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1、 2.二阶常系数齐次方程及非齐次方程-用代数法求解 3.高阶方程 化为关于x,p的一阶方程化为关于y,p的一阶方程 第十二章第十二章 微微 分分 方方 程程 （习题课）微分方程的解法 =-可化为变量可分离方程齐次方程全微分方程用线积分求解不定积分求解用积分法一阶方程 )(),(dxdy :.1xyyxfj 12.1 一阶微分方程的解法 12.1.1 分离变量法分离变量法 12.1.2 可化为齐次的方程的解法可化为齐次的方程的解法 解 由这方程 是x,y的一个齐次式，对这种方程令y=ux可将方程化为变量可分离的方程 12.1.3 可化为一阶线性的方程的解法可化为一阶线性的方程的解法 贝努利方程容
2、易变为线性方程方程两边同乘x,得故原方程的通解为令z=u-1,12.1.4 全微分方程的解法全微分方程的解法 若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),则称 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 （*）为全微分方程，显见它的通为若(*)不是全微分方程，但是全微分方程 例 8 判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解(1)是全微分方程代入初始条件f(1)=1,得 12.2 可降阶的高阶微分方程 高阶微分方程的基本方法是逐次降低方程的阶数，而这只对某些特殊类型的方程才能有效。解 这是不显含x而可降阶的方程.令故有解方程，得再解之，得故原方程通解为(P=0的解y=c3为(奇
3、解)已包含在其中)曲线，f(x)在 解 由题设沿闭回路的第二型曲线积分等于零和与路线无关的定理，知被积函数必满足恰当条件，这里（1）注意：题设f(x)是x的函数，这里不一定有y=f(x)这是不显含f(x)的二阶方程，再积分，得代入f(0)=1,得C2=1,所求函数 12.3 常系数线性微分方程的解法 例12 若连续函数f(x)满足两端积分，得 初始条件为 代入上式,得 解 对积分方程两边求导，得再求导，得初始条件为 特征方程与特征根为:再代入初始条件(2),得所求函数为 解 所给方程为全微分方程的条件为即 特征方程 r2+1=0,(1)所对应的齐次方程的通解 （x)=C1cosx+C2sinx
4、 由于（1）中自由项f(x)=cosx,是特征方程的单复根，故设代入方程(1),得 例15 设函数f(x)二阶连续可导，且满足求f(x)代入原方程后比较系数，得若它是某个二元函数u(x,y)的全微分，求-令xy=z,得再令u=-,得分离变量，得最后举两个一阶线性方程的例原方程变 形为方程两边对x求导，得 这是一个以f(x)为未知函数的可分离变量方程 本题由原积分方程得不到定解条件，但在(1)中令x=0,是初始条件 f(0)=1,由f(0)=1 C=1令u=siny 得故原方程的通解为高等数学复习高等数学复习一、多元函数微分法一、多元函数微分法一、多元函数微分法一、多元函数微分法 解解 函数z在
5、点(0,0)的某个邻域内由两个式子表示，根据偏导定义来求2.复合函数求偏导复合函数求偏导 定理定理 如果函数如果函数u=(x,y)及及v=(x,y)都在点都在点(x,y)具有对具有对x及及y的偏导数，函数的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点（在对应点（u,v)具有连续偏导数，则复具有连续偏导数，则复合函数合函数z=f(x,y),(x,y)在点在点(x,y)的两个偏导数存在，且其偏的两个偏导数存在，且其偏导数可用下列公式计算导数可用下列公式计算 解4.求函数在点 P(1,1,1)沿向量的方向导数.解解:向量 l 的方向余弦为。7.抛物面 被平面x+y+z=1截成一椭圆，求坐标原点与这个椭圆上点
6、的连线的最长和最短长度.解 M(x,y,z)为椭圆上的任一点，它与原点的连线之长 二、重积分二、重积分8.计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解解:由被积函数可知,因此取D 为X 型域:先对 x 积分不行,说明说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解 用极坐标计算 D:解解解解 2 2其中是由椭球面所围成的空间闭区域.解解 以垂直于z轴的平面截，得截面为椭圆域三、曲线积分三、曲线积分三、曲线积分三、曲线积分对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分的计算法0 xyY2=xY=x2(1,1)四、四、四、四、无穷级数无穷级数内容小结内容小结1.利用部
7、分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛4.4.极限审敛法极限审敛法极限审敛法极限审敛法 解解 因为 的敛散性.14.判别级数解解:根据比较审敛法的极限形式知15.判别级数的敛散性.解解:根据比较审敛法的极限形式知18.18.将下列函数展开成将下列函数展开成x x的幂级数的幂级数 19.设级数 试求：（1）收敛区间；（2）和函数S(x);(3)此题用到欧拉公式
8、此题用到欧拉公式定义定义:复变量（欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式据此可得利用幂级数的乘法,不难验证(德莫弗公式德莫弗公式)（欧拉公式）(德莫弗公德莫弗公式式)练习题练习题练习题练习题第八章习题第八章习题第八章习题第八章习题 8-18-1 2.6.2.6.（3 3）习题）习题）习题）习题 8-2 1.(3)(5)6.(2)8-2 1.(3)(5)6.(2)习题习题习题习题 8-48-42.12.(2)2.12.(2)习题习题习题习题 8-5 7.(8)10.(3)(4)11.8-5 7.(8)10.(3)(4)11.习题习题习题习题 8-6 1.6.8-6 1.6.习题习题习题习题 8
9、-8 1.8-8 1.3.6.3.6.总习题八总习题八总习题八总习题八 12.13.12.13.第九章第九章第九章第九章 习题习题习题习题 9-3 6.9.10.(1)(2)11.(2)(3)9-3 6.9.10.(1)(2)11.(2)(3)总习题九总习题九总习题九总习题九 2.(2)(3)(4)3.(1)(3).2.(2)(3)(4)3.(1)(3).第十章第十章第十章第十章 习题习题习题习题 10-1 3.(1)10-1 3.(1)(4)(4)习题习题习题习题 10-10-2 3.(1)(2).2 3.(1)(2).习题习题习题习题 10-10-3 5.(1)(4)3 5.(1)(4)第
10、十一章第十一章第十一章第十一章 习题习题习题习题 11-2 2.(3)3.(1)11-2 2.(3)3.(1)习题习题习题习题 11-3 1.(4)(6)2.(1)11-3 1.(4)(6)2.(1)（2 2）习题习题习题习题 11-4 2.(2)(3)11-4 2.(2)(3)总习题总习题十一十一十一十一 2.(1)(2)5.(1)2.(1)(2)5.(1)9.(1)9.(1)第十二章第十二章第十二章第十二章 习题习题习题习题 12-2 1.(1)(3)2.(1)12-2 1.(1)(3)2.(1)习题习题习题习题 12-3(1)-(4)12-3(1)-(4)习题习题习题习题 12-4 1.(1)2.(4).6.12-4 1.(1)2.(4).6.习题习题习题习题 12-12-5 1.(4)5 1.(4)习题习题习题习题 12-12-6 1.(1)(5).6 1.(1)(5).习题习题习题习题 12-12-9 1.(1)(9)2.(3)(4).9 1.(1)(9)2.(3)(4).