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1、练习：练习：二、二、函数的间断点函数的间断点 一、一、函数的连续性函数的连续性第六节函数的连续性与间断点 可见可见,函数函数在点在点一、函数的连续性函数的连续性(continuity)1.定义定义:在在的的某邻域内有定义某邻域内有定义,则称则称函数函数(1)在点在点即即(2)极限极限(3)设函数设函数连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在;且且有定义有定义,存在存在;对自变量的增量对自变量的增量有有函数的增量函数的增量函数函数在点在点连续有连续有:2.函数连续的等价定义函数连续的等价定义等价定义等价定义:在在的的某邻域内有定义某邻域内有定义,设函数设函数则称则称函数函数当当时时,有
2、有当当时时,有有4.左、右连续左、右连续在在的的某邻域内有定义某邻域内有定义,设函数设函数则称则称函数函数定理定理1continue若若在在某区间上每一点都连续某区间上每一点都连续,则称它在该则称它在该区间上区间上连续连续,或称它为该或称它为该区间上的区间上的连续函数连续函数.例如例如,在在上上连续连续.(有理整函数有理整函数)又如又如,有理分式函数有理分式函数在其在其定义域内连续定义域内连续.在在闭区间闭区间上的连续函数的集合记作上的连续函数的集合记作只要只要都有都有例例.证明函数证明函数在在内内连续连续.证证:即即这这说明说明在在内内连续连续.同样可证同样可证:函数函数在在内内连续连续.在
3、在在在二、函数的间断点函数的间断点(1)函数函数(2)函数函数不不存在存在;(3)函数函数存在存在,但但 不连续不连续:设设在点在点的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义,则下列情形则下列情形这样的点这样的点之一之一函数函数 f(x)在点在点虽有定义虽有定义,但但虽有定义虽有定义,且且称为称为间断点间断点.在在无定义无定义;间断点分类间断点分类:第一类间断点第一类间断点:及及均存在均存在,若若称称若若称称第二类间断点第二类间断点:及及中至少一个不存在中至少一个不存在,称称若若其中有一个为振荡其中有一个为振荡,称称若若其中有一个为其中有一个为为为可去间断点可去间断点.为为跳跃间断点跳跃间断点.
4、为为无穷间断点无穷间断点.为为振荡间断点振荡间断点.为其为其无穷间断点无穷间断点.为其为其振荡间断点振荡间断点.为为可去间断点可去间断点.例如:显然显然为其为其可去间断点可去间断点.(4)(5)为为其跳跃间断点其跳跃间断点.(6)为为其跳跃间断点其跳跃间断点.Conclusions:左连续左连续右连续右连续第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的类型间断的类型在点在点连续的等价形式连续的等价形式思考与练习1.讨论函数
5、讨论函数x=2 是第二类无穷间断点是第二类无穷间断点.间断点的类型间断点的类型.2.设设时时为为连续函数连续函数.答案答案:x=1 是第一类可去间断点是第一类可去间断点,备用题备用题 确定函数确定函数间断点的类型间断点的类型.解解:间断点间断点为为无穷间断点无穷间断点;故故为为跳跃间断点跳跃间断点.在其在其定义域内连续定义域内连续三、连续函数的运算法则三、连续函数的运算法则定理定理2.在某点连续的在某点连续的有限个有限个函数经函数经有限次有限次和和,差差,积积,(利用极限的四则运算法则证明利用极限的四则运算法则证明)商商(分母不为分母不为 0)运算运算,结果仍是一个在该点连续的函数结果仍是一个
6、在该点连续的函数.例如例如,思考思考:(1)同一区间内同一区间内,一个连续函数与一个不连续函数的和是否连一个连续函数与一个不连续函数的和是否连续续?(2)同一区间内同一区间内,两个不连续函数的和是否一定不连续两个不连续函数的和是否一定不连续?定理定理3.连续单调递增连续单调递增 函数的反函数函数的反函数例如例如,在上上连续单调递增，连续单调递增，其其反函数反函数(递减).(证明略)在 1,1 上也连续单调递增上也连续单调递增.递增递增(递减)也也连续单调连续单调在上上连续连续 单调单调,其其反函数反函数在上也连续单调上也连续单调.又又如如,特别特别,在上也连续单调上也连续单调.在上连续上连续.
7、在上连续上连续.在上连续上连续.定理定理4.连续函数的复合函数是连续的连续函数的复合函数是连续的.证证:设函数于是故故复合函数复合函数即即例如例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,在上连续上连续.证明：证明：初等函数的连续性初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间内定义区间内连续连续连续函数求极限连续函数求极限例例1.设均在上上连续连续,证明函数证明函数也在也在上上连续连续.证证:根据连续函数运算法则根据连续函数运算法则,可知可知
8、也在也在上连续连续.例例2.求解解:原式例例3.求解解:令则原式Note:当时,有例例4.求求解解:原式Note:若则有例例5.设解解:讨论复合函数讨论复合函数的连续性的连续性.故此时连续故此时连续;而故x=1为第一类跳跃间断点为第一类跳跃间断点.在点在点 x=1 不连续不连续,Conclusions:基本初等函数基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续连续函数的连续函数的四则运算四则运算的结果连续的结果连续连续函数的连续函数的反函数反函数连续连续连续函数的连续函数的复合函数复合函数连续连续初等函数在初等函数在定义区间内定义区间内连续连续Remark:分段函数在界点处是否连续需讨论其分段函
9、数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性.反例反例 x 为有理数为有理数 x 为无理数为无理数处处间断处处间断,处处连续处处连续.反之是否成立反之是否成立?Hint:“反之反之”不成立不成立.思考思考:答：不一定答：不一定注意注意:若函数在若函数在开区间开区间上连续上连续,结论不一定成立结论不一定成立.定理定理5.5.在在闭区间闭区间上连续的函数上连续的函数即:设则使值和最小值值和最小值.或在闭区间内或在闭区间内有间断有间断 在该区间上一定有最大在该区间上一定有最大(证明略)点点,四、有限闭区间上连续函数的性质四、有限闭区间上连续函数的性质例如例如,无无最大值和最小值最大值和最小值
10、 也无最大值和最小值也无最大值和最小值 又如又如,定理定理5.5.在在闭区间闭区间上连续的函数上连续的函数值和最小值值和最小值.在该区间上一定有最大在该区间上一定有最大推论推论.由由定理定理 1 可知有可知有证证:设上上有界有界.定理定理6.(零点定理零点定理)至少有一点至少有一点且且使使(证明略)在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界.定理定理7.(介值定理介值定理)设 且则对 m与 M 之间的任一数 C,一点证证:作辅助函数作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即使至少有例例1.证明方程一个根.证证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即在区间内至少有例例2.Conclusions:在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,必存在使上有界;在在备用题备用题1.至少有一个不超过 4 的 证证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.上连续,且恒为正,2.设在对任意的必存在一点证证:使令,则使故由零点定理知,存在即当时,取或,则有证明: