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1、1.3 1.3 行列式的展开与计算行列式的展开与计算1.3.2 拉普拉斯(Laplace)定理 1.3.1 行列式按一行（或一列）展开1.3.1 行列式按一行（或一列）展开定义1.3.1 在n阶行列式 D=|aij|n中，划掉元素 aij所在的第 i行和第 j列后,留下的元素按照原来的顺序组成的 n-1阶行列式称为元素 aij的余子式,记为 Mij.称 为元素 aij的代数余子式.例如四阶行列式中元素 a23的余子式 元素a23的代数余子式是 定理1.3.1 n阶行列式 D=|aij|n等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即(1.3.1)(1.3.2)或证 定理分三步证
2、明.(1)首先讨论行列式D的第一行中除 a110外,其余元素均为零的情形 即按行列式的定义(2)其次讨论行列式D中第 i行元素除 aij 0外，其余元素均为零的情形 即先将D的第 i行依次与第 i-1,2,1各行作 i-1次相邻对换调到第一行,再将第 j列依次与j-1,2,1各列作 j-1次相邻对换调到第一列,这样对 D共进行了 i+j-2次对换,由行列式的性质3及情形（1），(3)一般情形，把D写为 由行列式的性质4及情形(2),这样就证明了按行的展开公式(1.3.1).同理可证按列的展开公式(1.3.2).证毕.定理1.3.2 n阶行列式D=|aij|n中某一行(列)的各个元素与另一行（列
3、）的对应元素的代数余子式乘积之和等于0.即 证:直接构造法。把定理1.3.1与定理1.3.2结合起来，得到两个重要公式：(1.3.3)(1.3.4)例1.3.1 1.3.1 计算行列式计算行列式解 D=40.例例1.3.2 1.3.2 计算n+1阶行列式(三线型),其中 解：利用主对角线外消去竖线化为上三角行列式.由于 i+1列乘以，将行列式的第后都加到第1列上，得例例1.3.3 1.3.3 计算n阶行列式（递推法）解解 按第1列展开 由于对于n2,Dn=xDn-1+an都成立,从而 因为D1=a1+x,于是 把行列式的计算化为形式相同而阶数较低的行列式的计算的方法称为递推法,Dn=xDn-1
4、+an称为递推公式.例1.3.4（数学归纳法）证明：n阶范得蒙(Vandermonde)行列式 证 对Vn的阶数 n作数学归纳法.当n=2时,所以当n=2时结论成立.假设对n-1阶范德蒙行列式结论成立，考虑 n阶范德蒙行列式.从第 n行起,每行减去前一行的 a1倍,得到 按第一列展开后,将每一列的公因子(ai-a1)提出来,得到 上式右端是一个n-1阶范德蒙行列式,由归纳假设得到 因此，对 n阶范德蒙行列式结论成立。1.3.2 拉普拉斯(Laplace)定理 非按部就班运动-跳跃式展开定义1.3.2 在n阶行列式D中,任取k行、k列(1k n-1)，由这些行和列交叉处的元素按照原来的相对位置所
5、构成的k阶行列式N，称为D的一个k阶子式.在行列式D中去掉k阶子式N所在的行和列以后，剩下的元素按原来的顺序构成的nk阶行列式M,称为N的余子式.若N所在的行序数为i1,i2,ik,所在的列序数为 j1,j2,jk,则称 为N的代数余子式.例如，在4阶行列式中选取第1，4行，第2，3列，得到一个2阶子式 N的余子式为N的代数余子式为 定理1.3.3(拉普拉斯(Laplace)定理)在 n 阶行列式 D 中任意选取k行（列）(1 k n-1),则由这 k个 行（列）中的一切 k 阶子式 N1,N2,Nt与它们所对应的代数余子式 A1,A2,At乘积之和等于D，即 其中 定理的证明从略.例1.3.5 计算五阶行列式解：把行列式按前二行展开，这两行共有 个二阶子式,其中不为0的只有3个,即 它们对应的代数余子式分别为 于是=665.例1.3.6 计算2n阶行列式 解 由于D的左下角的 n2个元素全为零,故可选取 D的前 n列展开.由这 n列构成的所有 n阶子式中,只有左上角的一个可能不为零,于是由拉普拉斯定理,