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1、模糊数学原理及应用模糊数学原理及应用 目录n序言n F集合n F模式识别nF聚类nF评判nF数模糊数学是研究什么的？模糊现象：模糊现象：模糊现象：模糊现象：“亦此亦彼亦此亦彼”的不分明现象的不分明现象模糊数学模糊数学研究和揭示模糊现研究和揭示模糊现象的定量处理方法。象的定量处理方法。1.1引言引言用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画；2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画;3.模糊现象：如 “今天天气很热”，“小伙子很帅”，等等。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画
2、。模糊数学的产生与发展 美国控制论专家L.A.Zadeh 在20世纪50年代到60年代在最优性检验、决策、控制及有关的领域做出了出色的工 作，在长期的研究中他认识到经典数学的局限性，于1965 年在杂志Information and Control 上发表著名的论文Fuzzy Sets，标志着模糊数学的诞生。50年来模糊数学发展很快，其应用几乎覆盖了国民经 济各 个领域，如农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、军事、社会治安等。1 Zadeh LA,Fuzzy sets,Information and Control,l8(1965)338353.刘应明院士是模糊数学界代表性人物。国外杂志“
3、Fuzzy Sets and Systems”，“Journal of Fuzzy Mathematics”,“Fuzzy Optimization and Decision Making”，“Journal of Intelligent and Fuzzy Systems”，“Journal of Optimization Theory and Applications”国内杂志 “模糊系统与数学”。Uu或或这种隶属关系可用一个函数表示A给定一个集合U，子集AU，U中元素u与A的关系1.2 F集的基本概念但U中有的子集并非如此：考虑年龄集U=0,100，A=“年 老”，A也是一个年龄集，u=
4、20 A，40 呢？查德给出了 “年老”集隶属函数（membership function）刻画:一般地，为研究某事物的规律性，总是先给定义目标集，如研究年龄规律，取0，100，它表达了问题的总范围，称为论域(universe of discourse),一般记为U。下面在论域U上定义模糊集定义定义1.2.1 设A是论域U到0，1的一个映射，即 普通集U的所有子集构成的集合称为U的幂集(power set)，记为 P (U).P（U）=A|AU=A|A:U0,1 注意到：每一个U的子集对应一个特征函数，即论域U上所有模糊集的全体记为 F（U）。F（U）=AA:0,1显然有 P (U)F (U)
5、注意到：每一个U的模糊子集对应一个隶属函数，即集合的表示方法：一般形式：形式（限于论域是有限或可数的情况）：向量形式：积分形式(限于U不可数）：注：以上记号仅限于符号，没有求和、积分的意思。例3 设U=1,2,3,4,5,6，A表示“靠近4”的数集，则AF（U），各数属于A的程度 A(ui)如下表：u1 2 3 4 5 6A(u)0 0.2 0.8 1 0.8 0.2或舍弃隶属度为0的项，记为形式：例4 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，则AF（R）。它的隶属函数是0A(u)4u14-4+例4 设论域为实数域R，A表示“靠近4的数集”，则AF（R）。它的隶属函数是1.3 F集的运算集的
6、运算两个模糊集之间的运算，就是逐点对隶属函数作相应的运算。定义1 设A，BF (U)，若 uU，B(u)A(u)则称A包含B，记为BA。例：例2.设U=R(实数域），正态型隶属函数：x=linspace(0,100,601);y=(x0).*exp(-(x-50)/10).2);plot(x,y)z=(x0).*exp(-(x-50)/20).2);plot(x,y,x,z)例2.设U=R(实数域），正态型隶属函数：例2.设U=R(实数域），正态型隶属函数：x=linspace(0,100,601);y=exp(-(x-30)/20).2);z=exp(-(x-60)/20).2);plot(
7、x,y,x,z)例2.设U=R(实数域），正态型隶属函数：例2.设U=R(实数域），正态型隶属函数：x=linspace(0,100,601);y=exp(-(x-30)/20).2);z=exp(-(x-60)/20).2);y1=max(y,z);plot(x,y,x,z),hold on,fill(x,100,0,y1,0,0,y)例2.设U=R(实数域），正态型隶属函数：例2.设U=R(实数域），正态型隶属函数：x=linspace(0,100,601);y=exp(-(x-30)/20).2);z=exp(-(x-60)/20).2);y2=min(y,z);plot(x,y,x,z
8、),hold on,fill(x,100,0,y2,0,0,r)例2.设U=R(实数域），正态型隶属函数：例2.设U=R(实数域），正态型隶属函数：x=linspace(0,100,601);y=exp(-(x-30)/20).2);z=1-exp(-(x-30)/20).2);plot(x,y,x,z)例2.设U=R(实数域），正态型隶属函数：例1 设 U=u1,u2,u3,u4,u5 则按以上运算定义可得：则在集合论中，集合关于,c 的运算具有如下性质：1）幂等律 2）交换律 3）结合律 4）吸收律5）分配律9）补余律称（P（U）,，c）为布尔代数。6)0-1律 7)复原律 8）对偶律在（
9、F（U）,，c）中除补余律外均成立。例 设但对U上的模糊集补集而表示成模糊集为显然有而显然有1.4 F集运算的其它定义为了使F集适合于各种不同的模糊现象，专家提出了许多与，相应的算子，如：1）代数和（概率和）2）代数积3）有界和4)有界积5）Einstein 和6）Einstein 积7)幂乘例 设1）代数和2）代数积3）有界和4)有界积7)幂乘1.5 F集的截集 从概念上讲，模糊数学是精确数学的扩张，从方法论上讲，任何模糊问题都可以通过-截集转化为普通集合论的问题来处理。请看下例：例1 在一次“优胜者”的选拔赛中，10位应试者及其成绩分别如表1-3所示。应试者 x1 x 2 x3 x4 x5
10、 x 6 x7 x8 x9 x10成绩（分）100 92 35 68 82 25 74 80 40 55请按“择优录取”的原则选出这次选拔赛的“优胜者”。设F集A表示“优胜者”，按各人成绩与最高分的比值作为属 于A的隶属度：对给定的0,1，将隶属度A的元素挑出来。如=0.7 有即在70分的水平上（信任程度上）有8人入围。注：A是普通集。定义1 设AF（U），0,1，记称A为A的一个-截集，称为阈值（或置信水平）；称 为A的一个-强截集.注：若把普通集 看成一个函数的话，可写成特征函数：A1/3A1/211/21/3u0kerA SuppA显然，置信水平越小，截集A越大，反之，置信水平越大，截集A越小。因此，普通集合族 象征着一个具有游移边界的集 合，也是一个具有弹性边界的集合.例2 在古代史分期中，记“奴隶社会”=取=0.5的截集作为奴隶社会的划分界限，问奴隶社会包含哪些朝代？显然，“奴隶社会”0.5=夏，商，西周，春秋，战国。普通集合有数乘的概念：则如模糊集合也有数乘的概念：定义1 设0,1，AF（U），记称为与A的数积。当A为普通集时性质1 若这里 为A的特征函数，而A仍为F集。则性质2 若（6.1）则