(x,y)。在如下给定的解释下在如下给定的解释下,判断该公式的真值。判断该公式的真值。v1)、解释、解释I为：为：v .个体域为个体域为N+(严格大于严格大于0的整数的整数)；v .P(x,y)指定为：指定为：“yx”；v .Q(x
14、,y)指定为：指定为：“y1”。v则原公式的真值为则原公式的真值为“真真”。因确能找到一个。因确能找到一个xN+，使得，使得对任意对任意y,都有都有yx和和y1。v此时蕴涵公式的前件为真，后件也为真。所以，整个公式此时蕴涵公式的前件为真，后件也为真。所以，整个公式为真。为真。2022年年12月月31日日14谓词公式的解释谓词公式的解释v2)、解释、解释I为：为：(x)(y)(P(x,y)Q(x,y)。v.个体域为个体域为N；v.P(x,y)指定为：指定为：“xy0”；v.Q(x,y)指定为：指定为：“xy”；则原公式的真值；则原公式的真值为为“假假”。v因对任意的因对任意的x0,当当y0时，有
15、时，有P(x,y)Q(x,y)为为“假假”，即有：即有：(y)(P(x,y)Q(x,y)为为“假假”。v而对而对x0，当，当y1时，有时，有P(x,y)Q(x,y)为为“假假”。即有：。即有：(y)(p(x,y)Q(x,y)为为“假假”。v所以，对任意所以，对任意xN,都有：都有：(y)(P(x,y)Q(x,y)为为“假假”。v即有：即有：(x)(y)(P(x,y)Q(x,y)为为“假假”。2022年年12月月31日日15谓词公式的解释谓词公式的解释v3)、解释、解释I为：为：(x)(y)(P(x,y)Q(x,y)。v.个体域为个体域为N；v.P(x,y)指定为：指定为：“x+y0”；v.Q(
16、x,y)指定为：指定为：“xy”。v则原公式的真值为则原公式的真值为“真真”。v因对任意的因对任意的x0,任意任意yN，有，有x+y0为为“假假”，所以，所以无论后件如何，都有无论后件如何，都有 P(x,y)Q(x,y)为为“真真”，v即有：即有：(y)(P(x,y)Q(x,y)为为“真真”。v所以：所以：(x)(y)(P(x,y)Q(x,y)为为“真真”。2022年年12月月31日日16几个特殊公式几个特殊公式v定义定义2-2.5：1、设、设A是以是以D为论域的谓词公式，如果在关于为论域的谓词公式，如果在关于D的任一解释的任一解释之下，之下，A的值都为真（或的值都为真（或1）时，称公式）时，
17、称公式A是是D上的上的永真公永真公式式(重言式重言式)；2）设）设A是以是以D为论域的谓词公式，如果在关于为论域的谓词公式，如果在关于D的任一解释的任一解释之下，之下，A的值都为假（或的值都为假（或0）时，称公式）时，称公式A是是D上的上的永假公永假公式式(矛盾式，不可满足公式）；矛盾式，不可满足公式）；3）设）设A是以是以D为论域的谓词公式，如果在关于为论域的谓词公式，如果在关于D的某个解释的某个解释之下，之下，A取值为真（或取值为真（或1），称公式），称公式A是是D上的上的可满足可满足公式。公式。2022年年12月月31日日17谓词公式的等价谓词公式的等价v定义定义2-3.1：设设A和和B
18、是以是以D为论域的谓词公式为论域的谓词公式,如果在任如果在任一解释下一解释下,A和和B都取相同的真值都取相同的真值,则称则称A和和B在在D上是等价上是等价的的,记作记作A B。v定理定理2-3.1：v A B iff A B是是D上的永真公式。上的永真公式。2022年年12月月31日日18谓词演算的基本等价式谓词演算的基本等价式v命题演算中的等价式在谓词演算中都成立命题演算中的等价式在谓词演算中都成立,下面只涉及量下面只涉及量词词(Quanitifier)的一些等价式。的一些等价式。2022年年12月月31日日19谓词演算的基本等价式谓词演算的基本等价式v定理定理2-3.2：量词否定：量词否定
19、(量词转换量词转换)v 25：（x）P(x)（x）P(x)v 26：（x）P(x)（x）P(x)v 显然显然,并非所有的人都是学生并非所有的人都是学生和和有些人不是学生有些人不是学生 有相同含义。有相同含义。v 不存在长生不老的人不存在长生不老的人 和和 所有的人都不是长生不老所有的人都不是长生不老的的有相同含义。有相同含义。v量词的转换可以推广到含多个量词的谓词公式。量词的转换可以推广到含多个量词的谓词公式。v（x）（）（y）（）（z）P(x,y,z)v （x）（）（y）（）（z）P(x,y,z)v （x）（）（y）（）（z）P(x,y,z)v （x）（）（y）（）（z）P(x,y,z)20
20、22年年12月月31日日规律？规律？规律？规律？20谓词演算的基本等价式谓词演算的基本等价式v定理定理2-3.：（量词辖域的扩充与收缩）：（量词辖域的扩充与收缩）v 设设Q是不含指导变元的谓词公式是不含指导变元的谓词公式v27：（x）P(x)Q（x）P(x)Qv28：（x）P(x)Q（x）P(x)Qv29：（x）P(x)Q（x）P(x)Qv30：（x）P(x)Q（x）P(x)Qv31：（x）P(x)Q（x）P(x)Qv32：（x）P(x)Q（x）P(x)Qv33：Q（x）P(x)（x）Q P(x)v34：Q（x）P(x)（x）Q P(x)2022年年12月月31日日21谓词演算的基本等价式谓词
21、演算的基本等价式v定理定理2-3.：（：（量词分配侓）量词分配侓）v35:(x)(P(x)Q(x)（x）P(x)（x）Q(x)v36:(x)(y)(P(x)Q()(x)P(x)(x)Q(x)v37:(x)()(P(x)Q()（x）P(x)（x）Q(x)v38：（：（x）(P(x)Q(x)（x）P(x)（x）Q(x)v39：（：（x）(P(x)Q(x)（x）p(x)（x）Q(x)v定理定理2-3.：（：（双量词公式的等价性）双量词公式的等价性）v40：(x)()(x，)（）（）（x）(x，)v41：(x)()(x，)（）（）（x）(x，)2022年年12月月31日日同一类型的量同一类型的量词，可
22、以交换词，可以交换顺序而不影响顺序而不影响其等价性。其等价性。22不同类型量词可交换顺序吗？不同类型量词可交换顺序吗？解释给定为解释给定为:D=1，2，分别求公式分别求公式A=（x）（）（y）P(x,y)和公式和公式B=（y）（）（x）P(x,y)的值。的值。A=(P(1,1）P(1,2)(P(2,1)P(2,2)=(10)(01)=1B=(P(1,1）P(1,2)(P(2,1)P(2,2)=(1 0)(0 1)=0P(1,1)P(1,2)P(2,1)P(2,2)10012022年年12月月31日日23含有含有“”“”公式的共同点公式的共同点2022年年12月月31日日2727：(x)(P(x
23、)Q)x)(P(x)Q)（x x）P(x)QP(x)Q2828：(x)(P(x)Q)x)(P(x)Q)（x x）P(x)QP(x)Q2929：(x)(P(x)Q)x)(P(x)Q)（x x）P(x)QP(x)Q3030：(x)(P(x)Q)x)(P(x)Q)（x x）P(x)QP(x)Q3535：（：（x x）(P(x)Q(x)(P(x)Q(x)（x x）P(x)P(x)（x x）Q(x)Q(x)3636：（：（x x）（）（）(P(x)Q(P(x)Q()（x x）P(x)P(x)（x x）Q(x)Q(x)3737：（：（x x）（）（）(P(x)Q(P(x)Q()（x x）P(x)P(x)（
24、x x）Q(x)Q(x)3838：（：（x x）(P(x)Q(x)(P(x)Q(x)（x x）P(x)P(x)（x x）Q(x)Q(x)24含有含有“”公式的共同点公式的共同点2022年年12月月31日日3131：（x x）P(x)P(x)Q Q（x x）P(x)P(x)QQ3232：（x x）P(x)P(x)Q Q（x x）P(x)P(x)Q Q3333：Q Q（x x）P(x)P(x)（x x）QQ P(x)P(x)3434：Q Q（x x）P(x)P(x)（x x）Q Q P(x)P(x)3939：（：（x x）(P(x)(P(x)Q(x)Q(x)（x x）p(x)p(x)（x x）Q(
25、x)Q(x)（x x）(P(x)(P(x)Q(x)Q(x)（x x）p(x)p(x)（xQ(x xQ(x）25前束范式前束范式v 与命题演算类似与命题演算类似,谓词演算也有谓词演算也有范式范式(规范规范(标准标准)的公式的公式)v定义定义2-3.:如果谓词公式如果谓词公式v A=（Q1x1）（）（Q2x2）（Qnxn）G,v 其中其中Qixi是是 xi或或 xi(1 i n),v G是不含量词的公式是不含量词的公式,v 则称则称A是是前束范式前束范式,称称G是是A的母式的母式。v(所有所有量词量词均均非否定非否定地出现在公式的地出现在公式的最前面最前面,且且辖域辖域一直延一直延伸到公式之末伸到
26、公式之末)v 如如（x）（）（y）（）（z）(P(x,y)Q(y,z)v （x）（）（y）p(x,y,z)2022年年12月月31日日26前束范式前束范式v定义定义2-3.:如果在前束范式（如果在前束范式（Q1x1）（）（Q2x2）（Qnxn）G中中,母式母式G是合取是合取(或析取或析取)范式范式,相应地称这个前束范式相应地称这个前束范式为为前束合取前束合取(或析取或析取)范式。范式。v定理定理2-3.6 每一个含量词的谓词公式都存在着与之等价的每一个含量词的谓词公式都存在着与之等价的前束范式。前束范式。v化规过程化规过程:v1.将公式中将公式中,化成化成,v2.利用量词转换律利用量词转换律2
27、5,26和德和德.摩根定律摩根定律,将否定直接移到原将否定直接移到原子公式前。子公式前。v3.利用约束变元的改名和自由变元的代入规则利用约束变元的改名和自由变元的代入规则,使所有约束变元使所有约束变元之间之间,自由变元与约束变元之间均不同名。自由变元与约束变元之间均不同名。v4.利用量词的扩张与收缩利用量词的扩张与收缩,把量词移到全式的最前面。把量词移到全式的最前面。2022年年12月月31日日27前束范式前束范式v例例2.4 将公式将公式(xP(x)yR(y)xF(x)v化规为前束范式。化规为前束范式。v解：解：(xP(x)yR(y)xF(x)v(xP(x)yR(y)xF(x)(1)v(xP
28、(x)yR(y)xF(x)(2)v（xP(x)yR(y)）z F(z)(3)v x y z(P(x)R(y)F(z)(4)(析取范式析取范式)v x y z(P(x)F(z)(R(y)F(z)(合取范式合取范式)2022年年12月月31日日28前束范式的不足前束范式的不足v把一个谓词公式变成等价的前束范式时把一个谓词公式变成等价的前束范式时,可能存在多个全可能存在多个全称量词和存在量词称量词和存在量词.v凡是同一类型的量词凡是同一类型的量词,可以交换顺序而不影响等价性；可以交换顺序而不影响等价性；v全称量词和存在量词一般不能交换顺序；全称量词和存在量词一般不能交换顺序；v两种量词出现的顺序可能
29、组成多种情况；两种量词出现的顺序可能组成多种情况；v在处理实际问题时很不方便。人们设计了一种解决办法：在处理实际问题时很不方便。人们设计了一种解决办法：v只保留全称量词只保留全称量词,而把存在量词转化为相应的依赖函数而把存在量词转化为相应的依赖函数,这这就是就是Skolem范式的思路。范式的思路。2022年年12月月31日日29斯柯林斯柯林(Skolem)范式范式v斯柯林斯柯林(Skolem)范式范式-不含存在不含存在量词的前束合取范式量词的前束合取范式v定义定义23.4 设谓词公式设谓词公式A的等价的等价前束合取范式前束合取范式是是v （Q1x1）（）（Q2x2）（Qnxn）G,v）从左到右
30、扫描量词，设）从左到右扫描量词，设Qi是第一个遇到的存在量词是第一个遇到的存在量词:v 如如i=1,则选择一个在则选择一个在G中未使用过的中未使用过的常量常量标识符代替标识符代替G中的全部中的全部x1,然后删去然后删去Q1x1;v如果如果i1,则则Q1,Q2,Qi-1都是全称量词都是全称量词,这时选择一个在这时选择一个在G中中未使用过的函数标识符未使用过的函数标识符(如如g)，并用，并用g(x1,x2,.,xi-1)去去代替代替G中的全部中的全部xi,然后删去然后删去Qixi;v2）重复这一过程）重复这一过程,直到公式中不含存在量词为止。直到公式中不含存在量词为止。v这样得到的公式称为这样得到
31、的公式称为Skolem范式范式,而取代存在量词时使用而取代存在量词时使用的常量标识符或函数的常量标识符或函数,称为称为Skolem函数。函数。2022年年12月月31日日30斯柯林斯柯林(Skolem)范式范式v例例2.5v 求求 x y z u v wP(x,y,z,u,v,w)的的Skolem范式。范式。v解解：x y z u v wP(x,y,z,u,v,w)v y z u v wP(a,y,z,u,v,w)（消去（消去 x）v y z v w P(a,y,z,f(y,z),v,w)（消去（消去）v y z vP(a,y,z,f(y,z),v,g(y,z,v)（消去（消去）2022年年1
32、2月月31日日31Skolem范式的理解范式的理解v消去存在量词消去存在量词,将相应变元以函数代入的理解将相应变元以函数代入的理解:v如如 x yP(x,y)的的Skolem范式是范式是 xP(x,f(x)v x yP(x,y)的意思是对任一的意思是对任一x都有一个都有一个y使使P(x,y)成立成立,v这个这个y通常是通常是依赖依赖x的的,可视为可视为x的某个函数的某个函数f(x),从而有从而有Skolem范式范式 xP(x,f(x)。v然而能找到的然而能找到的y不一定是不一定是x的函数的函数f,于是于是 x yP(x,y)与与 xP(x,f(x)并不等值。并不等值。v如如=1,2,x yP(
33、x,y)(P(1,1)P(1,2)(P(2,1)P(2,2)v与与 xP(x,f(x)P(1,f(1)P(2,f(2)v两者明显不等值两者明显不等值,但在但在不可满足的不可满足的意义下是一致的。意义下是一致的。2022年年12月月31日日32斯柯林斯柯林(Skolem)范式范式v定理定理23.7 设谓词公式设谓词公式G的的Skolem范式为范式为S,则则G为矛为矛盾式当且仅当盾式当且仅当 S为矛盾式。为矛盾式。vSkolem范式是一种重要的范式形式，机器定理证明和逻范式是一种重要的范式形式，机器定理证明和逻辑程序设计中的消解辑程序设计中的消解(或称归结或称归结)原理就建立在这种范式的原理就建立在这种范式的基础上。基础上。2022年年12月月31日日33作业作业 v习题二习题二 5（1）、（）、（3）v 6（2）v 7（2）、（）、（3）v 8v 9v 10v 11（1）、（）、（2）2022年年12月月31日日34