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1、线性代数下页结束返回2009-20102009-2010第二学期第二学期线性代数任课教师：张张 凤凤部 门：信息学院信息学院办公室：文理大楼文理大楼 714 714 室室E-mail：下页线性代数下页结束返回第第1 1章章 行列式行列式一、行列式的概念一、行列式的概念二、行列式的性质与计算二、行列式的性质与计算三、克拉默（克莱姆）法则三、克拉默（克莱姆）法则下页线性代数下页结束返回1.1 1.1 二三阶行列式二三阶行列式 考虑用消元法解二元一次方程组考虑用消元法解二元一次方程组 (a11a22-a12a21)x2=a11b2-b1a21 (a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b
2、2第第1 1节节 行列式的概念行列式的概念用用a22和和a12分别乘以两个方程的两端，然后两个方程相减，消去分别乘以两个方程的两端，然后两个方程相减，消去x2得得 同理，消去同理，消去x1得得当时，方程组的解为时，方程组的解为下页二阶行列式二阶行列式 线性代数下页结束返回当时，方程组的解为时，方程组的解为为便于叙述和记忆，为便于叙述和记忆，引入符号引入符号D=D1=称称D为二阶行列式二阶行列式.按照二阶行列式定义可得按照二阶行列式定义可得D2=于是，当于是，当D00时，方程组的解为时，方程组的解为下页线性代数下页结束返回 j=1，2，3类似引入符号类似引入符号其中其中D1,1,D2,2,D3
3、3分别为将分别为将D的第的第1 1、2 2、3 3列换为常数项后得到的行列式列换为常数项后得到的行列式.三阶行列式三阶行列式 求解三元方程组求解三元方程组称称D为三阶行列式三阶行列式.下页线性代数下页结束返回25431 是一个是一个5级排列级排列.如如，3421 是是4级排例；级排例；例例1写出所有的写出所有的3级全排列级全排列.解：解：所有的所有的3级排列为：级排列为：321.312，231，213，132，123，1.2 1.2 排列排列 n 个自然数个自然数1,2,n 按一定的次序排成的一个无重复数字的有序按一定的次序排成的一个无重复数字的有序数组称为一个数组称为一个 n 级排列，记为级
4、排列，记为i1i2in.显然，显然，n 级排列共有级排列共有n!个个.其其中，排列中，排列12n称为称为自然排列自然排列.下页线性代数下页结束返回3 4 2 1逆序数的计算方法逆序数的计算方法(向前看法向前看法)43 2 1从而得从而得(3421)=5=5.5逆序及逆序数逆序及逆序数 定义定义1 1 在一个在一个n n级排列级排列i1i2 in中，若一个较大的数排在一个较小数中，若一个较大的数排在一个较小数的前面，则称这两个数构成一个逆序的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为这个排列的逆序数，记为(i1i2 in).下页线性
5、代数下页结束返回奇排列与偶排列奇排列与偶排列逆序及逆序数逆序及逆序数 定义定义1 1 在一个级排列在一个级排列i1i2 in中，若一个较大的数排在一个较小数中，若一个较大的数排在一个较小数的前面，则称这两个数构成一个逆序的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为这个排列的逆序数，记为(i1i2 in).逆序数是奇数的排列，称为奇排列逆序数是奇数的排列，称为奇排列.逆序数是偶数或逆序数是偶数或0的排列，称为偶排列的排列，称为偶排列.如如 3421是奇排列，是奇排列，1234是偶排列是偶排列，因为因为(3421)=5=5.因为因为(
6、1234)=0=0.下页线性代数下页结束返回 定义定义3 符号符号称为称为n阶行列式阶行列式，它表示代数和它表示代数和 其中和式中的排列其中和式中的排列 j1 j2 jn要取遍所有要取遍所有n级排列级排列.元素元素ai j列标列标行标行标1.3 1.3 n 阶行列式阶行列式下页n 阶行列式定义阶行列式定义线性代数下页结束返回a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann (3)n 阶行列式共有阶行列式共有n!项项.(-1)(j1 j2 jn).之前的符号是之前的符号是n 个元素的乘积个元素的乘积.(1)在行列式中在行列式中,项项是取自不同行不同列的是取自不同行不同列的 行列式有时简
7、记为行列式有时简记为|a ij|.一阶行列式一阶行列式|a|就是就是a.=说明：说明：下页(2)项项线性代数下页结束返回在乘积在乘积a14a23a31a44a14a23a31a44 a14a23a31a42 a14a23a31a42例如，四阶行列式例如，四阶行列式a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 (-1)(4312)a14a23a31a42为为行列式中的一项行列式中的一项.表示的代数和中有表示的代数和中有4!=24项项.a14a23a31a42取自不同行不同列取自不同行不同列,的列标排列为的列标排列为4312所以它不是行列式
8、中的一项所以它不是行列式中的一项.中有两个取自第四列的元素，中有两个取自第四列的元素，下页(为奇排列为奇排列)，线性代数下页结束返回D=行列式计算行列式计算 解：解：根据行列式定义根据行列式定义例例1计算计算2 阶行列式阶行列式D=注注：3 3阶行列式的计算类似，略阶行列式的计算类似，略.下页线性代数下页结束返回 例例2计算计算 n 阶下三角形行列式阶下三角形行列式D的值的值其中其中aii 0(i=1,2,n).D=a11a21a31an1 0a22a32an2 00a33an3 000ann 解：解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，D=(-1)
9、(1 2 n)a11a22a33 ann第一行只能取第一行只能取a11，第三行只能取第三行只能取a33，第二行只能取第二行只能取a22，第第 n 行只能取行只能取ann.，这样这样不为零不为零的的乘积乘积项只有项只有a11a22a33 ann，所以所以=a11a22a33 ann.下页线性代数下页结束返回 例例3计算计算 n 阶下三角形行列式阶下三角形行列式D的值的值D=000bnbn-1*00*b1*0b2*解：解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，D=(-1)(n n-1 21)b1b2b3 bn第一行只能取第一行只能取b1，第第n-1行只能行
10、只能第二行只能取第二行只能取b2，第第 n 行只能取行只能取bn.，这样这样不为零不为零的的乘积乘积项只有项只有b1b2b3 bn，所以所以取取bn-1，下页线性代数下页结束返回下三角形行列式的值：下三角形行列式的值：a11a21a31an1 0a22a32an2 00a33an3 000ann =a11a22a33 ann.上三角形行列式的值：上三角形行列式的值：a11000a12a2200a13a23a330 a1na2na3nann =a11a22a33 ann.对角形行列式的值：对角形行列式的值：a11000 0a2200 00a330 000ann =a11a22a33 ann.结论
11、：结论：下页线性代数下页结束返回 将行列式将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为的转置行列式，记为DT (Transpose)或或D .即如果即如果2.1 2.1 行列式的性质行列式的性质a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann D=，a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann DT=则.第第2 2节节 行列式的性质与计算行列式的性质与计算显然，显然，(DT)T=D.下页行列式的转置行列式的转置线性代数下页结束返回性质性质3 用数用数k乘以行列式的某一行乘以行列式的某一行(列列)，等于用数，等于用数k乘以此行
12、列式乘以此行列式.即即a11kai1an1 a12kai2an2 a1nkainann=k.a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann 性质性质1 行列式与它的转置行列式相等，即行列式与它的转置行列式相等，即D=DT.推论推论1 如果行列式的某一行如果行列式的某一行(列列)的元素为零，则的元素为零，则D0.性质性质2 互换行列式的两行互换行列式的两行(列列)，行列式的值变号，行列式的值变号.推论推论 如果行列式如果行列式D中有两行中有两行(列列)的元素相同，则的元素相同，则D=0.推论推论2 如果如果D中有两行中有两行(列列)成比例，则成比例，则D=0.下页线性代数下页结束返回
13、 性质性质4 若行列式中的某一行若行列式中的某一行(列列)的元素都是两数之和，则此行列的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和式可以写成两个行列式之和.即即a11ai1+bi1an1a12ai2+bi2an2a1nain+binanna11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann =性质性质5 将行列式的某一行将行列式的某一行(列列)的所有元素同乘以数的所有元素同乘以数k后加到另一行后加到另一行(列列)对应位置的元素上，行列式的值不变对应位置的元素上，行列式的值不变.即即a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann a11ai1+kaj1an1a12ai2
14、+kaj2an2a1nain+kajnann=.+a11bi1an1 a12bi2an2 a1nbinann .下页线性代数下页结束返回行列式的计算行列式的计算要点：利用性质将其化为上三角行列式，再进行计算要点：利用性质将其化为上三角行列式，再进行计算.为表述方便，引入下列记号为表述方便，引入下列记号(行用行用r，列用，列用c)：2)以数以数k乘以行列式的第乘以行列式的第i行，用行，用kri表示；表示；3)以数以数k乘以行列式的第乘以行列式的第i行加到第行加到第j行，用行，用rj+kri表示表示.1)交换行列式的第交换行列式的第i行与第行与第j行，用行，用表示；表示；下页线性代数下页结束返回例
15、例1.计算行列式解：解：=-85.下页线性代数下页结束返回例例2.2.计算行列式计算行列式解：解：下页线性代数下页结束返回例例3.计算行列式计算行列式解：解：将各行都加到第一行，从第一行提取（将各行都加到第一行，从第一行提取（x+（n-1）a）得）得下页线性代数下页结束返回解：解：例例4.计算行列式计算行列式下页线性代数下页结束返回结束作业：20页 1(1)(2)21页 3(1)4(1)线性代数下页结束返回返回 第一个问题第一个问题,线性代数线性代数是研究什么的？是研究什么的？线性代数线性代数是专是专门研究如何求解线性方程的数学分支。是门研究如何求解线性方程的数学分支。是线性规划线性规划的必备知识。的必备知识。其理论与方法的目的性非常明确，而且非常容易学会。其理论与方法的目的性非常明确，而且非常容易学会。第二个问题第二个问题,线性代数线性代数对我们来讲有什么用途？对我们来讲有什么用途？线性代线性代数数是农林类院校相关专业必修的基础课。是农林类院校相关专业必修的基础课。通过学习，可以培通过学习，可以培养我们的思维能力、判断能力、分析与解决问题的能力；养我们的思维能力、判断能力、分析与解决问题的能力；对于对于考研来说，占数学份额的考研来说，占数学份额的25%，即，即37分左右分左右(数学总分数学总分150分分)；是发挥专业作用的基础性工具。是发挥专业作用的基础性工具。