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1、第第2 2课时课时 圆的切线的性质圆的切线的性质湘教版 九年级下册1.1.判定一条直判定一条直线是是圆的切的切线的三种方法：的三种方法：直直线l 与与圆O有唯一公共点有唯一公共点与与圆心的距离等于心的距离等于圆O的半径的半径经过半径外端且垂直半径外端且垂直这条半径条半径l是是圆O的切的切线1.有交点，有交点，连半径，半径，证垂直垂直;2.无交点，无交点，作垂直，作垂直，证半径半径.l是是圆O的切的切线l是是圆O的切的切线2.证明明圆的切的切线常用常用辅助助线作法：作法：.O OA Al 如如图图：直直线线l是是 O的切的切线线，切点切点为为A，切，切线线l与与半径半径OA垂直呢垂直呢?动脑筋动
2、脑筋这这与与“直直线线l是是圆圆O的切的切线线”矛盾矛盾.证明：证明：假设假设l与与OA不垂直不垂直,过过点点O作作OB l于于B两点之两点之间间,垂垂线线段最短段最短.OBOA,即即圆圆心到直心到直线线的距离小于半径的距离小于半径.直直线线lOA.证法一证法一:反证法反证法B因此因此直直线线l与与 O相交相交.左图是轴对称图形,AB是对称轴,沿直线AB对折图形,则射线AC 与射线AD重合,BAC=BAD=90.ACOBD作直径作直径AB 如如图图：直直线线l是是 O的切的切线线，切点切点为为A，切，切线线l与与半径半径OA垂直呢垂直呢?l即即直直线线lOA.证法二证法二:综合综合法法圆的切线
3、垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径.【切线的性质定理切线的性质定理】结论结论 l是是 O的切的切线线，切点，切点为为A.O OA Al几何几何语语言表示：言表示：lOA.简记：简记：见切点，连半径，得垂直见切点，连半径，得垂直.2.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点1.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心(1)经过圆心(2)直线经过切点(3)垂直于切线知二推一O.A切线的性质定理的推论切线的性质定理的推论:()切切线线和和圆圆只有一个公共点。只有一个公共点。()切切线线和和圆圆心的距离等于半径。心的距离等于半径。()切切线线垂直于垂直于过过切点的半径。切点的半径。()经过圆经过
4、圆心垂直于切心垂直于切线线的直的直线线必必过过切点。切点。()经过经过切点垂直于切切点垂直于切线线的直的直线线必必过圆过圆心。心。随堂练习随堂练习1.判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确:2.已已知知：如如图图，在在ABC中中,AC与与 O相相切切于于点点C，(BC过过圆圆心心O),BAC=63,则则ABC的度数是的度数是_。BPCAO3.如图，AB、AC分别切O于B、C，若A=600，点P是圆上异于B、C的一动点，则BPC的度数是_.2760或或120例例1 如如图:已知已知AB为 O的直径的直径,C为 O上一点上一点,AD 和和 过C点点的切的切线互相垂直互相垂直,垂足垂足为 D.求求
5、证:AC平分平分DAB.ABOCD证明证明:连接连接OC,OCCD.又又ADCD,OC/AD.OC=OA.CAO=ACO.CAD=CAO.即即AC平分平分DAB.CD是是 O的切的切线线,ACO=CAD.举举例例注意：注意：见切切线，连半径，得垂直半径，得垂直.弦切角等于所夹弧所对的圆周角弦切角等于所夹弧所对的圆周角.【弦弦切切角定理角定理】结论结论.O OA AB BC CMM AM是是 O的切的切线线，切点切点为为A,AB为为 O的弦的弦.几何几何语语言表示：言表示：MAB=ACB.例3.如图，AB为O的直径，弦CDAB于点H，过点B作O的切线与AD的延长线交于F（1）求证：ABC=F；（
6、2）若sinC=，DF=6，求O的半径证证明：明：BF为为 O的切的切线线，CDBFABC=ADC，ABBF于点于点BCDAB，ADC=F又又AC=ACABC=F（2）解：连接BDAB为O的直径，ADB=90，BF为O的切线，由弦切角定理得A=DBF=C又在RtABD中，sinAsinC ，在RtDBF中，sinDBFsinC ，DF=6，BD=8即O的半径为 61.如图,两个同心圆的圆心是O，大圆的弦AB所在的直线切小圆C，求证：点C是线段AB的中点.CABO证明：如图，C是AB的中点.AC=BC根据垂径定理，得OCAB连接OC,则：练习练习DCBOA2.如如图图，在，在 O中，中，AB为为
7、直径，直径，AD为为弦，弦，过过点点B的切的切线线与与AD的延的延长线长线交于点交于点C，且，且AD=DC.求求ABD的度数的度数.3.如如图,已知已知 O切切PB于点于点B，PB=4，PA=2,求求 O的半径。的半径。证明证明:连接连接OB,OBPB.BP切切 O于点于点B,设设OB=OA=r,则则OP=r+2.在在RtPOB中中,由勾股定理得：由勾股定理得：r2+42=(r+2)2解得解得 r=34.如图，AB是O的直径，过点A作O的切线并在其上取一点C，连接OC交O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD（1）求证：CDECAD；（2）若AB=2，AC=2 2 ，求AE的长。过半径外端半
8、径外端;垂直于垂直于这条半径条半径.切切线圆的切的切线;过切点的半径切点的半径.切切线垂直于半径垂直于半径切切线的的判定定理：判定定理：切切线的的性性质定理：定理：OAl(3).如果如果AB是是 O的切线，的切线，OA AB，那么那么A是是(2).如果半径如果半径OA AB，那么那么AB是是6.按图填空：按图填空：(1).如果如果AB切切 O于于A，那么那么AOBO的切线切点切点OAAB.随堂练习随堂练习1.如图，在RtABC中，ACB90，点D是边AB上一点，以BD为直径的O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F求证：BDBF；随堂练习随堂练习2.如图，AB是O的直径，A
9、C与O相切，切点为A，D为O上一点，AD与OC相交于点E，且DAB=C。（1）求证：OCBD；（2）若AO=5，AD=8，求线段CE的长 课堂小结课堂小结谈谈你这节课的收获？2.已知圆的切线时，连接切点和圆心，利用已知圆的切线时，连接切点和圆心，利用垂直构垂直构造直角三角形造直角三角形解题。解题。1.圆的切线有如下性质：（1）切线与圆有唯一的公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直经过切点的半径。当堂训练当堂训练1.1.如图，如图，ABCABC中，以中，以ABAB为直径的为直径的O O交交BCBC于点于点P P，PDACPDAC于点于点D D，且，且PDPD与与O O相切相切
10、.(1)(1)求证：求证：AB=ACAB=AC；(2)(2)若若BC=6BC=6，AB=4AB=4，求，求CDCD的值的值.2.如图，在RtABC中，ACB=900;，以AC为直径的O与AB边交于点D，过点D作O的切线，交BC于E（1）求证：点E是边BC的中点；（2）求证：BC2=BDBA；（3）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：ABC为等腰直角三角形 3.如图，在RtAOB中，OA=OB=3 ，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值是多少？4.如图，以如图，以RtABC的直角边的直角边BC为直径作圆为直径作圆O，交斜边
11、，交斜边 于于D,OEAC交交AB于于E.求证：求证：DE是是 O的切线。的切线。ADCOBE123OBACD45.如如图图，AB为为 O的直径，的直径，AD是和是和 O相切于点相切于点A的的切切线线，O的弦的弦BC平行于平行于OD.求求证证：DC是是 O的切的切线线.6.如如图图，已知，已知AB是是 O的直径的直径,BC是是 O的切的切线线,切点切点为为B,OC平行于弦平行于弦AD.求证求证:DC是是 O的切线的切线.AOBCD1324.ACBPO5.如图如图,点点P在在 0外，外，PC是是 0的切线的切线,切点是切点是C.直线直线PO与与 0交于交于A、B,试探求试探求P与与A的数量关系的数量关系.7.已知已知:OA和和OB是是 O的半径的半径,并且并且OAOB,P是是OA上任意一点上任意一点,BP的延的延长线长线交交 O于于Q.过过Q作作 O的切的切线线交交OA的延的延长线长线于于R.求证求证:RP=RQBOPARQ