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1、凤山县高级中学凤山县高级中学 汤文毅汤文毅探讨：探讨：互为反函数的两个函数图象互为反函数的两个函数图象之间的关系之间的关系 授课教师：凤山县高级中学授课教师：凤山县高级中学 汤文毅汤文毅求反函数的基本步骤：.由y=f(x)出发，用y表示x,解出x=f1(y);.将x，y互换得到y=f1(x);.指出反函数的定义域（即原函数的值域).反解 互换写出定义域 一、复习引入一、复习引入2、点P(a,b)关于直线y=x对称的对称点P的坐标为 .（b,a）（即横坐标与纵坐标对换位置）例例、求函数、求函数y=3x-2(x R)的反函数，并且画出的反函数，并且画出原来的函数和它的反函数的图象。原来的函数和它的
2、反函数的图象。解：解：y=3x-2 函数函数y=3x-2(x R)的反函数为的反函数为y=x 0 y -2 0 x -2 0 y 0 x=1-2-11-1-2xyy=3x-2二、讲授新课二、讲授新课我们研究互为反函数的两个函数图象之间的关系（x R)互为反函数的两个函数的图象之间是否 具有某种对称对称关系?它们的两个函数图象是以直线直线y=x为对 称轴的对称对称图形。定理：定理：函数函数 y=f(x)的图象与它的的图象与它的 反函数反函数 y=f 1(x)的图象关于直线的图象关于直线 y=x 对称对称。问题：问题：回答：回答：注意注意：1 1）这个结论是在同一坐标系下，且横轴（）这个结论是在同
3、一坐标系下，且横轴（x x轴）与纵轴轴）与纵轴（y y轴）长度单位轴）长度单位一致一致的情况下得出的。的情况下得出的。2 2）函数）函数y=f(x)y=f(x)与函数与函数y=fy=f1 1(x)(x)互为互为反函数，反函数，图象图象关于直线关于直线y=xy=x对称；对称；且它们的图象且它们的图象相同。相同。3 3）如果两个函数的图象）如果两个函数的图象关于关于y=x y=x 对称对称，那么，那么这两个函数互为这两个函数互为反函数反函数；1-2-11-1-2xyy=f(x)=3x-2三：课堂练习三：课堂练习练习练习1：画出函数：画出函数y=x3(x R)的图象和它的反函的图象和它的反函数的图象
4、数的图象.xy3xy=注注：当已知函数当已知函数y=f（x）的）的图象时，利用所学定理，图象时，利用所学定理，作出它关于直线作出它关于直线y=x对称的对称的图象，就是反函数图象，就是反函数y=f1（x）的图象。）的图象。练习练习2 2：如果：如果y=fy=f（x x）的图象过点（）的图象过点（1 1，2 2），那么），那么y=fy=f-1-1(x)(x)1 1的图象过点的图象过点_ _ 分析：由y=f（x）的图象过点（1，2），知y=f-1(x)的 图像过点（2，1），而y=f-1(x)1的图像是由y=f-1(x)的图像向下平移1个单位得到的，故y=f-1(x)1的图象过点（2,0)(2,0)
5、(2,0)练习练习3 3：如果一次函数：如果一次函数y=ax+2y=ax+2与与y=3x-by=3x-b的图象关于的图象关于直线直线y=xy=x对称，求对称，求a,ba,b的值的值解：据题意，y=ax+2与y=3x-b互为反函数，y=3x-b的反函数为：比较系数得：练习练习4 4：已知函数：已知函数 的图象经过点的图象经过点（1 1，3 3），且它的反函数），且它的反函数f f-1-1(x)(x)的图象过点的图象过点（2 2，0 0），求），求f(x).f(x).解：f(x)的图象过点（1，3）a+b=3 由f(x)的反函数f-1(x)的图象过点（2，0），可知f(x)的图象过点（0，2）1+b=2 由得b=1,将b=1代入中得a=2四、课堂小结1 1、函数、函数y=f(x)y=f(x)与函数与函数y=f y=f-1-1(x)(x)互为反函数，则它们的图互为反函数，则它们的图象关于直线象关于直线y=xy=x对称，它们的图象相同。对称，它们的图象相同。3 3、如果两个函数的图象关于直线、如果两个函数的图象关于直线 y=x y=x 对称，那么这两对称，那么这两个函数互为反函数；个函数互为反函数；2 2、利用对称性画出已知函数的图象和其反函数的图象；、利用对称性画出已知函数的图象和其反函数的图象；20182018年年7 7月月9 9日日