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1、7 切线长定理1.什么是圆的切线什么是圆的切线?2.圆的切线有什么性质圆的切线有什么性质?3.根据性质，如何经过圆上一点作圆根据性质，如何经过圆上一点作圆的切线？的切线？BA1 1.如何过如何过O O外一点外一点P P画出画出O O的切线？的切线？2 2.这样的切线能画出几条？这样的切线能画出几条？如下左图，借助三角板，我们可以画出如下左图，借助三角板，我们可以画出PAPA是是O O的切线的切线.OP过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长这点到圆的切线长.OPAB切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？切线与切线
2、长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？切线长概念切线长概念切线和切线长是两个不同的概念：切线和切线长是两个不同的概念：1.1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；切线是一条与圆相切的直线，不能度量；2.2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量外一点和切点，可以度量.OPAB比一比：比一比：切线与切线长切线与切线长 OABP12思考：思考：已知已知O O切线切线PAPA，PBPB，A A，B B为切点，把圆沿着直为切点，把圆沿着直线线OPOP对折对折,你能发现什么你能发现什么?折一折折一折请证明你所发现的结论请证明你所发现
3、的结论.APOBPA=PBPA=PBOPA=OPBOPA=OPB证明：证明：PAPA，PBPB与与O O相切，点相切，点A A，B B是切点，是切点，OAPAOAPA，OBPB.OBPB.即即OAP=OBP=90OAP=OBP=90，OA=OB OA=OB，OP=OPOP=OP，RtAOPRtBOP(HL)RtAOPRtBOP(HL)PA=PB PA=PB，OPA=OPB.OPA=OPB.证一证证一证切线长定理切线长定理PAPA，PBPB分别切分别切O O于于A A，B B，PA=PB,OPPA=PB,OP平分平分APB.APB.过圆外一点，所画的过圆外一点，所画的圆的两条切线的长相圆的两条切
4、线的长相等等.圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.几何语言几何语言:OPAB注：注：切线长定理为证明线段相切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法等、角相等提供新的方法PA=PBPA=PBOPA=OPBOPA=OPBAPOB若连接两切点若连接两切点A A，B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你又能得出什么你又能得出什么新的结论新的结论?并给出证明并给出证明.OPOP垂直平分垂直平分ABABM证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线,点点A A，B B是切点，是切点，PA=PBPA=PB，OPA=OPB.OPA=OPB.PABPAB是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM为
5、顶角的平分线为顶角的平分线.OPOP垂直平分垂直平分AB.AB.拓展拓展APO.B若延长若延长POPO交交O O于点于点C C，连接，连接CACA，CBCB，你又能得出什么，你又能得出什么新的结论新的结论?并给出证明并给出证明.CA=CBCA=CB证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线,点点A A，B B是切点，是切点，PA=PB PA=PB，OPA=OPB.OPA=OPB.又又 PC=PC.PC=PC.PCAPCB PCAPCB，BC=AC.BC=AC.C.PBAO（3 3）连接圆心和圆外一点）连接圆心和圆外一点（2 2）连接两切点）连接两切点（1 1）分别连接圆心和切点）分别
6、连接圆心和切点反思：在解决有关圆的反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需切线长问题时，往往需要我们构建基本图形要我们构建基本图形.想一想想一想深入探究：深入探究：PAPA，PBPB是是O O的两条切线，的两条切线，A A，B B为切点，为切点，直线直线OPOP交交O O于点于点D D，E E，交，交ABAB于点于点C.C.BAPOCE（1 1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系OAPAOAPA，OB PB ABOPOB PB ABOP（2 2）写出图中与）写出图中与OACOAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPCOAC=OBC=APC=BPCDAOPBOPAOPBOP，
7、AOCBOCAOCBOC，ACPBCPACPBCP（4 4）写出图中所有的等腰三角形）写出图中所有的等腰三角形ABPABP，AOBAOB（3 3）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形BAPOCED1.1.已知已知:如图如图,OO是是RtABCRtABC的内切圆的内切圆,CC是直角是直角,AC=3,BC=4.,AC=3,BC=4.求求O O的半径的半径r.r.ABCODEF【例例1】ABCDEF变式变式1 1：已知：已知ABCABC的边的边BC=8BC=8，AC=11AC=11，AB=15AB=15，内切，内切圆圆II和和BC,AC,ABBC,AC,AB分别相切于点分别相切于点D,
8、E,F.D,E,F.求求AE,CD,BFAE,CD,BF的长的长.Ixyz【解析解析】设设AE=xAE=x，BF=yBF=y，CD=z,CD=z,xyz答：答：AE,CD,BFAE,CD,BF的长分别是的长分别是9,2,6.9,2,6.x+y=15,x+y=15,y+z=8,y+z=8,x+z=11,x+z=11,x=9,x=9,y=6,y=6,z=2,z=2,则则解得解得变式变式2 2：已知如图：已知如图,PA,PB,PA,PB是是O O的切线，切点分别是的切线，切点分别是A,BA,B，Q Q为为O O上一点，过上一点，过Q Q点作点作O O的切线，交的切线，交PA,PBPA,PB于于E,F
9、E,F点，已知点，已知PA=12cmPA=12cm，求，求PEFPEF的周长的周长.【解析解析】易证易证EQ=EA,FQ=FB,PA=PB.EQ=EA,FQ=FB,PA=PB.PE+EQ=PA=12cm,PE+EQ=PA=12cm,PF+FQ=PB=PA=12cm.PF+FQ=PB=PA=12cm.周长为周长为24cm.24cm.F如图，四边形如图，四边形ABCDABCD的边的边ABAB，BCBC，CDCD，DADA和和O O分别相分别相切于点切于点L L，M M，N N，P P，求证：求证：AD+BC=AB+CD.AD+BC=AB+CD.证明：证明：由切线长定理得由切线长定理得AL=APAL
10、=AP，LB=MBLB=MB，NC=MCNC=MC，DN=DP,DN=DP,AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,即即AD+BC=AB+CDAD+BC=AB+CD，结论：圆的外切四边形的两组对边结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等的和相等DLMNABCOP【例例2】如果如果PA=4cm,PD=2cm,PA=4cm,PD=2cm,求求半径半径OAOA的长的长.42xx【解析解析】设设OA=xcmOA=xcm；在在RtOAPRtOAP中，中，OA=xcmOA=xcm，OP=OD+PD=OP=OD+PD=（x+2x+2）cmcm，PA=4c
11、m,PA=4cm,由勾股定理，得由勾股定理，得PAPA2 2+OA+OA2 2=OP=OP2 2，即即4 42 2+x+x2 2=(x+2)=(x+2)2 2,整理，得整理，得x=3.x=3.所以，半径所以，半径OAOA的长为的长为3cm.3cm.【跟踪训练跟踪训练】1 1（珠海（珠海中考）如图，中考）如图，PA,PBPA,PB是是 O O的切线，的切线，切点分别是切点分别是A,BA,B，如果，如果P P6060,那么那么AOBAOB等等于（于（）A.60A.60 B.90 B.90C.120C.120 D.150 D.150C C2.2.（杭州杭州中考）中考）如图，正三角形的内切圆半径为如图，正三角形的内切圆半径为1 1，那么这个正三角形的边长为（那么这个正三角形的边长为（）A A2 2 B B3 C3 C D D 【解析解析】选选D.D.如图所示，连接如图所示，连接OA,OBOA,OB，则三角形，则三角形AOBAOB是是直角三角形，且直角三角形，且OBA=90OBA=90,OAB=30,OAB=30,又因为内切又因为内切圆半径为圆半径为1 1，利用勾股定理求得，利用勾股定理求得AB=,AB=,那么这个正三角那么这个正三角形的边长为形的边长为 .AB完成课本习题完成课本习题