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1、自适应滤波器 自适应滤波器：根据所处理信号的变化，使用自适应算法自适应滤波器：根据所处理信号的变化，使用自适应算法来改变滤波器的参数和结构来改变滤波器的参数和结构。通常，不改变滤波器的结构，而只改变滤波器的系数，即通常，不改变滤波器的结构，而只改变滤波器的系数，即其系数是由自适应算法更新的时变系数，自动连续地适应于其系数是由自适应算法更新的时变系数，自动连续地适应于所处理信号，以获得期望响应。所处理信号，以获得期望响应。1 引言自适应的概念：生物能以各种有效方式适应周围环境，从而使生命力自适应的概念：生物能以各种有效方式适应周围环境，从而使生命力变强。变强。40年代，年代，N.维纳用最小均方原
2、则设计最佳线性滤波器，用来处理平稳维纳用最小均方原则设计最佳线性滤波器，用来处理平稳随机信号，即随机信号，即著名的维纳滤波器著名的维纳滤波器。60年代，年代，R.E.卡尔曼创立最佳时变线性滤波设计理论，用来处理非卡尔曼创立最佳时变线性滤波设计理论，用来处理非平稳随机信号，即平稳随机信号，即著名的卡尔曼滤波器著名的卡尔曼滤波器。70 年代，美国年代，美国B.Windrow和和Hoff提出了处理随机信号的自适应滤波提出了处理随机信号的自适应滤波器算法，弥补了维纳、卡尔曼滤波器的致命缺陷：必须事先知道待处器算法，弥补了维纳、卡尔曼滤波器的致命缺陷：必须事先知道待处理信号的统计特性（如自相关函数），才
3、能计算出最佳的滤波器系数理信号的统计特性（如自相关函数），才能计算出最佳的滤波器系数Wopt，否则，维纳、卡尔曼滤波器无法判定为最佳。，否则，维纳、卡尔曼滤波器无法判定为最佳。自适应滤波器：利用前一时刻已获得的滤波器系数，自动地调节现时自适应滤波器：利用前一时刻已获得的滤波器系数，自动地调节现时刻的滤波器系数，以适应所处理随机信号的时变统计特性，实现最优刻的滤波器系数，以适应所处理随机信号的时变统计特性，实现最优滤波。滤波。1.1 自适应滤波器的发展史自适应滤波器的发展史1.2 自适应滤波器的分类自适应滤波器的分类按滤波器的结构来分：递归型（最佳递归估计-卡尔曼滤波）非递归型（最佳非递归估计-
4、维纳滤波）按实现方式来分：模拟式自适应滤波器（抑制某些单频干扰）数字式自适应滤波器（常用，需用软件实现）自适应FIR滤波器的分类(非递归型)：自适应横向滤波器自适应格型滤波器自适应对称横向滤波器按复杂度来分：线性自适应滤波器线性自适应滤波器非线性自适应滤波器（包括Volterra滤波器和基于神经网络的自适应滤波器。信号处理能力更强，但计算也更复杂。）值得注意的是：自适应滤波器通常是时变性的非线性的系统，非线性：系统根据所处理信号特点不断调整自身的滤波器系数。时变性：系统的自适应响应/学习过程。所以，自适应滤波器可自动适应信号的传输环境，无须详细知道信号的结构和特征参数，无须精确设计滤波器本身。
5、实际应用的常见情况：当自适应学习过程结束，滤波器系数就不再变化，此时滤波器就变成了线性系统，故此类自适应滤波器被称为线性自适线性自适应滤波器应滤波器，因为这类系统便于设计且易于数学处理，所以实际应用广泛。本文研究的自适应滤波器就是线性自适应滤波器。线性自适应滤波器的两部分：线性自适应滤波器的两部分：自适应滤波器的结构自适应滤波器的结构自适应权调整算法自适应权调整算法自适应滤波器的结构有自适应滤波器的结构有FIR 和和IIR 两种。两种。FIR 滤波器是非递归系统，即当前输出样本仅是过去和现在输入样本的函数，滤波器是非递归系统，即当前输出样本仅是过去和现在输入样本的函数，其系统冲激响应其系统冲激
6、响应h(n)是一个有限长序列，除原点外，只有零点没有极点。具有是一个有限长序列，除原点外，只有零点没有极点。具有很好的线性相位，无相位失真，稳定性比较好。很好的线性相位，无相位失真，稳定性比较好。IIR 滤波器是递归系统，即当前输出样本是过去输出和过去输入样本的函数，滤波器是递归系统，即当前输出样本是过去输出和过去输入样本的函数，其系统冲激响应其系统冲激响应h(n)是一个无限长序列。是一个无限长序列。IIR 系统的相频特性是非线性的，系统的相频特性是非线性的，稳定性也不能得到保证。唯一可取的就是实现阶数较低，计算量较少；稳定性也不能得到保证。唯一可取的就是实现阶数较低，计算量较少；硬件速度的巨
7、大发展，使得工程师更关心系统的稳定性、处理能力的优越性，硬件速度的巨大发展，使得工程师更关心系统的稳定性、处理能力的优越性，而不在乎那么一丁点计算量的减少。因此，自适应滤波器常采用而不在乎那么一丁点计算量的减少。因此，自适应滤波器常采用FIR结构。结构。可分为：横向型、对称横向型、格型可分为：横向型、对称横向型、格型线性自适应滤波器的两部分：线性自适应滤波器的两部分：自适应滤波器的结构自适应滤波器的结构自适应权调整算法自适应权调整算法自适应权调整算法可分为两类最基本算法：自适应权调整算法可分为两类最基本算法：最小均方误差最小均方误差(LMS)算法算法：使滤波器的实际输出与期望输出之间的均方误差
8、最小.LMS算法的基础是最陡下降法(Steepest Descent Method),1959年，威德诺等提出，下一时刻权系数矢量下一时刻权系数矢量=“现时刻现时刻”权系数矢量权系数矢量+负比例系数的均方误差函数梯度负比例系数的均方误差函数梯度。当权系数达到稳定（最佳权系数）时,则均方误差达到极小值。LMS算法有两个关键:梯度的计算以及收敛因子的选择。通常，将单个误差样本的平方作为均方误差的估计值 LMS算法是一种递推过程,表示要经过足够的迭代次数后,权系数才会逐步逼近最佳最佳权系数,从而计算得到最佳滤波输出最佳滤波输出,即噪声得到最好抑制.存在问题：收敛速度。抽头延迟线的非递归型自适应滤波器
9、算法的收敛速度，取决于输入信号自相关矩阵特征值的离散程度。当特征值离散较大时，自适应过程收敛速度较慢。格型结构的自适应算法 则收敛较快。递归型结构的自适应算法是非线性的，收敛可疑。递推最小二乘递推最小二乘(RLS)算法算法：使估计误差的加权平方和最小.2 匹配滤波器匹配滤波器证明：证明：最优滤波最优滤波最优数字滤波器的两条现实约束（1）滤波器是线性的，以使对滤波器的数学分析更为简便；（2）滤波器是离散时间的，这将使得滤波器可以采用数字硬件或软件来实现；维纳滤波器：滤波器系数固定,是适用于平稳随机情况下的最优滤波;卡尔曼滤波器：滤波器系数时变,是适用于非平稳随机情况下的最优滤波.这两种最优滤波器
10、设计的前提：必须事先知道所处理信号的统计特性(数学期望,相关函数等)。遗憾的是,在实际应用中常常无法预先得知信号的统计特性或所处理信号的统计特性是随时间变化的3 维纳滤波器 该式表明：已知期望信号该式表明：已知期望信号d(n)与观测信号与观测信号u(n)的互相关矩阵的互相关矩阵r，观测信号观测信号u(n)的自相关矩阵的自相关矩阵R,通过求逆和矩阵乘法，可得最佳滤波器通过求逆和矩阵乘法，可得最佳滤波器wopt 若滤波器长度若滤波器长度M较大，则计算量大，存储空间也要大。较大，则计算量大，存储空间也要大。M是由实验所要求的是由实验所要求的精度来决定。精度来决定。最小均方误差：最小均方误差：4 卡尔
11、曼滤波器卡尔曼滤波器4.1 预备知识预备知识卡尔曼滤波的前提：要用卡尔曼滤波的前提：要用状态空间法状态空间法表征系统表征系统状态方程状态方程输出方程输出方程4.2 基于状态空间法的卡尔曼滤波器基于状态空间法的卡尔曼滤波器4.3 卡尔曼滤波器的递推算法卡尔曼滤波器的递推算法小结维纳滤波器的参数是固定的,适用于平稳随机情况下的最优滤波;卡尔曼滤波器的参数是时变的,适用于非平稳随机情况下的最优滤波.这两种滤波器设计的前提：必须拥有事先知道信号和噪声的统计特性(数学期望,相关函数等)。遗憾的是,在实际应用中常常无法预先得到信号的统计特性或信号的统计特性是随时间变化的.而如果输入信号的统计特性未知,或者
12、输入信号的统计特性随时间变化,只能使用自适应滤波器。它能够自动地迭代调节自身的滤波器参数,以满足某种准则准则的要求,从而实现最优滤波.所处理信号的统计特性未知,调整自身参数到最佳最佳的过程 学习过程.所处理信号的统计特性变化,调整自身参数到最佳最佳的过程 跟踪过程因此自适应滤波器具有学习能力和跟踪能力.5 自适应滤波器5.1 引言引言自适应滤波器的定义自适应滤波器的定义按复杂度来分：线性自适应滤波器线性自适应滤波器非线性自适应滤波器（包括Volterra滤波器和基于神经网络的自适应滤波器。信号处理能力更强，但计算也更复杂。）值得注意的是：自适应滤波器常称为：时变性的非线性的时变性的非线性的系统
13、。非线性：系统根据所处理信号特点不断调整自身的滤波器系数，以便使滤波器系数最优。时变性：系统的自适应响应/学习过程。实际应用的常见情况：学习/训练阶段：滤波器根据所处理信号的特点，不断修正自己的滤波器系数，以使均方误差最小(LMS)。使用阶段：均方误差达最小值，意味着滤波器系数达最优并不再变化，此时的滤波器就变成了线性系统，故此类自适应滤波器被称为线性自适应滤波器线性自适应滤波器，因为这类系统便于设计且易于数学处理，所以实际应用广泛。本文研究的自适应滤波器就是线性自适应滤波器。线性自适应滤波器的两部分：线性自适应滤波器的两部分：自适应滤波器的结构自适应滤波器的结构自适应权调整算法自适应权调整算
14、法自适应滤波器的结构有自适应滤波器的结构有FIR 和和IIR 两种。两种。FIR 滤波器是非递归系统，即当前输出样本仅是过去和现在输入样本的函数，滤波器是非递归系统，即当前输出样本仅是过去和现在输入样本的函数，其系统冲激响应其系统冲激响应h(n)是一个有限长序列，除原点外，只有零点没有极点。具有是一个有限长序列，除原点外，只有零点没有极点。具有很好的线性相位，无相位失真，稳定性比较好。很好的线性相位，无相位失真，稳定性比较好。IIR 滤波器是递归系统，即当前输出样本是过去输出和过去输入样本的函数，滤波器是递归系统，即当前输出样本是过去输出和过去输入样本的函数，其系统冲激响应其系统冲激响应h(n
15、)是一个无限长序列。是一个无限长序列。IIR 系统的相频特性是非线性的，系统的相频特性是非线性的，稳定性也不能得到保证。唯一可取的就是实现阶数较低，计算量较少；稳定性也不能得到保证。唯一可取的就是实现阶数较低，计算量较少；硬件速度的巨大发展，使得工程师更关心系统的稳定性、处理能力的优越性，硬件速度的巨大发展，使得工程师更关心系统的稳定性、处理能力的优越性，而不在乎那么一丁点计算量的减少。因此，自适应滤波器常采用而不在乎那么一丁点计算量的减少。因此，自适应滤波器常采用FIR结构。结构。可分为：横向型、对称横向型、格型可分为：横向型、对称横向型、格型线性自适应滤波器的两部分：线性自适应滤波器的两部
16、分：自适应滤波器的结构自适应滤波器的结构自适应权调整算法自适应权调整算法自适应权调整算法可分为两类最基本算法：自适应权调整算法可分为两类最基本算法：最小均方误差最小均方误差(LMS)算法算法：使滤波器的实际输出与期望输出之间的均方误差最小.LMS算法的基础是最陡下降法(Steepest Descent Method),1959年，威德诺等提出，下一时刻权系数矢量下一时刻权系数矢量=“现时刻现时刻”权系数矢量权系数矢量+负比例系数的均方误差函数梯度负比例系数的均方误差函数梯度。当权系数达到稳定（最佳权系数）时,则均方误差达到极小值。LMS算法有两个关键:梯度的计算以及收敛因子的选择。通常，将单个
17、误差样本的平方作为均方误差的估计值 LMS算法是一种递推过程,表示要经过足够的迭代次数后,权系数才会逐步逼近最佳最佳权系数,从而计算得到最佳滤波输出最佳滤波输出,即噪声得到最好抑制.存在问题：收敛速度。抽头延迟线的非递归型自适应滤波器算法的收敛速度，取决于输入信号自相关矩阵特征值的离散程度。当特征值离散较大时，自适应过程收敛速度较慢。格型结构的自适应算法 则收敛较快。递归型结构的自适应算法是非线性的，收敛可疑。递推最小二乘递推最小二乘(RLS)算法算法：使估计误差的加权平方和最小.5.2 LMS自适应算法维纳滤波器的寻优以最小均方误差为准则；维纳滤波器的寻优以最小均方误差为准则；LMS自适应滤
18、波的寻优就在最小均方误差的基础上稍作改动：自适应滤波的寻优就在最小均方误差的基础上稍作改动：目标函数：均方误差目标函数：均方误差E|e(k)|2瞬时平方误差瞬时平方误差|e(k)|2 其实质：以当前输出误差、当前参考信号和当前权系数求得其实质：以当前输出误差、当前参考信号和当前权系数求得下个时刻的权系数。下个时刻的权系数。最小均方算法：最小均方算法：Least Mean Squares回顾：回顾：最陡下降法最陡下降法1）依据：）依据：wiener滤波器的均方误差曲面滤波器的均方误差曲面 J(w)是权矢量是权矢量w的二次函数，不存在局部最小点。的二次函数，不存在局部最小点。2）方法：从任意初始值
19、）方法：从任意初始值 w(0)出发，沿出发，沿 J(w)的负梯度方的负梯度方向向(最陡下降方向最陡下降方向)按一定步长进行迭代搜索至最小点。按一定步长进行迭代搜索至最小点。权矢量随权矢量随n变化的轨迹在每个时刻变化的轨迹在每个时刻n都正交于都正交于J(n)(等高线等高线)；回顾：维纳滤波器的系数使均方误差最小证明证明5.3 RLS自适应算法递归最小二乘法：Recursive Least Squaresn最小二乘法：无需假定输入是宽带平稳过程，收敛快。最小二乘法：无需假定输入是宽带平稳过程，收敛快。问题的描述：问题的描述：在在n时刻巳知一组输入数据时刻巳知一组输入数据 x(1)(1)，x(2)(
20、2)，.，x(n)一组需要的响应一组需要的响应设计一个设计一个M M阶的滤波器阶的滤波器(估计器估计器)，使它，使它n n时刻的输出时刻的输出最小二乘问题的分类：最小二乘问题的分类：n最小二乘法：最小二乘法：n最小二乘法：最小二乘法：正交性原理：按误差平方和最小化原则，可得：正交性原理：按误差平方和最小化原则，可得：n最小二乘法：最小二乘法：n最小二乘法：最小二乘法：递归最小二乘法的预备知识：递归最小二乘法的预备知识：nRLSRLS算法随算法随n n趋向无限大，权系数按均值收敛于最佳值；但，对于趋向无限大，权系数按均值收敛于最佳值；但，对于有限的有限的n n，由于，由于的引入，的引入，RLSR
21、LS算法是有偏估计算法是有偏估计。n权系数的均方误差随最小特征值的减小而增大，因此，权系数的均方误差随最小特征值的减小而增大，因此，R R特征值的特征值的散布度加大，会使散布度加大，会使RLSRLS权系数的收敛性能变差权系数的收敛性能变差；n 权系数的均方误差随权系数的均方误差随n n的增加而线性减小，所以，的增加而线性减小，所以，RLSRLS算法权系算法权系数按均方渐近收敛于最佳值数按均方渐近收敛于最佳值。n RLSRLS算法经过算法经过n=2Mn=2M次迭代，即可使均方误差达到最小误差的次迭代，即可使均方误差达到最小误差的1.51.5倍，而倍，而LMSLMS算法达此水平至少需算法达此水平至
22、少需20M20M次迭代。因此，次迭代。因此，RLSRLS比比LMSLMS至少至少快一个数量级。快一个数量级。n RLSRLS算法的均方误差收敛特性与算法的均方误差收敛特性与R R的特征值散布无的特征值散布无关。关。n RLSRLS收敛快的原因在于采用类似归一化步长。收敛快的原因在于采用类似归一化步长。n 若若n n趋于无限大，在不考虑量化误差的条件下，趋于无限大，在不考虑量化误差的条件下，RLSRLS算法算法无失调。而无失调。而LMSLMS始终存在与步长有关的失调。始终存在与步长有关的失调。n RLSRLS算法的主要问题：每次迭代中的计算量与阶数算法的主要问题：每次迭代中的计算量与阶数M M的平的平方成正比。虽然比之最小二乘法方成正比。虽然比之最小二乘法(M(M的三次方成正比的三次方成正比)好，好，但比但比LMSLMS算法算法(M(M成正比成正比)要差。要差。