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1、数学建模与数学实验数学建模与数学实验 数学建模简介数学建模简介 数学试验简介数学试验简介 Matlab入门入门1 数学建模简介数学建模简介 1.关于数学建模关于数学建模 2.数学建模实例数学建模实例 3.数学建模论文的撰写方法数学建模论文的撰写方法A.人口预报问题人口预报问题B.椅子能在不平的地面上放稳吗？椅子能在不平的地面上放稳吗？C.双层玻璃的功效双层玻璃的功效21、什么是数学模型？、什么是数学模型？数学模型数学模型是对于现实世界的一个特定对象特定对象，一个特定目的特定目的，根据特有的内在规律内在规律，做出一些必要的假必要的假设设，运用适当的数学工具数学工具，得到一个数学结构数学结构。简单
2、地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。一、名词解释一、名词解释32、什么是数学建模、什么是数学建模?数学建模数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。观点：观点：“所谓所谓高科技高科技就是一种就是一种数学技术数学技术”4 数学建模数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了数学并需要用数学
3、去解决实际问题，就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划该实际问题，这种刻划的数学表述的就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程。数学模型一经提出，就要用一定的技术手段（计算、证明等）来求解并验证，其中大量的计算往往是必不可少的，高性能的计算机的出现使数学建模这一方法如虎添翼似的得到了飞速的发展，掀起一个高潮。数学建模数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。5 二二、数学建模的一般方法和步骤数学建模的一般方法和步骤 建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征特征：模型的可靠性可靠
4、性和模型的使用性使用性建模的一般方法：机理分析 测试分析方法 机机理理分分析析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。测测试试分分析析方方法法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。测试分析方法也叫做系统辩识系统辩识。将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法。6 在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建
5、模目的来决定。机理分析法建模的具体步骤大致可见右图。符合实际不符合实际交付使用，从而可产生经济、社会效益实际问题抽象、简化、假设 确定变量、参数建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数用实际问题的实测数据等来检验该数学模型建模过程示意图7 模型模型 数学模型的分类：数学模型的分类：按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等。按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。三、数学模型及其分类三、数学模型及其分类8四、近几年全
6、国大学生数学建模竞赛题四、近几年全国大学生数学建模竞赛题9 返回返回101、如何预报人口、如何预报人口？要预报未来若干年（如2005）的人口数，最重要的影响因素是今年的人口数和今后这些年的增长率（即人口出身率减死亡率），根据这两个数据进行人口预报是很容易的。记今年人口为 ，k年后人口为 ，年增长率为r，则预报公式为：预报正确的条件：年增长率r保持不变。数学建模实例数学建模实例111、指数增长模型、指数增长模型（马尔萨斯人口模型）：英国人口学家马尔萨斯（Malthus17661834）于1798年提出。2、阻滞增长模型、阻滞增长模型（Logistic模型）3、更复杂的人口模型、更复杂的人口模型
7、随机性模型、考虑人口年龄分布的模型等 可见数学模型总是在不断的修改、完善使之能符合实际情况的变化。人口模型12 2、椅子能在不平的地面上放稳吗？椅子能在不平的地面上放稳吗？把四只脚的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而有人认为只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了，对吗？133、双层玻璃的功效、双层玻璃的功效 北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为的玻璃夹着一层厚度为的空气，如左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失。我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图，玻璃厚度
8、为）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。返回返回14 怎样撰写数学建模的论文？怎样撰写数学建模的论文？1、摘要、摘要:问题、模型、方法、结果问题、模型、方法、结果2、问题重述、问题重述4、分析与建立模型、分析与建立模型5、模型求解、模型求解6、模型检验、模型检验7、模型推广、模型推广8、参考文献、参考文献9、附录、附录3、模型假设、模型假设15数学试验简介数学试验简介 数学实验的目的是培养学生学习数学、应用数学知识解决一些实际问题的能力。课程通过介绍有关数学软件（MATLAB），运用数学课程所学习的一些知识与方法，对一些简单的实际问题进行分组讨论、建立数学模型
9、、设计解法、软件简单编程、上机实践、完成实验报告等教与学的互动过程，使学生真正体会到数学的奥妙和数学学习的实用性和趣味性。16（1）介绍数学软件）介绍数学软件MATLAB，使学生学会该数学软件的基本操，使学生学会该数学软件的基本操作；作；（2）利用数学软件，通过上机试验，解决高等数学和工程数学课）利用数学软件，通过上机试验，解决高等数学和工程数学课程中的一些简单的数值计算问题；程中的一些简单的数值计算问题；（3）对一些简单的实际问题，运用所学的数学知识，建立相应的）对一些简单的实际问题，运用所学的数学知识，建立相应的数学模型、运用不同的数学方法上机实验，找到符合条件的最优数学模型、运用不同的数
10、学方法上机实验，找到符合条件的最优解；解；（4）选定几个较为综合的问题，进行建模与实践。）选定几个较为综合的问题，进行建模与实践。教学步骤：教学步骤：17 MATLAB作为线性系统的一种分析和仿真工具，是理工科大学生应该掌握的技术工具，它作为一种编程语言和可视化工具，可解决工程工程、科学计算科学计算和数学学科数学学科中许多问题。MATLAB建立在向量向量、数组数组和矩阵矩阵的基础上，使用方便，人机界面直观，输出结果可视化。矩阵矩阵是MATLAB的核心 MATLAB的进入与运行方式（两种）MATLAB入门入门18Matlab（Matrix Laboratory矩阵试验室）矩阵试验室）Matlab
11、是Mathworks公司开发的，集数值计算、高级绘图及可视化、高级程序开发语言和动态系统建模仿真于一体的开发环境，Matlab产品族可以用来进行：1）数据的分析与可视化；2）数值和符号运算；3）工程和科学绘图；4）控制系统设计；5）数字图像信号处理；6）财务工程；7）建模、仿真、原型开发；8）编程、应用开发、图形用户界面设计。等等19 MATLAB入门入门一、变一、变 量量 与与 函函 数数二、数二、数 组组三、三、矩矩 阵阵四、四、MATLAB编程编程五五、实实 验验 作作 业业20 1、变量、变量 MATLAB中变量的命名规则命名规则是：（1）变量名必须是不含空格的单个词；（2）变量名区分
12、大小写；（3）变量名最多不超过19个字符；（4）变量名必须以字母打头，之后可以是 任意字母、数字或下划线，变量名中 不允许使用标点符号.一、变一、变 量量 与与 函函 数数21特殊变量表特殊变量表222、数学运算符号及标点符号、数学运算符号及标点符号（1）MATLAB的每条命令后，若为逗号逗号或或无标点无标点符号，则显示命令的结果；若命令后为分号分号，则禁止显示结果.（2）“%”后面所有文字为注释.（3）“.”表示续行.233、数学函数、数学函数24 MATLAB的内部函数是有限的，有时为了研究某的内部函数是有限的，有时为了研究某一个函数的各种性态，需要为一个函数的各种性态，需要为MATLAB
13、定义新函数，定义新函数，为此必须编写函数文件为此必须编写函数文件.函数文件是文件名后缀为函数文件是文件名后缀为M的文件，这类文件的的文件，这类文件的第一行必须是一特殊字符第一行必须是一特殊字符function开始开始，格式为：，格式为：function 因变量名因变量名=函数名（自变量名）函数名（自变量名）函数值的获得必须通过具体的运算实现，并赋给因变函数值的获得必须通过具体的运算实现，并赋给因变量量.4、M文件文件M文件建立方法：文件建立方法：1.在在Matlab中，点中，点:File-New-M-file 2.在编辑窗口中输入程序内容在编辑窗口中输入程序内容 3.点：点：File-Save
14、，存盘，存盘，M文件名必须文件名必须 与函数名一致。与函数名一致。Matlab的应用程序也以的应用程序也以M文件保存。文件保存。25例：定义函数例：定义函数 f(x1,x2)=100(x2-x12)2+(1-x1)2function f=fun(x)f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)21.建立建立M文件：文件：fun.mMATLAB(fun)2.可以直接使用函数可以直接使用函数fun.m例如：计算例如：计算 f(1,2),只需在只需在Matlab命令窗口键入命令：命令窗口键入命令：x=1 2fun(x)返回返回26x=logspace(first，last，n）创建从开始，
15、到结束，有n个元素的对数分隔行向量.1、创建简单的数组、创建简单的数组二、数二、数 组组x=a b c d e f 创建包含指定元素的行向量x=first：last 创建从first开始，加1计数，到last结束的行向量x=first：increment：last 创建从first开始，加increment计数，last结束的行向量x=linspace(first，last，n）创建从first开始，到last结束，有n个元素的行向量27x=1 2 3 4 5 8 7 18y=1:7z=3:2:9v=y zu=linspace(2,9,11)MATLAB(shuzu1)28 2、数组元素的访问
16、数组元素的访问（3）直接使用元素编址序号直接使用元素编址序号.x(a b c d)表示提取数组x的第a、b、c、d个元素构成一个新的数组x(a)x(b)x(c)x(d).（2）访问一块元素访问一块元素：x(a：b：c)表示访问数组x的从第a个元素开始，以步长为b到第c个元素（但不超过c），b可以为负数，b缺损时为1.（1）访问一个元素访问一个元素：x(i)表示访问数组x的第i个元素.29x=1:9y=x(2:2:8)z=x(1)x(6)x(8)MATLAB(shuzu2)30 3 3、数组的方向、数组的方向 前面例子中的数组都是一行数列，是行方向分布的前面例子中的数组都是一行数列，是行方向分布
17、的.称之为称之为行向量行向量.数组也可以是数组也可以是列向量列向量，它的数组操作和运，它的数组操作和运算与行向量是一样的，唯一的区别是结果以列形式显示算与行向量是一样的，唯一的区别是结果以列形式显示.产生列向量有两种方法：产生列向量有两种方法：直接产生直接产生 例例 c=1；2；3；4 转置产生转置产生 例例 b=1 2 3 4;c=b 说明：以说明：以空格空格或或逗号逗号分隔的元素指定的是不同列的分隔的元素指定的是不同列的元素，而以元素，而以分号分号分隔的元素指定了不同行的元素分隔的元素指定了不同行的元素.314、数组的运算、数组的运算 （1）标量）标量-数组运算数组运算 数组对标量的加、减
18、、乘、除、乘方是数组的每个数组对标量的加、减、乘、除、乘方是数组的每个元素对该标量施加相应的加、减、乘、除、乘方运算元素对该标量施加相应的加、减、乘、除、乘方运算.设：设：a=a1,a2,an,c=标量标量则：则：a+c=a1+c,a2+c,an+c a.*c=a1*c,a2*c,an*c a./c=a1/c,a2/c,an/c(右除）右除）a.c=c/a1,c/a2,c/an(左除）左除）a.c=a1c,a2c,anc c.a=ca1,ca2,can 32a=1 2 3 4c=2a1=a+ca2=a*ca3=a./ca4=a.ca5=a.ca6=c.aMATLAB(shuzu3)33（2）数
19、组数组-数组运算数组运算 当两个数组有相同维数时，加、减、乘、除、当两个数组有相同维数时，加、减、乘、除、幂运算可按幂运算可按元素对元素元素对元素方式进行的，不同大小或维方式进行的，不同大小或维数的数组是不能进行运算的数的数组是不能进行运算的.设：设：a=a1,a2,an,b=b1,b2,bn则：则：a+b=a1+b1,a2+b2,an+bn a.*b=a1*b1,a2*b2,an*bn a./b=a1/b1,a2/b2,an/bn a.b=b1/a1,b2/a2,bn/an a.b=a1b1,a2b2,anbn 返回返回34a=2 2 2b=3 3 3c1=a+bc2=a.*bc3=a./b
20、c4=a.bc5=a.bMATLAB(shuzu4)35三、三、矩矩 阵阵 逗号逗号或或空格空格用于分隔某一行的元素，用于分隔某一行的元素，分号分号用于区分不用于区分不同的行同的行.除了分号，在输入矩阵时，按除了分号，在输入矩阵时，按Enter键也表示开始键也表示开始一新行一新行.输入矩阵时，严格要求所有行有相同的列输入矩阵时，严格要求所有行有相同的列.例例 m=1 2 3 4；5 6 7 8；9 10 11 12 p=1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 31、矩阵的建立、矩阵的建立36特殊矩阵特殊矩阵的建立：.d=eye(m，n)产生一个产生一个m行、行、n列的单位矩阵列的单位矩阵c
21、=ones(m，n)产生一个产生一个m行、行、n列的元素列的元素 全为全为1的矩阵的矩阵b=zeros(m，n)产生一个产生一个m行、行、n列的零矩阵列的零矩阵a=产生一个空矩阵，当对一项操作无结产生一个空矩阵，当对一项操作无结 果时，返回空矩阵，空矩阵的大小为零果时，返回空矩阵，空矩阵的大小为零.37m=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12p=1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3a=b=zeros(2,3)c=ones(2,3)d=eye(2,3)e=eye(3,3)MATLAB(matrix1)382、矩阵中元素的操作、矩阵中元素的操作（1）矩阵）矩阵A的第的第r
22、行：行：A（r，：），：）（2）矩阵）矩阵A的第的第r列：列：A（：，（：，r）（4）取矩阵）取矩阵A的第的第i1i2行、第行、第j1j2列构成新矩阵列构成新矩阵:A(i1:i2,j1:j2)（5）以逆序提取矩阵）以逆序提取矩阵A的第的第i1i2行，构成新矩阵行，构成新矩阵:A(i2:-1：i1，：），：）（6）以逆序提取矩阵）以逆序提取矩阵A的第的第j1j2列，构成新矩阵列，构成新矩阵:A(:,j2:-1：j1）（7）删除）删除A的第的第i1i2行，构成新矩阵行，构成新矩阵:A(i1:i2，：，：)=（8）删除）删除A的第的第j1j2列，构成新矩阵列，构成新矩阵:A(：，：，j1:j2)=（
23、9）将矩阵）将矩阵A和和B拼接成新矩阵：拼接成新矩阵：A B；A；B（3）依次提取矩阵）依次提取矩阵A的每一列，将的每一列，将A拉伸为一个列向量：拉伸为一个列向量：A（：）（：）39a=1 2 3;4 5 6;7 8 9a1=a(2,:)a2=a(:,2)a3=a(:)a4=a(1:2,2:3)a5=a(2:-1:1,:)a6=a(:,3:-1:2)a7=a;a7(1:2,:)=a8=a;a8(:,1)=a9=a a2a10=a;a1MATLAB(matrix2)40 （2）矩阵矩阵-矩阵运算矩阵运算 1 元素对元素元素对元素的运算，同数组的运算，同数组-数组运算。数组运算。3、矩阵的运算、矩
24、阵的运算（1）标量）标量-矩阵运算矩阵运算 同标量同标量-数组运算。数组运算。2矩阵运算：矩阵运算：矩阵加法：矩阵加法：A+B矩阵乘法：矩阵乘法：A*B方阵的行列式：方阵的行列式：det（A）方阵的逆：方阵的逆：inv（A）方阵的特征值与特征向量：方阵的特征值与特征向量：V，D=eigA 返回返回41a=1 2 3 4 5 6b=1 2 1 2 1 2c1=a+ac2=a*bc=2 7 3;3 9 4;1 5 3c3=det(c)c4=inv(c)v,d=eig(c)MATLAB(matrix3)42关系与逻辑运算关系与逻辑运算 1、关系操作符、关系操作符432、逻辑运算符逻辑运算符441、f
25、or循环：循环：允许一组命令以固定的和预定的次数重复允许一组命令以固定的和预定的次数重复 for x=array commands end 在在for和和end语句之间的命令串语句之间的命令串commands按数组（按数组（array）中的中的每一列执行一次每一列执行一次.在每一次迭代中，在每一次迭代中，x被指定为数组的下一列，即在被指定为数组的下一列，即在第第n次循环中，次循环中，x=array(：，：，n)控制流控制流MATLAB提供三种决策或控制流结构：提供三种决策或控制流结构：for循环、循环、while循环、循环、if-else-end结构结构.这些结构经常包含大量的这些结构经常包含
26、大量的MATLAB命令，故经常出现在命令，故经常出现在MATLAB程序中，而不是直接加在程序中，而不是直接加在MATLAB提示符下提示符下.例例 对对n=1,2,10,求求xn=的值的值45for n=1:10 x(n)=sin(n*pi/10);endxMATLAB(for1)46 while expression commands end 只要在表达式只要在表达式(expression)里的所有元素为真，就执行里的所有元素为真，就执行while和和end语句之间的命令串语句之间的命令串commands.2、While循环循环 与与for循环以固定次数求一组命令相反，循环以固定次数求一组命令
27、相反，while循环以不定的次循环以不定的次数求一组语句的值数求一组语句的值.例例 设银行年利率为设银行年利率为11.25%。将。将10000元钱存入银行，元钱存入银行，问多长时间会连本带利翻一番？问多长时间会连本带利翻一番？47money=10000years=0while money1 f=x2+1endif x1 f=x2+1else if x=0 f=x3 else f=2*xendMATLAB(fun2)53对以下问题,编写M文件:(1)用起泡法对10个数由小到大排序.即将相邻两个数比较,将小的调到前头.(2)有一个 矩阵,编程求出其最大值及其所处的位置.(3)编程求(4)一球从100米高度自由落下,每次落地后反跳回原高度的一半,再落下.求它在第10次落地时,共经过多少米?第10次反弹有多高?(5)有一函数 ,写一程序,输入自变量的值,输出函数值.实验作业实验作业 返回返回54