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1、第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布频率分布频率分布直方图直方图教教 学学 情情 景景 96 114 128 106 89 97 103 114 109 101106 104 97 93 117 108 104 113 94 108 87 112 109 117 102 97 113 109 89 101105 104 99 101 117 108 104 97 94 99103 112 98 85 106 89 97 103 125 109 101 106 124 97 109 117 108 104 104 94 108 96 106 85 106 89 99 106 112 103
2、 129 89 96 123 85 106 102 97 103 114 109 101 106 115 97 93 117 108 104 112 113 108 96 98 85 106 89 97 103 114第一步：求极差第一步：求极差；1298544第二步：确定组数，组距；第二步：确定组数，组距；44/5=8.8第三步：将数据分第三步：将数据分9组；组；85,90,(90,95,(125,130区区间号号区区间频数数频率率频率率/组距距185,9020.020.0042(90,9570.070.0143(95,100110.110.0224(100,105150.150.0305(
3、105,110250.250.0506(110,115200.200.0407(115,120120.120.0248(120,12560.060.1209(125,13020.020.004第四步：列出频率分布表第四步：列出频率分布表第五步：画出频率分布直方图第五步：画出频率分布直方图xy频率频率/组距组距0 85 90 95 100 105 110 115 120 125 1300.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 xy频率频率/组距组距0 153.5 157.5 161.5 165.5 169.5 173.5 177.5 181.5 185.50.01 0.02 0
4、.03 0.04 0.05 0.06 随机抽取随机抽取84名男生身高的频率分布直方图名男生身高的频率分布直方图 若数据无限增多且组距无限缩小，那么若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称这样的曲线为密度曲线这样的曲线为密度曲线频率频率组距组距密度曲线密度曲线导入导入这条曲线就是或近似地是以下函数的这条曲线就是或近似地是以下函数的图象：图象：1、正态曲线的定义：、正态曲线的定义：函数函数式中的实数式中的实数、(0)是参数，分别表示是参数，分别表示总体的平均数与标准差，称函数的图象称为总体的平均数
5、与标准差，称函数的图象称为正态分布正态分布密度曲线，简称正态曲线密度曲线，简称正态曲线.2.正态分布的定义正态分布的定义:如果对于任何实数如果对于任何实数 ab,随机变量随机变量X满足满足:则称则称X 服从正态分布服从正态分布.正态分布由参数、唯一确定.正态分布记作N（，2）.其图象称为其图象称为正态曲线正态曲线.如果随机变量如果随机变量X服从正态分布，服从正态分布，则记作则记作 X N（，2）在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：从正态分布：在生产中在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；在正常生产条件下各种产品的质量指标；在测量中在测
6、量中，测量结果；测量结果；在生物学中在生物学中，同一群体的某一特征；同一群体的某一特征；在气象中在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度某地每年七月份的平均气温、平均湿度 以及降雨量等，水文中的水位；以及降雨量等，水文中的水位；总之，正态分布广泛存在于自然界、生总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。产及科学技术的许多领域中。正态分布在概率和统计中占有重要地位。正态分布在概率和统计中占有重要地位。例例1、下列函数是正态密度函数的是（、下列函数是正态密度函数的是（）A.B.C.D.B3、正态曲线的性质、正态曲线的性质012-1-2xy-3=-1=0.5012-1-2xy-
7、33=0=1012-1-2xy-334=1=2具有具有两头低、中间高、左右对称两头低、中间高、左右对称的基本特征的基本特征012-1-2xy-3=-1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2（1 1）曲线在）曲线在x轴的上方，与轴的上方，与x轴不相交轴不相交.（2）曲线是单峰的）曲线是单峰的,它关于直线它关于直线x=对称对称.正态曲线的性质正态曲线的性质（4）曲线与）曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为1（3）曲线在）曲线在x=处达到峰值处达到峰值(最高点最高点)方差相等、均数不等的正态分布图示方差相等、均数不等的正态分布图示312=0.5=-1=0=1若若
8、固定固定,随随 值值的变化而的变化而沿沿x轴平轴平移移,故故 称为位置称为位置参数；参数；均值相等、方差不等的正态分布图示均值相等、方差不等的正态分布图示=0.5=1=2=0若若 固定固定,大大时时,曲线矮而胖；曲线矮而胖；小时小时,曲线瘦曲线瘦而高而高,故称故称 为形状参数。为形状参数。=0.5012-1-2xy-33X=1=2(6)当当一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由确定确定.越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的分布越分散；，表示总体的分布越分散；越小，曲线越越小，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的分布越集中，表示总体的分布越集中.（5）当）当 x时时,曲线下降曲线下降.并
9、且当曲线并且当曲线向左、右两边无限延伸时向左、右两边无限延伸时,以以x轴为渐近线轴为渐近线,向它无限靠近向它无限靠近.正态曲线的性质正态曲线的性质例例2、把一个正态曲线、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动沿着横轴方向向右移动2个单个单位，得到新的一条曲线位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（。下列说法中不正确的是（）A.曲线曲线b仍然是正态曲线；仍然是正态曲线；B.曲线曲线a和曲线和曲线b的最高点的纵坐标相等的最高点的纵坐标相等;C.以曲线以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为为概率密度曲线的总体的期望大概率密度曲线的总体的期望大2;D.以曲
10、线以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为为概率密度曲线的总体的方差大概率密度曲线的总体的方差大2。D正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律vX轴与正态曲线所夹面积恒等于轴与正态曲线所夹面积恒等于1。v对称区域面积相等。对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,)S(-,-X)4、特殊区间的概率、特殊区间的概率:若若XN ,则对于任何实数则对于任何实数a0,概率概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和和 而言，该面而言，该面积随着积随着 的减少而变大。这说明的减少而变大。这说明 越小越小,落在区间落在区间 的概率
11、越大，即的概率越大，即X集中在集中在 周围概率越大。周围概率越大。特别地有特别地有x=我们从上图看到，正态总体在我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有以外取值的概率只有4.6，在，在 以外以外取值的概率只有取值的概率只有0.3。由于这些概率值很小（一般不超过由于这些概率值很小（一般不超过5 ），），通常称这些情况发生为通常称这些情况发生为小概率事件小概率事件。例例3、在某次数学考试中，考生的成绩、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个正服从一个正态分布，即态分布，即 N(90,100).（1）试求考试成绩）试求考试成绩 位于区间位于区间(70,110)上的概率上的概率是多少？是多少？（
12、2）若这次考试共有）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩名考生，试估计考试成绩在在(80,100)间的考生大约有多少人？间的考生大约有多少人？练习：已知一次考试共有练习：已知一次考试共有60名同学参加，考生的成名同学参加，考生的成绩绩X ，据此估计，大约应有，据此估计，大约应有57人的分数人的分数在下列哪个区间内？（在下列哪个区间内？（）A.(90,110 B.(95,125 C.(100,120 D.(105,1150.95441365A例例4、已知、已知 ，且，且 ，则则 等于等于()A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4A例例6、如图，为某地成年男、如图，为某地成年男性体重的正态曲线图，请写性体重的正态曲线图，请写出其正态分布密度函数，并出其正态分布密度函数，并求求P（|X-72|20）.xy72(kg)0.9544例例5、若、若XN(5,1),求求P(6X7).0.1359