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1、第2章考点一考点二考点三把握热点考向应用创新演练理解教材新知2.3返回返回2 23 3 映射的概念映射的概念返回返回 在某次数学在某次数学测试测试中，高一中，高一(16)班的班的60名同学都取得名同学都取得较较好好的成的成绩绩把把该该班班60名同学构成一个集合名同学构成一个集合A，他，他们们的成的成绩绩构成构成一个集合一个集合B.问题问题1：集合：集合A中的每一个同学，在集合中的每一个同学，在集合B中能找到惟一中能找到惟一成成绩绩与其与其对应吗对应吗？提示：提示：是的是的返回 问题问题2：集合：集合B中的每一个元素，在集合中的每一个元素，在集合A中有几个元素与中有几个元素与之之对应对应？提示：
2、提示：可能一个也可能多个可能一个也可能多个 问题问题3：从集合：从集合A到集合到集合B中的中的对应对应是函数是函数吗吗？为为什么？什么？提示：提示：不是函数因不是函数因为为函数的函数的对应对应是数集到数集的是数集到数集的对应对应 问题问题4：你能：你能举举出两个出两个满满足上述的足上述的对应对应，且不是函数，且不是函数吗吗？提示：提示：数数轴轴上的点集与上的点集与实实数集的数集的对应对应；某中学同学与学号的某中学同学与学号的对应对应返回 映射的含映射的含义义：设设A、B是两个非空集合，如果按某种是两个非空集合，如果按某种对应对应法法则则f，对对于于A中的中的 元素，在元素，在B中都有中都有 的
3、的元素与之元素与之对应对应，那么，那么，这样这样的的 叫做集合叫做集合A到集到集合合B的映射，的映射，记记作：作：.每一个每一个唯一唯一单值对应单值对应f：AB返回 1映射定映射定义义中的两个集合中的两个集合A、B是非空的，可以是是非空的，可以是数集，也可以是点集或其他集合，数集，也可以是点集或其他集合，A、B是有先后次序的，是有先后次序的，A到到B的映射与的映射与B到到A的映射一般是不同的，即的映射一般是不同的，即f具有方向具有方向性性 2在在A到到B的映射中，的映射中，A中每一个元素都可以在中每一个元素都可以在B中中找到惟一一个元素和它找到惟一一个元素和它对应对应，但，但A中的不同元素允中
4、的不同元素允许对应许对应B中的相同元素中的相同元素 3映射是特殊的映射是特殊的对应对应，它只允，它只允许许“多多对对一一”“一一对对一一”，但不允但不允许许“一一对对多多”函数又是一种特殊的映射，它是建立在函数又是一种特殊的映射，它是建立在两个数集上的映射两个数集上的映射返回返回例例1下下图图中各中各图图表示的表示的对应对应构成映射的有构成映射的有_思路点拨思路点拨利用映射的概念进行判断利用映射的概念进行判断返回 精解精解详详析析(1)(2)(3)这这三个三个图图所表示的所表示的对应对应都符合都符合映射的定映射的定义义，即，即A中的每一个元素在中的每一个元素在对应对应法法则则下，下，B中都中都
5、有惟一的元素与之有惟一的元素与之对应对应 对对于于(4)(5)，A中的每一个元素在中的每一个元素在B中有中有2个元素与之个元素与之对应对应，所以不是，所以不是A到到B的映射；的映射；对对于于(6)，A中的元素中的元素a3，a4在在B中没有元素与之中没有元素与之对应对应，所以不是所以不是A到到B的映射的映射 答案答案(1)(2)(3)返回 一点通一点通判断一个判断一个对应对应是是A到到B的映射，的映射，应应从从两个角度去分析：两个角度去分析：“对对于集合于集合A中的每一个元素中的每一个元素”；在在B中中“有惟一的元素与之有惟一的元素与之对应对应”，这这两个条件缺一两个条件缺一不可；若判断不是不可
6、；若判断不是A到到B的映射，只要的映射，只要举举出一个反例，出一个反例，即即说说明集合明集合A中的某一元素，在中的某一元素，在B中无中无对应对应元素或有多元素或有多个个对应对应元素即可元素即可返回1给给出下列四个出下列四个对应对应，是映射的是，是映射的是_返回解析：解析：不是映射，因不是映射，因为为元素元素c没有没有对应对应元素；元素；不不是映射，因是映射，因为为元素元素a有两个有两个对应对应元素只有元素只有符合符合映射的定映射的定义义答案：答案：返回返回解：解：(1)1A，在，在f作用下，作用下，1|11|0 B，不是映射，故也不是函数不是映射，故也不是函数(2)对对于于A中元素中元素x0时
7、时与与B中的元素中的元素1对应对应，而当，而当x0时时与与B中的元素中的元素2对应对应，因此能构成映射又，因此能构成映射又A，B均均为为数集，数集，因此也能构成函数因此也能构成函数(3)由于平面内的三角形都有其外接由于平面内的三角形都有其外接圆圆，且外接，且外接圆圆惟一，惟一，因此能构成从因此能构成从A到到B的映射，但由于的映射，但由于A，B都不是数集，都不是数集，因此不能构成函数因此不能构成函数返回 例例2设设集合集合PQ(x，y)|x，yR，f：PQ是是从集合从集合P到集合到集合Q的映射的映射f：(x，y)(xy，xy)求求 (1)集合集合Q中与集合中与集合P中元素中元素(3,2)对应对应
8、的元素；的元素；(2)集合集合P中与集合中与集合Q中元素中元素(3,2)对应对应的元素的元素 思路点思路点拨拨(1)把把(3,2)代入到代入到对应对应法法则则就可求出就可求出对应对应元素；元素；(2)可以采用方程可以采用方程(组组)的思想求解的思想求解返回返回 一点通一点通求求对应对应元素的一般思路是：若已知元素的一般思路是：若已知A中的元中的元素素a，求，求B中与之中与之对应对应的元素的元素b，这时这时只要将元素只要将元素a代入代入对应对应法法则则f求解即可；若已知求解即可；若已知B中的元素中的元素b，求，求A中与之中与之对应对应的元的元素素a，这时这时需构造方程需构造方程(组组)进进行求解
9、即可，行求解即可，这时这时需注意解得需注意解得的的结结果可能有多个果可能有多个返回3在映射在映射f：AB中，中，AR，BR，且，且f：x|2x3|，则则与与B中的元素中的元素5对应对应的的A中的元素中的元素为为_解析：解析：由由|2x3|5得得2x35或或2x35.x1或或x4.答案：答案：1或或4返回4已知映射：已知映射：f：AB，AB(x，y)|x，yR，f：A中的元素中的元素(x，y)对应对应B中的元素中的元素为为(3x2y1,4x3y1)(1)求求A中元素中元素(1,2)在在B中中对应对应的元素；的元素；(2)B中元素中元素(1,2)与与A中哪个元素中哪个元素对应对应？返回返回 例例3
10、已知已知Aa，b，c，B1,0,1，映射，映射f：AB满满足足f(a)f(b)f(c)，求映射，求映射f：AB的个数的个数 思路点思路点拨拨需分需分“三三对对一一”“三三对对二二”和和“三三对对三三”讨论讨论，用，用图图示表示示表示返回 精解精解详详析析(1)当当A中元素都中元素都对应对应一个元素一个元素时时，由，由于于f(a)f(b)f(c)，所以，所以a，b，c必必须须都都对应对应元素元素0.(如如图图)共有共有1个映射个映射 (2)当当A中元素中元素对应对应两个元素两个元素时时，根据，根据f(a)f(b)f(c)，有下面，有下面4种情况种情况返回 (3)当当A中元素中元素对应对应三个元素
11、三个元素时时，由于，由于f(a)f(b)f(c)，有下面两种情况，有下面两种情况因此，因此，满满足足题设题设条件的映射有条件的映射有7个个返回 一点通一点通对对于两个集合于两个集合间间映射个数的映射个数的问题问题，常，常见见的的题题目有两目有两类类，一，一类类是是给给定两个集合定两个集合A，B，问问由由AB可建立的映射的个数可建立的映射的个数这类问题这类问题与与A，B中元素的个数中元素的个数有关系一般地，若有关系一般地，若A中有中有m个元素，个元素，B中有中有n个元素，个元素，则则从从AB共有共有nm个不同的映射另一个不同的映射另一类类是含条件的映是含条件的映射个数的确定如本例解决射个数的确定
12、如本例解决这类问题这类问题一定要注意一定要注意对应对应关关系所系所满满足的条件，要采用分足的条件，要采用分类讨论类讨论的思想方法来解决的思想方法来解决返回5已知已知Aa，b，B0,1，则则有有A到到B的映射共的映射共有有_个个解析：解析：共有共有224个个答案：答案：4返回6设设Ma，b，N2,0,2，则则从从M到到N的映射中的映射中满满足足f(a)f(b)的映射的映射f的个数的个数为为_返回答案：答案：6返回 对对映射定映射定义义的理解：的理解：(1)A、B必必须须是非空集合是非空集合(可以是数集，也可以是其可以是数集，也可以是其他集合他集合)；(2)对应对应关系有关系有“方向性方向性”，即从集合，即从集合A到集合到集合B的的对对应应与从与从B到到A的的对应对应关系一般是不同的；关系一般是不同的；返回 (3)集合集合A中每一个元素，在集合中每一个元素，在集合B中必中必须须有有对应对应元素，元素，并且并且对应对应元素是惟一的；元素是惟一的；(4)集合集合A中不同元素，在集合中不同元素，在集合B中中对应对应的元素可以是的元素可以是相同的；相同的；(5)不要求集合不要求集合B中的每一个元素在集合中的每一个元素在集合A中都有中都有对应对应元素元素 返回点此进入