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1、正多边形与圆、弧长与扇形的面积、圆锥的正多边形与圆、弧长与扇形的面积、圆锥的侧面积与全面积侧面积与全面积 标题学习目标学习目标知识回顾知识回顾典型例题和及时反馈典型例题和及时反馈3 3.会用圆锥侧面积计算公式计算有关问题。会用圆锥侧面积计算公式计算有关问题。2 2.会运用弧长计算公式、会运用弧长计算公式、扇形面积公式计算有关扇形面积公式计算有关问题。问题。1.1.了解正多边形的概念了解正多边形的概念、正多边形与圆的关系，、正多边形与圆的关系，会判断一个正多边形是轴对称图形还是中心对称会判断一个正多边形是轴对称图形还是中心对称图形。会用两种方法画正多边形。图形。会用两种方法画正多边形。学习目标1
2、.正多边形的概念正多边形的概念各边相等各边相等,各角也相等的多边形叫做正多各角也相等的多边形叫做正多边形边形.2.正多边形与圆的关系正多边形与圆的关系我们可以借助量角器将一个我们可以借助量角器将一个圆圆n(n3)等分等分,依次连接各等分依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内点所得的多边形是这个圆的内接正多边形接正多边形.这个圆是这个正多边形的外这个圆是这个正多边形的外接圆接圆,正正多边形的外接圆的圆心多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的叫做正多边形的中心中心.知识回顾正多边形的性质正多边形的性质:1.正多边形的各边相等正多边形的各边相等,各角各角相等相等.2.正正n边形是轴对称图形边形是轴对称
3、图形,有有n条对称轴条对称轴;但不但不一定是中心对称图形一定是中心对称图形,除非除非n是是偶数偶数.正多边形的性质用量角器画正四边形、正六边形？ABCDO90DABCEFO60 你能用尺规作出正六边形、正三角形、你能用尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？正十二边形吗？OABCEFD 以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形.先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形 操作你能用尺规作出正八边形吗？你能用尺规作出正八边形吗？据此，你还能作出哪些正多边形？据此，你还能作出哪些正多边形？ABCDO只要作出已知O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作
4、各边的垂线与O相交，或作各中心角的角平分线与O相交，即得圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形 说说作正多边形的方法有哪些说说作正多边形的方法有哪些?归纳：（1）用量角器等分圆周作正n边形；（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形,用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形 归纳 例例1.1.有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).FADE.O O O OB BC CrRP解:亭子的周长 L=64=24(m)(6.412242121122242422224mLrSop2BCPCOCOPCRt.=-=D亭子的面积根
5、据勾股定理,可得，中，在把正多边形转化为把正多边形转化为直角三角形问题是直角三角形问题是解决正多边形问题解决正多边形问题的有效方法。的有效方法。典型例题1使用给定的一种或几种正多边形，使用给定的一种或几种正多边形，它能否拼成一个平面图形，既不留它能否拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不相互重叠？下一丝空白，又不相互重叠？结论：结论：当围绕一点拼在一起的几个当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成一个片面图形。个周角时，就拼成一个片面图形。知识回顾例2（1）把正三角形、正方形结合，是否能铺满地面？（2）把正三角形、正方形、正六边形三
6、者结合能铺满地面吗？请你试试看。（3）用任意四边形能否铺满地面？请你试试看。典型例题290+90+60+60+60=360正方形、正三角形的组合。正方形、正三角形的组合。正六边形、正方形和正三角形的组合。正六边形、正方形和正三角形的组合。小结：小结：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成一个片面图形。成一个片面图形。小结1.1.下列说法中正确的是下列说法中正确的是()()A.A.平行四边形是正多边形平行四边形是正多边形 B.B.矩形是正四边形矩形是正四边形C.C.菱形是正四边形菱形是正四边形 D
7、.D.正方形是正四边形正方形是正四边形2.2.下列命题中下列命题中,真命题的个数是真命题的个数是 ()()各边都相等的多边形是正多边形各边都相等的多边形是正多边形;各角都相等各角都相等的多边形是正多边形的多边形是正多边形;正多边形一定是中心对称正多边形一定是中心对称图形图形;边数相同的正多边形一定相似边数相同的正多边形一定相似.A.1 B.2 C.3 D.4 A.1 B.2 C.3 D.4DA及时反馈3.3.已知正已知正n n边形的一个外角与一个内角的比为边形的一个外角与一个内角的比为1 13,3,则则n n等于等于()()A.4 B.6 C.8 D.12 A.4 B.6 C.8 D.12 4
8、.4.如果一个正多边形绕它的中心旋转如果一个正多边形绕它的中心旋转9090就和就和原来的图形重合原来的图形重合,那么这个正多边形是那么这个正多边形是 ()()A.A.正三角形正三角形 B.B.正方形正方形 C.C.正五边形正五边形 D.D.正六边形正六边形CB5.正多边形一定是正多边形一定是_对称图形对称图形,一个正一个正n边边形共有形共有_条对称轴条对称轴,每条对称轴都通过每条对称轴都通过_;如果一个正如果一个正n边形是中心对称图形边形是中心对称图形,n一一定是定是_.6.将一个正五边形绕它的中心旋转将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转至少要旋转_度度,才能与原来的图形位置重合才能与原来
9、的图形位置重合.7.两个正三角形的内切圆的半径分别为两个正三角形的内切圆的半径分别为12和和18,则它们的周长之比为则它们的周长之比为_,面积之比为面积之比为_。轴轴n中心中心偶数偶数722349一、圆的周长公式一、圆的周长公式二、圆的面积公式二、圆的面积公式C=2rS=r2三、弧长的计算公式三、弧长的计算公式四、四、扇形面积计算公式扇形面积计算公式知识回顾例例3；制制造造弯弯形形管管道道时时，要要先先按按中中心心线线计计算算“展展直直长长度度”，再再下下料料，试试计计算算图图所所示示管管道道的的展展直直长长度度L(单单位：位：mm，精确到，精确到1mm)解：由弧长公式，可得弧解：由弧长公式，
10、可得弧AB 的长的长因此所要求的展直长度因此所要求的展直长度 L （mm）答：管道的展直长度为答：管道的展直长度为2970mm 我们应该学会把实我们应该学会把实际问题转化为数学际问题转化为数学问题问题.典型例题3例例4:4:如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m。求截面上有水部分的面积？典型例题4弓形面积可转化为弓形面积可转化为扇形面积减去三角扇形面积减去三角形面积来求解形面积来求解.CD解：如解：如图图，连连接接OA、OB，作弦，作弦AB的垂直平的垂直平分分线线，垂足，垂足为为D,交交 与点与点C。OC=0.6 DC=0.3OD=OC-CD=0.3在在RtOA
11、D中，中，OA=0.6 利用勾股定理可得，利用勾股定理可得，AD=0.3在在RtOAD中中,OD=OA OAD=30AOD=60AOB=120有水部分的面有水部分的面积积 S=S扇形扇形OAB-SOAB 答：有水部分的面积为答：有水部分的面积为1 1、已知扇形的圆心角为、已知扇形的圆心角为120120，半径为，半径为2 2，则，则这个扇形的面积，这个扇形的面积，S S扇扇=_ _ .2 2、已知扇形面积为、已知扇形面积为 ，圆心角为，圆心角为120120，则，则这个扇形的半径这个扇形的半径R=_R=_ 23 3、已知半径为、已知半径为2cm2cm的扇形，其弧长为的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的
12、面积，则这个扇形的面积，S S扇扇=_=_及时反馈4.(2006,4.(2006,武汉武汉)如图如图,A,A、B B、C C、D D相互相互外离外离,它们的半径都是它们的半径都是1,1,顺次连接四个圆心得到顺次连接四个圆心得到四边形四边形ABCD,ABCD,则图形中四个扇形则图形中四个扇形(空白部分空白部分)的面的面积之和是积之和是_._.5.（2007，山东）如图所示，分别以，山东）如图所示，分别以n边形边形的顶点为圆心，以单位的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为影部分的面积之和为 个平方单位个平方单位6.6.如图，在如图，在RtABC中，中，BA
13、C=90，AB=AC=2，以，以AB为直径的圆交为直径的圆交BC于点于点D，求图中阴影部分的面积求图中阴影部分的面积 分析：阴影部分的面积是不规则的图形，用扇形面积公式不可能直接用。这里AB是直径、又AB=AC,所以连接AD用割补法求出阴影部分的面积。解：连接AD.因为AB是直径，所以ADB=90。又因为AB=AC，所以AD=BD=BC，则弓形BED面积=弓形AFD的面积。所以，S阴影=ACD的面积=1EF圆锥的高圆锥的高 母线母线SAOBr我们把连接圆锥的顶点我们把连接圆锥的顶点S和和底面圆上任一点的连线底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做等叫做圆锥的母线圆锥的母线连接顶点连接顶点S与底面
14、圆的圆心与底面圆的圆心O的线段叫做的线段叫做圆锥的高圆锥的高思考圆锥的母线和圆锥的高有那些性质？知识回顾hlr由勾股定理得：由勾股定理得：如果用如果用r r表示圆锥底面的半径表示圆锥底面的半径,h h表示表示圆锥的高线长圆锥的高线长,表示圆锥的母线长表示圆锥的母线长,那么那么r,h,r,h,之间有怎样的数量关系呢之间有怎样的数量关系呢？r2+h2=2ABOCR母线的长=其侧面展开图扇形的半径SAOBrSAOB 底面周长底面周长=侧面展开图扇形的弧长侧面展开图扇形的弧长如图如图,设圆锥的母线长为设圆锥的母线长为l l,底面半径为底面半径为r,r,(1)(1)此扇形的半径此扇形的半径(R)(R)是
15、是 ,(2)(2)此扇形的弧长此扇形的弧长(L)(L)是是 ,(3)(3)此圆锥的侧面积此圆锥的侧面积(S(S侧)是是 ;(4)(4)它的全面积它的全面积(S(S全全)是是 .圆锥圆锥的母线的母线圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积是一个是一个扇形扇形.圆锥底面的周长圆锥底面的周长圆锥的母线与扇形弧长积的一半圆锥的母线与扇形弧长积的一半底面积与侧面积的和底面积与侧面积的和Orhl l圆锥的圆锥的侧面展开图侧面展开图是什么图形是什么图形?考查与圆锥有关的计算考查与圆锥有关的计算例例5；小红准备自己动手用纸板制作圆锥形的生；小红准备自己动手用纸板制作圆锥形的生日礼帽日礼帽,如图如图,圆锥帽底面
16、积半径为圆锥帽底面积半径为9cm,母线长母线长为为36cm,请你帮助他们计算制作一个这样的生请你帮助他们计算制作一个这样的生日礼帽需要纸板的面积为多少日礼帽需要纸板的面积为多少?|-36cm-|9cm.小结小结:此类问题可直接运此类问题可直接运用公式用公式,但是扇形中的弧但是扇形中的弧长与母线、半径之间的关长与母线、半径之间的关系一定要清晰，系一定要清晰，不能混淆不能混淆.典型例题5例例6：如图所示的扇形中，半径：如图所示的扇形中，半径R=10，圆心，圆心角角=144用这个扇形围成一个圆锥的侧面用这个扇形围成一个圆锥的侧面.(1)求这个圆锥的底面半径求这个圆锥的底面半径r;(2)求这个圆锥的高
17、求这个圆锥的高.ACO Br典型例题6分析分析:此题把公式此题把公式 进行灵活运用，进行灵活运用，n n、R R、r r中知道两个就能求出另外一个。中知道两个就能求出另外一个。解解:小结小结:圆锥的圆锥的底面周长就是展开扇形的弧底面周长就是展开扇形的弧长，母线就是扇形的半径，一定长，母线就是扇形的半径，一定要牢记。要牢记。例例7 7:已知圆柱的轴截面已知圆柱的轴截面ACBD,ACBD,底面直径底面直径AC=6,高为高为12cm12cm，今有一蚂蚁沿圆柱侧面从，今有一蚂蚁沿圆柱侧面从A点点 爬到爬到B点觅食点觅食 问它爬过的最短距离应是多少？问它爬过的最短距离应是多少？BDACDABC动画动画典
18、型例题7分析分析:A,B:A,B两点之间的线两点之间的线段最短，把圆柱展开，侧段最短，把圆柱展开，侧面是长方形，线段面是长方形，线段ABAB就是就是最短距离最短距离.解：解：DABC答：它爬过的最短距离是答：它爬过的最短距离是17.48cm17.48cm变式:如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？ABC分析：点分析：点B B到到ACAC的最短路线是点到的最短路线是点到线的距离那么垂线的距离那么垂线段最短。线段最短。把圆锥展开，侧面是扇形。过点把圆锥展开，侧面是扇形。过点B B作作ACA
19、C的垂线，垂足为的垂线，垂足为D D，即，即BDBD为最短路线。为最短路线。解：过点解：过点B B作作BDACBDAC，垂足为，垂足为D D，小结小结:例例7 7与变式的运与变式的运用，都是把曲面问题用，都是把曲面问题转化为平面问题来处转化为平面问题来处理。理。答：它爬过的最短路线为答：它爬过的最短路线为答：它爬过的最短路线为答：它爬过的最短路线为 圆锥可以看做是一个圆锥可以看做是一个直角三直角三角形角形绕它的一条绕它的一条直角边旋转直角边旋转一周一周所成的图形所成的图形OABC知识回顾例例8 8、已知：在、已知：在RtRtABC,ABC,求以求以ABAB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。为
20、轴旋转一周所得到的几何体的全面积。分析：以分析：以ABAB为轴旋转一周所得到的几何体是由为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体，因此求公共底面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面积就是求两个圆锥的侧面积。全面积就是求两个圆锥的侧面积。BCA典型例题8例例8 8、已知：在、已知：在RtRtABC,ABC,C=90,AB=13 cm,BC=5 cm求以求以ABAB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。BCAD解：过解：过C C点作点作 ，垂足为，垂足为 D D点点所以所以底面周长为底面周长为答：这个几何体的全面积为答：这个几何体的全面积为
21、所以所以S S全面积全面积A AB BC C思考：如图，在思考：如图，在RtABCRtABC中，中，ACB=90ACB=90。(1)(1)分别以分别以ACAC，BCBC为轴旋转一周所得的圆锥相同吗为轴旋转一周所得的圆锥相同吗?(2)(2)以以ABAB为轴旋转一周得到怎样的几何体？为轴旋转一周得到怎样的几何体？(3)(3)若若AB=5AB=5，BC=4BC=4，你能求出题，你能求出题(2)(2)中几何体的表面中几何体的表面积吗？积吗？CBA（1 1）以）以BCBC为轴旋转一周所得的圆锥为轴旋转一周所得的圆锥B BA AC C以以ACAC为轴旋转一周所得的圆锥为轴旋转一周所得的圆锥A AB BC
22、C CBA(2)(2)以以ABAB为轴旋转一周得到怎样的几何体？为轴旋转一周得到怎样的几何体？若若AB=5AB=5，BC=4BC=4，则该几何，则该几何体的表面积是：体的表面积是：B BA AC CO O1.扇形面积大小（）(A)只与半径长短有关只与半径长短有关 (B)只与圆心角大小有关只与圆心角大小有关 (C)与圆心角的大小、半径的长短有关与圆心角的大小、半径的长短有关C2.如果半径为r，圆心角为n0的扇形的面积是S，那么n等于（）(A)(B)(C)(D)360Sr360Sr2180Sr180Sr2B 3.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的 ，则此扇形的圆心角是（）(A)300 (B)360
23、 (C)450 (D)600 18C及时反馈A AC CB BA AC C4.如图，把RtABC的斜边放在直线 上，按顺时针方向转动一次,使它转到 ABC 的位置。若BC=1,A=30。求点A运动到A位置时，点A经过的路线长=_。5.如图：AB是半圆的直径，AB=2r,C、D是半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于_.1.了解正多边形的概念、正多边形与圆的关系，解了解正多边形的概念、正多边形与圆的关系，解决一些实际问题。决一些实际问题。2会运用弧长及扇形的面积之间的关系，并能已会运用弧长及扇形的面积之间的关系，并能已知知l l、n n、R R、S S中的两个量中的两个量求另外两求另外两个量个量3.3.运用圆锥侧面积计算公式解决有关实际问题。运用圆锥侧面积计算公式解决有关实际问题。4.4.渗透了转化的思想。（如将圆锥侧面通过渗透了转化的思想。（如将圆锥侧面通过展展开开转化为平面图形转化为平面图形加以研究）加以研究）S扇形扇形360n R2课堂小结