自适应滤波器简介.ppt

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1、信号分析与处理第6章 自适应滤波器简介1徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作内容提要l最优滤波l维纳滤波器l卡尔曼滤波器l自适应滤波l自适应滤波原理l最速下降法l最小均方算法l自适应滤波器的应用2徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作6.1 概述l传统的IIR和FIR滤波器是时不变的,即在处理输入信号的过程中滤波器的参数是固定的,使得当环境发生变化时,滤波器可能无法实现原先设定的目标l自适应系统根据当前自身的状态和环境调整自身的参数以达到预先设定的目标l自适应滤波器的系数是根据输入信号,通过自适应算法自动调整的3徐科军 主编信号分析与处理配套课件

2、合肥工业大学 陈强 制作6.2 最优滤波l估计误差定义为期望响应与滤波器输出之差。对滤波器的要求是使估计误差在某种统计意义下“尽可能小”。l滤波器是线性的,以使数学分析更为简便l滤波器是离散时间的,可以数字实现输入x(0),x(1),x(2),线性离散时间滤波器w0,w1,w2,输入y(n)+期望响应d(n)估计误差e(n)-+4徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作l滤波器的脉冲响应类型多用FIR型lIIR滤波器在计算上更为简单一些lFIR滤波器稳定性好。大多数应用中,更倾向于使用FIR滤波器l优化统计准则l使某个代价函数或性能指标最小化,其中估计误差的均方值的计算简单

3、,实际中使用最广泛l使估计误差均方值最小化的准则称为最小均方误差(minimum mean square error,MMSE)准则5徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作正交性原理l假设线性离散时间滤波器的输入x(n)和脉冲响应w(n)都是复数无穷序列,则输出y(n)l假设滤波器输入和期望响应都已经是零均值,估计误差和误差均方值为l为使均方误差最小,其梯度向量的所有元素应为零6徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作l将均方误差表达式代入l由估计误差的定义可知l代入前式有l代价函数最小化应满足7徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强

4、制作l正交原理:代价函数最小化的充分必要条件是估计误差eo与输入x(0),x(1),x(2),正交l对于最优滤波器有l推论:最优滤波器输出定义的期望响应的估计与响应的估计误差也是正交的8徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作维纳滤波器l维纳滤波器是根据信号和干扰的统计特性(自相关函数或功率谱),以线性最小均方误差估计准则设计的最优滤波器l设计维纳滤波器必须有输入信号统计特性的先验知识,这在实际中往往难以预知l自适应滤波器用输入数据来学习所要求的统计特性,渐进收敛(均值意义上)到维纳解l维纳滤波器理论非常重要9徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作l设

5、输入信号、滤波器系数和期望输出都是实数10徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作11徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作l均方误差函数J是滤波器权系数w的二次方程,由此形成一个具有唯一最小值的多维超抛物曲面,通常称为误差性能曲面l滤波器工作在最优状态,w应使J取最小值12徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作l 为简化该式,注意到l且由自相关函数的对称性l代入前式简化得l此式的矩阵形式13徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作l滤波器工作在最优状态下,有l或者l著名的维纳霍夫(Wiener-Hopf)方程

6、l若R是非奇异的,存在逆矩阵,则最优滤波器系数wo为l可得到代价函数最小值Jmin的表达式为14徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作例考虑一个二阶FIR滤波器,其抽头权系数为w0和w1,参考输入信号x(n)是方差为1的白噪声,期望信号是d(n)=b0 x(n)+b1x(n-1)其中b0=0.3,b1=0.5,试绘制误差性能曲面和等均方误差MSE曲线(等高线)解:15徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作例待建模的对象是一个在输出端有加性噪声的二抽头滤波器,采用抽头权系数为w0和w1的二阶维纳滤波器对该对象进行建模。输入信号x(n)同时加到对象和维纳

7、滤波器的输入端,x(n)是一个方差为1的平稳白噪声过程。v(n)为均值为零,方差0.1且与x(n)不相关的加性噪声。试计算使Ee2(n)最小的w0和w1的最优值。解:16徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作17徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作l两个关于维纳滤波器的主要结论l计算维纳滤波器最优权系数需要预知以下统计量:输入向量的自相关矩阵R和输入向量与期望响应的互相关向量pl维纳滤波器实际上是无约束优化最优滤波器问题的解当维纳滤波器最优时,滤波器就是对象的近似建模18徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作卡尔曼滤波器l维纳

8、滤波器的局限l实时信号处理时,每到一个新的样本,维纳滤波器需使用以往所有数据重新计算全部自相关和互相关项l卡尔曼滤波器是维纳滤波理论的发展,具有如下特点l用状态空间概念描述l递推计算维纳解。当前时刻的估计是由前一时刻的估计和当前输入计算得到的,比维纳滤波计算更有效19徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作l离散动态系统可由描述状态向量的状态方程和描述观测向量的观测方程共同表示lx(n):M1维向量,表示系统在n时刻的状态向量,不可观测lF(n+1,n):MM维状态转移矩阵,描述系统从n到n+1时刻之间的状态转移lv1(n):M1维向量,描绘状态转移中的加性过程噪声ly(n

9、):动态系统在时刻n的N1维观测向量lC(n):NN维观测矩阵lv2(n):N1维向量,观测噪声向量20徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作l卡尔曼滤波问题可以叙述为:利用观测数据向量y(1),y(2),y(n)对n1求状态向量x(i)的各个分量的最小二乘估计。根据i和n的不同取值,卡尔曼滤波可用于:l滤波(i=n),用n时刻及以前时刻的测量数据来估计n时刻的信息l平滑(1in),用1n时刻的全部数据来估计n以前某个时刻的信息l预测(in),用n时刻及以前的测量数据来估计n+(0)时刻的信息21徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作l标量卡尔曼预测

10、器l对于一阶递归模型信号ln+1时刻的预测均方误差l标量卡尔曼滤波器的预测公式,注意增益项是时变的一阶递归预测器22徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作l可以推导出确定一阶卡尔曼预测器的递归式l与维纳滤波器不同之处在于,卡尔曼滤波器的增益必须根据迭代法来确定,因此不可能由一般的稳定解来求得23徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作l若一阶模型不足以表征物理过程,可以用N阶模型表述卡尔曼滤波器的核心算法,用N阶矢量代替标量的方法,写成高阶形式l其中,Z(n)和Q(n)分别是观测噪声方差矩阵和系统噪声方差矩阵24徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥

11、工业大学 陈强 制作6.3 自适应滤波l设计维纳滤波器时需要知道输入信号的统计特性,当信号统计特性偏离设计条件时,就不再是最优滤波器l设计卡尔曼滤波器时必须知道产生输入过程的系统的状态方程和观测方程,即要求对信号和噪声的统计特性有先验知识,实际应用中往往难以预知l自适应滤波可使滤波器参数自动调整达到最优状况,而在设计时,只需要很少或不需要关于信号和噪声的先验知识25徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作自适应算法分类l维纳滤波的核心问题是求解维纳霍夫方程,找出误差性能曲面上的最小点l当信号平稳,误差性能曲面具有恒定形状。自适应滤波算法就是如何既快又稳定地从误差性能曲面上任

12、意一点搜索到最小点l随机梯度方法l代价函数定义为均方误差l最小二乘估计方法l代价函数定义为最小加权误差平方和l通常情况下,收敛速度相对较快,且对输入信号的功率谱密度不敏感,但存在计算复杂和数值稳定性不佳的问题26徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作最速下降法l利用均方误差的梯度信息来分析自适应滤波器的性能和追踪最优滤波状态。l误差性能曲面上任一点的梯度向量对应于均方误差J对滤波器系数wk的一阶导数,当前点到下一点的滤波系数的变化量恰好是梯度向量的负数。l也就是说,最速下降法是在梯度向量的负方向上接连调整滤波系数,即滤波系数在误差性能曲面上以下降速度最快的路径移动,最终到

13、达均方误差的最小点。27徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作l按最速下降法调整滤波器权系数时,n+1时刻的系数向量w(n+1)可用递归表达式表示。其中正实常数称为收敛因子或步长,控制自适应速率和稳定性,越大则下降的速率越快l根据前面的推导,有l故l最速下降法是一个含有反馈的模型,存在稳定性问题,可以证明算法的稳定条件是 ,其中的 是R的最大特征值 28徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作最小均方算法l实际中往往不知道输入向量的自相关矩阵R和输入向量与期望响应的互相关向量p的先验知识,因此无法计算梯度向量l最小均方(LMS)算法是一种用输入向量和期

14、望响应的瞬时值估计梯度向量的方法29徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作l对于固定的w值,梯度估计是无偏的l最小均方算法的公式l算法步骤l(1)由当前时刻的输入信号向量x(n)、期望响应d(n)、滤波器系数向量w(n),计算误差信号e(n)l(2)计算滤波器系数向量的更新估计值w(n+1)l(3)n增加1,返回步骤(1),直到稳态为止30徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作自适应滤波器的应用l自适应建模l估计未知系统H(z)的模型W(z)的参数l当自适应滤波器处于最优工作状态时,输出y(n)逼近所期望的响应d(n),W(z)逼近H(z)l典型应用:自校正调节器,自适应回声抵消l自适应反向建模l典型应用:自适应信道均衡器31徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作l自适应线性预测l根据已知的前p次观测值来预测当前时刻的信号x(n)的估计值l自适应干扰抵消l使用与干扰信号相关而与有用信号不相关的信号作为参考输入,估计干扰信号,然后从信号中减去该估计,得到期望信号32徐科军 主编信号分析与处理配套课件 合肥工业大学 陈强 制作

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