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1、 第十一章第十一章 无无 穷穷 级级 数数 （习题课）（习题课）10.1 敛散性判定的方法 设级数 的部分和数列 .为判定 的敛 散性，只要直接讨论数列Sn 的敛散性即可。10.1.1 直接判定法直接判定法 10.1.2 正项级数收敛准则正项级数收敛准则 正项级数收敛的充要条件：它的部分和数列上有界.这一准则是正项级数各种判敛法的理论基础.10.1.3 比较判敛法比较判敛法 设有正项级数:例例2 2 判定下列级数的敛散性 最常用来作比较的级数是等比级数qn(q 0）,调和级数 比值判敛法比值判敛法 对于正项级数 如果 根值判敛法根值判敛法 对于正项级数 如果 例 5 判定下列级数的敛散性 本例
2、也可看作是由两个收敛的等比级数的对应项相加所得级数，据级数的性质可知是收敛的.10.1.4 积分判敛法积分判敛法 若f(x)连续、非负、不增，则正项级数 与无穷级数同时收敛，同时发散。.从而当相应的无穷积分的敛散性易于判断时，可以通过积分来 判定.10.1.5 任意项级数收敛准则任意项级数收敛准则 判定任意项级数的敛散性，通常把它转化为相应的绝对值组成的级数，即一正项级数而加以考虑，这时如果收敛，原级数也收敛，称为绝对收敛。对于绝对收敛的任意项级数，正项级数的判敛法都能直接用上.一般地，有关于级数收敛的Cauchy准则：级数 收敛的充要条件为，对于任意给定的0,总存在N,使对任何nN及自然数p
3、,总有|un+1+un+2+un+p|0时，f(x)单调递减，故有由莱布尼兹定理知：（4）解 因为 故原级数绝对收敛.10.2 幂级数解题的方法 10.2.1 收敛半径的确定收敛半径的确定 故级数的收敛半径为1.下面考虑 的情形，显然有 10.2.2 函数按幂级数展开的方法函数按幂级数展开的方法 将函数展开成幂级数的方法有两种：1.直接展开法直接展开法；2.间接展开法间接展开法.例14 将下列函数展开成x的幂级数：10.2.3 求幂级数和函数的方法求幂级数和函数的方法 1.直接求和法：直接求和法：就是直接计算它的部分和极限，或者利用已知的展开式，因为每个展开式倒过来就是一个求和公式.2.间接求和法间接求和法：是将所给级数作适当变形，使变形后的级数易于求和，然后将所得的和作适当的运算，就得所求的和函数了.例 15 设级数 试求：（1）收敛区间；（2）和函数S(x);(3)10.2.4 利用幂级数求数项级数的和利用幂级数求数项级数的和 10.3 Fourier级数展开的方法级数展开的方法 例 20 将函数 展开成正弦级数.解 将此函数作奇延拓，延拓成 上的奇函数，则 又延拓后的函数在x=0间断，在 连续，所以 解 设已作奇延拓和周期延拓，则可展开成正旋级数，其 又f(x)作了上述延拓后在0,l上连续,所以 解（1）f(x)=x为奇函数，例22。试将函数 在 展成正弦级数，并求级数