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1、集合论习题解析集合论习题解析经典习题与考研习题经典习题与考研习题经典习题经典习题一、集合基础一、集合基础二、二元关系二、二元关系三、函数三、函数四、概念综合练习四、概念综合练习考研习题考研习题 北京大学、中科院计算所、中科院软件所、中北京大学、中科院计算所、中科院软件所、中科院自动化所、北京师范大学、中科院成都计算科院自动化所、北京师范大学、中科院成都计算所、上海交通大学、西安交通大学、西南交通大所、上海交通大学、西安交通大学、西南交通大学、北京航空航天大学、复旦大学等学、北京航空航天大学、复旦大学等一、集合基础一、集合基础1.1 与1.2 集合运算1.3 幂集1.1 与与 1 设A,B,C是
2、任意3个集合，如果AB,B C,则AC可能吗？AC常真吗？举例说明。AC可能A=1,B=1,C=1,1AC不常真A=1,B=1,C=12 设A,B是任意2个集合，A B与 AB同时成立，这可能吗？可能A=1,B=1,1.3 设A,B,C是集合，判断下列命题真假，如果为真，给出证明；如果为假，给出反例：1)AB,BC AC;2)AB,BC AC;3)AB,BC AC;4)AB,BC AC;5)aA,AB aB.1）假A=1,B=2,C=2 2）假A=1,B=2,C=13）假A=1,B=1,C=1,14）假A=1,B=1,1，C=1,25）真子集定义4 4 设设A,B,CA,B,C是是U U的子集
3、，判断下列命题真假，如的子集，判断下列命题真假，如果为真，给出证明；如果为假，给出反例：果为真，给出证明；如果为假，给出反例：1)1)A A B BA AB=BB=B;2)2)A A B BA AB=AB=A;3)3)A A B BA AB=AB=A;4)4)A A B BA AB=B;B=B;5)5)A A B BA A(B-A)=B(B-A)=B;6)6)B B A A(A-B)(A-B)B=AB=A;1）假，A=B时不成立/*与与不同不同*/分析：I)ABAB=B：因为BAB；对于任意xAB，如果xA,因为AB,所以xB,则对任意的xAB，xB成立。所以AB=B。II)A=B AB=B，
4、但AB不成立。2）假，A=1，B=1，2，不成立；3）假，A=B时不成立；4）假，A=1，B=1，2，不成立；5）假，A=B时不成立6）假，A=1，2，B=1，不成立；1.2 集合运算集合运算5 设A,B,C是任意3个集合，（1）AB=AC，则B=C吗？（2）AB=AC，则B=C吗？（3）AB=AC且AB=AC，则B=C吗？（1 1）假）假A=1,2,B=1,C=2A=1,2,B=1,C=2（2 2）假假A=1,B=1,2,C=1,3A=1,B=1,2,C=1,3（3 3）真真/*/*基本法、反证法证明基本法、反证法证明基本法、反证法证明基本法、反证法证明*/设设x x B B，假设假设x x
5、 C C。因为因为x x B B，所以所以x x A AB B；因为因为A AB=AB=AC C，所以所以x x A AC C；因为因为x x C C，所以所以x x A A；又又因为因为x x B B，所以所以x x A AB B；因为因为A AB=AB=AC C ，所以所以x x A AC C；则则x x C C，这与这与x x C C矛盾。所以矛盾。所以B=CB=C。6 设A,B是任意2个集合，（1）若A-B=B，则A与B有何关系？（2）若A-B=B-A，则A与B有何关系？（3）若AB=AB，则A与B有何关系？（4）若AB=A，则A与B有何关系？/*用文氏图辅助*/证明：(1)由A-B=
6、B，可得出A=B=。(2)由A-B=B-A，可导出A=B。(3)A=B(4)B=7 给出下列命题成立的充分必要条件（1）(A-B)(A-C)=A（2）(A-B)(A-C)=（3）(A-B)(A-C)=（4）(A-B)(A-C)=/*等式推导*/解：(1)1)：设(A-B)(A-C)=A，对任意的x，xA，则xA-B 或 xA-C；则有2）：设ABC=，对任意的x，xA，则xB或xC，则有 对任意的x，x(A-B)(A-C)，则xA-B或 xA-C，则有（2）(A-B)(A-C)=(A-B)=或(A-C)=AB并且ACABC所以，充要条件为ABC。（3）1)设(A-B)(A-C)=，对任意的x，
7、xA，x(A-B)并且x(A-C)；所以xB-A或xC-A；则有xB或xC；得xBC。所以ABC。2)ABC AB或AC；所以A-B=或A-C=。得(A-B)(A-C)=。从而，(A-B)(A-C)=ABC。（4）(A-B)(A-C)=(A-B)-(A-C)(A-C)-(A-B)=(A-B)(A-C)并且(A-C)(A-B)(A-B)=(A-C)1.3 幂集幂集7 设A,B是任意2个集合，证明：（1）ABP(A)P(B)（2）P(A)P(B)A B（3）P(A)=P(B)A=B/*利用基本法证明集合的包含关系*/证明：(1)对任意的xP(A),有xA,又因为AB，所以xB,即xP(B)；所以P
8、(A)P(B)。(2)/*证明方法同(1)；*/对任意的xA,则xP(A)，又因为P(A)P(B)，所以x P(B)，即xB；所以A B。(3)由(1)和(2)的证明导出。二、二元关系二、二元关系1 设R是集合A上的关系（1）R是自反的，则RR是自反的；（2）R是对称的，则RR是对称的；（3）R是反自反和传递的，则R是反对称的；/*证明思想：根据定义给出的性质证明*/证明：（1）证明思想与（2）和（3）相同（2）设(a,b)RR,则存在c,(a,c)R,(c,b)R;因为R是对称的，所以(b,c)R,(c,a)R;所以(b,a)RR。则RR是对称的。（3）假设(a,b)R,(b,a)R。因为R
9、是传递的，所以(a,a)R，(b,b)R；因为R是反自反的，所以导致矛盾。2 设R是A上的关系，若R是自反的和传递的，则RR=R。其逆命题也成立吗？证明思想：证明RR=R，1）证明RRR；2）证明RRR：证明：证明：1 1）证明）证明R R R R R R：设设(a,b)a,b)R R R R，存在存在c c A,A,使得使得(a,c)a,c)R,(c,R,(c,b)b)R R，因为因为R R是传递的，所以是传递的，所以(a,b)a,b)R R；则则R R R R R R；2 2）证明证明R R R R R R：设设(a,b)a,b)R R，R R是自反的，是自反的，(b,b)b,b)R R，
10、所以所以(a,a,b)b)R R R R；则则R R R R R R。所以所以R R R=RR=R。自反不成立传递成立特殊关系特殊关系3 设S=1,2,3,4，并设A=SS，在A上定义关系R为：（a,b）R（c,d）当且仅当a+b=c+d。（1）证明R是等价关系；（2）计算出A/R。（1）证明：/*根据等价关系的定义证明根据等价关系的定义证明*/1）/*证明证明R是自反的；是自反的；*/对于任意的(a,b)SS，因为a+b=a+b，所以(a,b)R(a,b)，即R是自反的。2）/*证明证明R是对称的；是对称的；*/如果(a,b)R(c,d)，则a+b=c+d，那么有c+d=a+b；所以(c,d
11、)R(a,b)，即R是对称的。3）/*证明证明R是传递的；是传递的；*/如果(a,b)R(c,d)，(c,d)R(e,f)，则a+b=c+d，c+d=e+f；所以a+b=e+f，得(a,b)R(e,f)，即R是传递的。（2）如果(a,b)R(c,d)，则a+b=c+d，所以根据和的数来划分。4 设R,S是A上的等价关系，证明：RS是A上的等价关系RS=SR。证明思想：1）RS是A上的等价关系RS=SR；证明(i)RSSR；(ii)SR RS；2）RS=SR RS是A上的等价关系；证明RS是(i)自反的；(ii)对称的；(iii)传递的；证明：1）RS是A上的等价关系RS=SR：如果(a,b)R
12、S,因为RS是对称的，所以(b,a)RS,所以存在cA,使得(b,c)R,(c,a)S；因为R和S是对称的，所以(c,b)R,(a,c)S；则(a,b)SR；同理，SR RS；2）RS=SR RS是A上的等价关系：/*证明RS是自反的、对称的比较容易*/传递性证明：传递性证明：对任意对任意a,b,ca,b,c A A，如果如果(a,b)a,b)R R S,(b,c)S,(b,c)R R S S，因为因为R R S=SS=S R R，则有则有(b,c)b,c)S S R R，即存在即存在e,fe,f A A，使使(a,e)a,e)R R，(e,b)(e,b)S S，(b,f)(b,f)S S，(
13、f,c)(f,c)R R。因为因为S S是传递的，是传递的，(e,b)e,b)S S，(b,f)(b,f)S S，所以所以(e,e,f)f)S S；因为因为(a,e)a,e)R R，所以所以(a,f)a,f)R R S S；R R S S是对是对称的，则称的，则(f,a)f,a)R R S S；因为因为R R是对称的，是对称的，(f,c)f,c)R R，则则(c,f)c,f)R R。因为因为(f,a)f,a)R R S S，则则存在存在g g A A，使得使得(f,g)f,g)R R，(g,a)(g,a)S S；因为因为R R是传递的，由是传递的，由(c,f)c,f)R R，(f,g)(f,g
14、)R R，则则(c,g)c,g)R R；因为因为(c,g)c,g)R R，(g,a)(g,a)S S，所以所以(c,c,a)a)R R S S。因为已经证明，因为已经证明，R R S S是是对称的，所以对称的，所以(a,a,c)c)R R S S。函数函数12 设f:XY是函数，A,B是X的子集，证明：（1）f(AB)f(A)f(B)（2）f(AB)=f(A)f(B)（3）f(A)-f(B)f(A-B)/*基本法证明*/证明：（1）对任意的yf(AB)，存在x，x AB，使得y=f(x)。因为xA，所以yf(A)；因为x B，所以yf(B)。所以yf(A)f(B)。则f(AB)f(A)f(B)
15、。13 设R是A上的一个二元关系，S=(a,b)|a,bA并且对于某个cA，有(a,c)R且(c,b)R。证明：若R是A上的等价关系，则S是A上的等价关系。/*证明是S自反、对称和传递*/四、概念综合练习四、概念综合练习一、选择题（北京理工大学2000考研）1 下列集合运算中（）对满足分配律。A)B)C)D)2 A、B是集合，P(A)、P(B)为其幂集，且AB=，则P(A)P(B)=（）A)B)C)D),3 A、B是集合，以下各式除（）之外，均与AB等价。A)ABBB)AB=BC)AB=AD)ABB24 R是集合A上的自反关系，则（）A)R RB)RR RC)RR-1=IAD)R R-1=IA
16、5 集合A中有n个元素，则A上共有（）个既对称又反对称的关系。A)0B)2nC)n2D)2n6 R是可传递的二元关系，则在RR-1,RR-1,R-R-1,R-1-R中，有（）个一定是可传递的。A)1B)2C)3D)47 函数f:RR，其中R为实数集合，下列四个命题中（）为真。A)f(x)=5是内射的B)f(x)=5是满射的C)f(x)=5是双射的D)A),B),C)都不真8 集合A到B共有64个不同的函数，则B中元素不可能是（）个。A)4B)8C)16D)64二、选择题（北京理工大学1999）1 已知AB=1,2,3，AC=2,3,4，若2B，则 。A)1CB)2CC)3CD)4C2 对任何二
17、元关系R，在RR-1,RR-1,RR-1,RR-1中有 个一定是对称关系。A)1B)2C)3D)43 R=(1,4),(2,3),(3,1),(4,3),则 t(R)。A)(1,1)B)(1,2)C)(1,3)D)(1,4)集合论集合论考研习题考研习题考研习题一、集合基础二、二元关系三、函数一、集合基础一、集合基础1.1 集合运算容斥原理1.2 集合运算证明1.3 幂集1.4 相类似的练习题目1.1 集合运算集合运算容斥原理容斥原理中国科学院自动化所中国科学院自动化所1997120个学生参加考试，考试有A、B和C3道题，考试结果如下：12个学生3道题都做对了，20个学生做对A和B，16个学生做
18、对A和C，28个学生做对B和C，做对A的有48个学生，做对B 的有56个学生，有16个学生一道也没有做对。试求做对了C的学生有多少个？直接使用容斥原理解：设做对A题的学生集合为PA，做对B题的学生集合为PB，做对C题的学生集合为PC。/*根据容斥原理，列出计算式*/|PAPBPC|=12,|PAPB|=20,|PAPC|=16,|PBPC|=28,|PA|=48,|PB|=56,/*根据容斥原理，进行计算*/|PAPBPC|=120-16,|PAPBPC|=|PA|+|PB|+|PC|-|PAPB|-|PAPC|-|PBPC|+|PAPBPC|,所以|PC|=20+16+28+104-12-4
19、8-56=52，做对C题的学生为52人。容斥原理解题总结容斥原理解题总结使用容斥原理时，首先搞清论域，划定全集；其次对全集进行分类，列出计算式；最后根据容斥原理的公式进行计算。北京师范大学北京师范大学2001证明证明容斥原理：设容斥原理：设A A1 1,A,A2 2,A,An n都是有限集，都是有限集，则则|A A1 1A A2 2A An n|=|=其中：其中：i i1 1,i,i2 2,i,in n 是遍历是遍历1,2,1,2,nn的所有的所有k k元子集。元子集。/*/*证明思想：数学归纳法证明思想：数学归纳法*/证明：1）归纳基础归纳基础：当k=2时，集合A1和A2的公共元素个数为|A
20、1A2|，这些元素中的每一个在|A1|+|A2|里计算了两次，但在|A1A2|中是作为一个元素计算的。因此有|A1A2|=|A1|+|A2|-|A1A2|。所以，当n=2时，命题成立。2 2）归纳步骤：）归纳步骤：当k=n时，|A1A2An|=|(A1A2An-1)An|=|(A1A2An-1)|+|An|-|(A1A2An-1)An|因为|(A1A2An-1)An|=|(A1An)(A2 An)(An-1An)|/*n-1个集合的并，根据归纳假设展开*/北京师范大学北京师范大学2000设S为任一集合，证明在S与其幂集P(S)之间不存在1-1对应。1.2 集合运算集合运算证明证明基本法、公式法
21、中国科学院软件所中国科学院软件所19981 对于任意集合A和B，证明:(1)P(A)P(B)P(AB),(2)P(A)P(B)=P(AB)；并举例说明P(A)P(B)P(AB)。/*幂集的定义：P(A)=x|xA*/（1）/*基本法*/对任意的xP(A)P(B)，有xP(A)或xP(B)。若xP(A)，则xA，所以xAB，即xP(AB)；同理，若xP(B)，则xB，所以xAB，即xP(AB)。综上所述，P(A)P(B)P(AB)。（2）/*基本法*/对任意的xP(A)P(B)，有xP(A)且xP(B)。即xA并且xB，则xAB。所以xP(AB)。故P(A)P(B)P(AB)。对任意的xP(AB
22、)，有xAB，即xA并且xB，所以xP(A)且xP(B)。因此P(AB)P(A)P(B)。综上所述，P(A)P(B)=P(AB)。举例说明P(A)P(B)P(AB)。A=1,B=2,AB=1,2;P(A)=,1,P(B)=,2,P(A)P(B)=,1,2,P(AB)=,1,2,1,2;所以P(A)P(B)P(AB)。中国科学院计算中国科学院计算所所19982 证明：若(A-B)(B-A)=C，则A(B-C)(C-B)的充分必要条件是ABC=。证明思想：（1）充分性，即证明：若ABC=，则A(B-C)(C-B)；基本法证明；（2）必要性，即证明：若A(B-C)(C-B)，则ABC=；反证法证明。
23、证明：（1）对于任意的aA，因为ABC=，所以aBC，则a有3种情况：I)aB，但aC，则aC-B，所以a(B-C)(C-B)；II)aB，但aC，则aB-C，所以a(B-C)(C-B)；III)aB且aC，因为aA，所以aA-B，所以a(A-B)(B-A)，即aC，导致矛盾，所以aB且aC不可能出现。综上所述，对于任意的aA，a(A-B)(B-A)，所以A(B-C)(C-B)。证明：（2）假设ABC，则存在a，a ABC，即aA，aB，且aC。所以a B-C，aC-B。则a(B-C)(C-B)。因为A(B-C)(C-B)，aA，所以导致矛盾。所以ABC=。北京大学北京大学19983 给出集合
24、表达式(A-C)B=AB成立的充要条件.北京大学北京大学1994判断题，为真给出证明，为假给出反例：1）x-x2）若AB=AC，则B=C。3）R是A上的关系，则R=R2的充要条件是R=IA。1.3 幂集幂集幂集运算：代数法北京大学北京大学19971 设A为集合，B=P(A)-A，且B。求偏序集(B,)的极大元，极小元，最小元。因为B，所以|A|1。对任意xA,A-x是极大元，x是极小元，无最小元。北京大学北京大学19992 设A=,，计算P(A)-,P(A)A。/*代数法求P(A)*/设x=,y=，A=x,y,P(A)=,x,y,x,y;P(A)=,;P(A)-=,;P(A)A=,;上海大学上
25、海大学19983 设A是集合，A的元素也是集合，P(A)是A的幂集。定义A=x|yA,xy（1）计算a,b,c,a,d,e,a,f；（2）证明P(A)=A；（3）请问P(A)=A？解题要素：A（广义并）和幂集的定义；基本法（1）计算a,b,c,a,d,e,a,f解：a,b,c,a,d,e,a,f=a,b,c a,d,e a,f=a,b,c,d,e,f（2）证明P(A)=A证明：对任意xP(A)，则存在yP(A)，xy；因为yP(A)，所以yA；因此xy，则有P(A)A；对任意xA，设y=x，则yA。所以yP(A)。因此xP(A)。所以P(A)=A。（3）请问P(A)=A？不成立。反例：（1）A
26、=a,b,c,a,d,e,a,fA=a,b,c,d,e,fP(A)A上海交通大学上海交通大学19984 4 C C是非空集合族，证明：是非空集合族，证明：P(P(C)=C)=P(X)|XP(X)|X CC证明方法：基本法，集合族的概念证明方法：基本法，集合族的概念证明：证明：任取任取x x P(P(C)C)，则则x xC C，所以对于所以对于任意的任意的a a x x，有有a aC C；对于任意的对于任意的X X C C，有有a a X X；那么那么x x X X，即即x x P(XP(X)。由由X X的任意性，也的任意性，也即即x xP(X)|XP(X)|X CC。所以所以P(P(C)C)P
27、(X)|XP(X)|X CC。任取任取x xP(X)|XP(X)|X CC，则则对于任意的对于任意的X X C C，有有x xP(X)P(X)，即即x x X X。因为因为X X C C，对于对于任意的任意的a a x x，有有a a X X；因此因此a aC C。所以所以x xC C，即即x x P(P(C)C)。所以所以 P(X)|XP(X)|X C C P(P(C)C)。所以所以P(P(C)=C)=P(X)|XP(X)|X CC。中科院成都计算中科院成都计算所所20005 设A是一有限集，A的基数为|A|。证明：A的幂集P(A)的基数|P(A)|=2|A|。1.4 相类似的题目相类似的题
28、目1 A,B是两个集合，给出AB=B的充分必要条件是什么，并证明你的结论。/*南京理工大学2000*/2 判断下列各式是否成立，如果成立，则证明之，否则举出反例。（1）P(A)P(B)=P(AB),（2）(AB)C=(AC)(BC)上海交通大学20013 证明P(A)P(B)P(AB)，并说明等号成立的条件。上海交通大学19994 设A,B,C,D为4个非空集合，则AB CD的充分必要条件是 。/*重庆大学1998*/二、二元关系二、二元关系关系及其性质与运算等价关系与划分序关系关系及其性质与运算关系及其性质与运算北京大学北京大学19971 设R=(x,y)|x,yN并且x+3y=12，求R2
29、。解题思路：将R的所有元素列出，求R与它本身复合所得的关系解：R=(0,4),(3,3),(6,2),(9,1),(12,0)R2=(3,3),(12,4)北京大学北京大学19902 设R是复数C上的二元关系，且满足xRyx-y=a+bi，a和b为非负整数，试确定R的性质（自反、反自反、对称、反对称和传递），并证明之。北京大学北京大学19943 判断题，为真给出证明，为假给出反例：R是A上的二元关系，则R=R2R=IA。武汉大学武汉大学19994 设A=a,b,c，给出A上的一个二元关系R，使其同时不满足自反、反自反、对称、反对称和传递性。武汉大学武汉大学19985 设A=1,2,3，R是P(
30、A)上的二元关系，且R=(a,b)|ab。则R不满足下列哪些性质？为什么？1)自反2)反自反3)对称4)反对称5)传递性等价关系与划分等价关系与划分中科院成都计算所中科院成都计算所20011 设R是集合A上的一个传递的和自反的关系，T是A上的一个关系，使得(a,b)属于T当且仅当(a,b)和(b,a)都属于R。证明：T是一个等价关系。西南交通大学西南交通大学19972 2 设设X X和和Y Y都是正整数集，都是正整数集，x xi i X,X,y yi i Y,i=1,2.Y,i=1,2.11下列关系是否是等价关系？证明你的结论。下列关系是否是等价关系？证明你的结论。1)1)R=(xR=(x1
31、1,x,x2 2),(y),(y1 1,y,y2 2)|x)|x1 1+y+y2 2=x=x2 2+y+y1 1 2)R=(x2)R=(x1 1,x,x2 2),(y),(y1 1,y,y2 2)|x)|x1 1+y+y1 1=x=x2 2+y+y2 2 22若若R R是等价关系，定义集合是等价关系，定义集合M,M=(0,2),(1,2),M,M=(0,2),(1,2),(2,4),(3,4),(4,6),(5,6),(2,4),(3,4),(4,6),(5,6),。试给出它的等价类。试给出它的等价类。西南交通大学西南交通大学19983 设S=1,2,3，定义SS上的关系R为：对任意(a,b)
32、,(c,d)SS，有(a,b),(c,d)a+d=b+c，证明：R为SS上的等价关系并给出SS/R。上海交通大学上海交通大学20014 设P是X上的等价关系，Q是Y上的等价关系，关系R满足(x1,y1),(x2,y2)R 当且仅当(x1,x2)P，(y1,y2)Q，证明：R是XY上的等价关系。南京理工大学南京理工大学20005 R是集合A上等价的二元关系，证明R2也是A上的等价关系。序关系序关系西南交通大学西南交通大学19981 集合A上的二元关系R如果是传递和反自反的，则称R是A上的拟序关系，证明：（1）如果R是A上的拟序关系，则r(R)=RIA是偏序关系；（2）如果R是A上的偏序关系，则R
33、-IA是拟序关系。西南交通大学西南交通大学19992 设R是集合A上的偏序关系，且BA，试证明R=R(BB)是B上的偏序关系。复旦大学复旦大学19993 判断是否正确，并说明理由。设A是一个集合，R是A的幂集P(A)上的二元关系，对所有S、TP(A)，(S,T)P(A)。当且仅当|S|T|，R是偏序关系。华中科技大学华中科技大学20004 设P是集合A上的二元关系，P是传递的和反自反的，证明：r(P)是A上的偏序关系。北京师范大学北京师范大学19995 证明整除关系是正整数集合上的偏序关系。三、函数三、函数西南交通大学西南交通大学19991 假设函数f:AB并定义G:BP(A)，对于bB，G(
34、b)=x|xA,f(x)=b。证明如果f是A到B的满射，则G是内射的；其逆命题成立吗？北京大学北京大学19982 设f:NNN,f(x,y)=xy。求f(N1),f-1(0)，并说明是否为满射、内射和双射。3 设f:XY是函数，A,B是X的子集。证明：（1）f(AB)f(A)f(B);（2）f(AB)=f(A)f(B)；（3）f(A)-f(B)f(A-B)。复旦大学复旦大学19994 判断是否正确，并说明理由。设A和B为集合，若存在A到B的满射函数，则|B|A|。武汉大学武汉大学19995 设A,B,C,D是任意集合，f是A到B的双射，g是C到D的双射。令h:ACBD且(a,c)AC，h(a,c)=(f(a),g(c)。那么h是双射吗？请证实你的判断。中国科学院软件所中国科学院软件所19966 设f:AB,g:BC,h:BC,证明：如果h o o g o o f=IA，f o o h o o g=IB，g o o f o o h=IC，则f、g和h均为双射，并求出f-1，g-1，h-1。中国科学院计算所中国科学院计算所19987 设R1和R2为X上的两个关系，且R1 o o R2=IX。1）若X为有限集合，证明：存在X上双射f1和f2，使得f1 o o f2=IX且aR1bb=f1(a),cR2dd=f2(c)。2）若X为无限集合，举例说明1）的结论不成立。