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1、第四节函数第四节函数y=y=Asin(x+Asin(x+)的图像的图像及三角函数模型的简单应用及三角函数模型的简单应用三年三年1212考考 高考指数高考指数:1.1.了解函数了解函数y=y=Asin(x+Asin(x+)的物理意义，能画出函数的物理意义，能画出函数y=y=Asin(x+Asin(x+)的图像，了解参数的图像，了解参数A A、对函数图像变化的对函数图像变化的影响影响.2.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型周期变化现象的重要函数模型.1.1.图像的变换规律：平移和伸缩变换在主、客观题
2、中均有考查，图像的变换规律：平移和伸缩变换在主、客观题中均有考查，是高考中考查的重点和热点是高考中考查的重点和热点.2.2.结合三角恒等变换考查结合三角恒等变换考查y=y=Asin(x+Asin(x+)的性质及简单应用是的性质及简单应用是考查的热点考查的热点.1.1.用用“五点法五点法”作函数作函数y=y=Asin(x+Asin(x+)(A)(A0,0)0,0)的图像的图像“五点法五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x x 轴相交的三个交点轴相交的三个交点,作图时的一般步骤为作图时的一般步骤为:(1)(1)定点：先确定五点定点：先确定
3、五点.即令即令x+x+分别等于分别等于0,0,，,22，得对应的五点如表所示，得对应的五点如表所示(2)(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到连接得到y=y=Asin(x+Asin(x+)在一个周期内的图像在一个周期内的图像.(3)(3)扩展：将所得图像扩展：将所得图像,按周期向两侧扩展可得按周期向两侧扩展可得y=y=Asin(x+Asin(x+)在在R R上的图像上的图像.【即时应用即时应用】(1)(1)“五点法五点法”作图取五个点的横坐标时有怎样的技巧和方法作图取五个点的横坐标时有怎样的技巧和方法？提示：提示：函数
4、函数y=y=Asin(x+Asin(x+)(A)(A0,0)0,0)的图像在一个周期内的的图像在一个周期内的五点横向间距必相等，为五点横向间距必相等，为 于是五点横坐标依次为于是五点横坐标依次为 这样，不仅可以快速求出五点坐标，这样，不仅可以快速求出五点坐标，也可在求得也可在求得x x1 1的位置后，用圆规截取其他四点，从而准确作出的位置后，用圆规截取其他四点，从而准确作出图像图像.另外，与五点法作函数另外，与五点法作函数y=y=sinxsinx图像类似，也可以把图像类似，也可以把x+x+看成一个整体，令看成一个整体，令x+x+依次取依次取 则五个点则五个点横坐标依次可求横坐标依次可求.(2)
5、(2)用五点法作函数用五点法作函数y=y=sin(xsin(x-)-)在一个周期内的图像时，主要在一个周期内的图像时，主要确定的五个点是确定的五个点是_、_、_、_、_._.【解析解析】分别令分别令可求出可求出x x的值分别为的值分别为又因为又因为A=1,A=1,所以需要确定的五个点为：所以需要确定的五个点为：答案：答案：2.2.三角函数图像的变化规律三角函数图像的变化规律(其中其中A A0 0，0)0)(1)(1)先平移后伸缩先平移后伸缩y=y=sinxsinx的图像的图像 y=y=sin(x+sin(x+)的图像的图像y=y=sin(x+sin(x+)的图像的图像y=y=Asin(x+As
6、in(x+)的图像的图像y=y=Asin(x+Asin(x+)+b)+b的图像的图像向左向左(0)0)或向右或向右(0)0)平移平移_个单位长度个单位长度|横坐标伸长横坐标伸长(01)(01)(1)到原来的到原来的 _(_(纵坐标不变纵坐标不变)纵坐标伸长纵坐标伸长(A1)(A1)或缩短或缩短(0A1)(0A0)(b0)或向下或向下(b0)(b1)(A1)或缩短或缩短(0A1)(0A1)为原来的为原来的_倍倍(横坐标不变横坐标不变)A A横坐标伸长横坐标伸长(01)(01)(1)到原来的到原来的_(_(纵坐标不变纵坐标不变)向左向左(0)(0)或向右或向右(0)(0)(b0)或向下或向下(b0
7、)(b0,0),x0,0),x0,+)0,+)表示表示简谐运动时，则简谐运动时，则A A叫做叫做_，叫做叫做_，叫做叫做_，x+x+叫做叫做_，x=0 x=0时的相位时的相位叫做叫做_._.振幅振幅周期周期频率频率相位相位初相初相【即时应用即时应用】(1)(1)函数函数 的振幅、周期和初相各是什么？的振幅、周期和初相各是什么？提示：提示：振幅振幅A=5,A=5,初相初相 周期周期 (2)(2)如图，它表示电流如图，它表示电流I=I=Asin(t+Asin(t+)(A)(A0,0,|0,0,|)在在一个周期内的图像一个周期内的图像.试根据图像写出试根据图像写出I=I=Asin(t+Asin(t+
8、)的解的解析式：析式：_，其频率，其频率f=_.f=_.【解析解析】由图像知由图像知所以所以 由由由由得得=2k+(=2k+(kZkZ),),|,=；所以所以 即即答案：答案：函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+)(A)(A0,0,0)0)的图像的图像及其图像变换及其图像变换【方法点睛方法点睛】函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+)(A)(A0,0,0)0)的图像的作法的图像的作法(1)(1)五点法五点法:用用“五点法五点法”作作y=y=Asin(x+Asin(x+)的简图，主要是通的简图，主要是通过变量代换，设过变量代换，设z=z=x+x+，由，由z z取来求出相应的取来求出
9、相应的x x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像.(2)(2)图像变换法：由函数图像变换法：由函数y=y=sinxsinx的图像通过变换得到的图像通过变换得到y=y=Asin(x+Asin(x+)的图像，有两种主要途径：的图像，有两种主要途径：“先平移后伸缩先平移后伸缩”与与“先伸缩后平移先伸缩后平移”.【提醒提醒】五点作图取值要准确，一般取一个周期之内的；函数五点作图取值要准确，一般取一个周期之内的；函数图像变换要注意顺序，平移时两种平移的单位长度不同图像变换要注意顺序，平移时两种平移的单位长度不同.【例例1 1】画出函数画出函数y y3s
10、in(2x3sin(2x)，xRxR的简图的简图.【解题指南解题指南】作函数作函数y y3sin(2x3sin(2x)的图像可用五点作图或的图像可用五点作图或图像变换法图像变换法.【规范解答规范解答】方法一：五点法方法一：五点法由由T T ，得，得T T，列表：，列表：x x2 2x x+3sin(2x+)3sin(2x+)0 0223 30 0-3-30 00 0描点画图：描点画图：将所得图像按周期向两侧扩展可得将所得图像按周期向两侧扩展可得y=3sin(2x+)y=3sin(2x+)在在R R上的图像上的图像.方法二：图像变换法方法二：图像变换法将所得图像按周期向两侧扩展可得将所得图像按周
11、期向两侧扩展可得 在在R R上的图像上的图像.【反思反思感悟感悟】1.1.五点法作图的关键是正确确定五个点五点法作图的关键是正确确定五个点,而后而后列表、描点、连线即可列表、描点、连线即可.要注意在作出一个周期上的简图后，要注意在作出一个周期上的简图后，应向两侧伸展，以表示整个定义域上的图像应向两侧伸展，以表示整个定义域上的图像.2.2.用图像变换法作图仅能作出简图用图像变换法作图仅能作出简图.由图像求解析式由图像求解析式【方法点睛方法点睛】确定确定y=y=Asin(x+Asin(x+)+b(A)+b(A0,0,0)0)的步骤和方的步骤和方法法(1)(1)求求A A，b b，确定函数的最大值，
12、确定函数的最大值M M和最小值和最小值m,m,则则 (2)(2)求求，确定函数的周期，确定函数的周期T T，则可得，则可得(3)(3)求求，常用的方法有：，常用的方法有：代入法：把图像上的一个已知点代入代入法：把图像上的一个已知点代入(此时此时A A，,b,b已知已知)或或代入图像与直线代入图像与直线y=by=b的交点求解的交点求解(此时要注意交点在上升区间上此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上还是在下降区间上).).五点法：确定五点法：确定值时，往往以寻找值时，往往以寻找“五五点法点法”中的第一个点为突破口中的第一个点为突破口.具体如下：具体如下：“第一点第一点”(即图像上升时与即图像
13、上升时与x x轴的交点轴的交点)时时x+x+=0;=0;“第二第二点点”(即图像的即图像的“峰点峰点”)时时x+x+=;“第三点第三点”(即图像下即图像下降时与降时与x x轴的交点轴的交点)时时x+x+=;=;“第四点第四点”(即图像的即图像的“谷谷点点”)时时x+x+=；“第五点第五点”时时x+x+=2.=2.【提醒提醒】在求在求时要注意已知中所给的时要注意已知中所给的的范围的范围.【例例2 2】(1)(2012(1)(2012安庆模拟安庆模拟)已知函数已知函数y=y=Asin(x+Asin(x+)+B(A)+B(A0,0,0,|0,|)的周期为的周期为T T，在一个周期内的图像，在一个周期
14、内的图像如图所示，则正确的结论是如图所示，则正确的结论是()()(2)(2012(2)(2012南昌模拟南昌模拟)函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+)()(0,|0,|)在一个周期内的图像如图所示，此函数的解析式为在一个周期内的图像如图所示，此函数的解析式为()()(3)(3)如图是如图是f(xf(x)Asin(xAsin(x)，A A0 0，0,0,的一段图像，则函数的一段图像，则函数f(xf(x)的解析式为的解析式为_._.【解题指南解题指南】根据图像得出相应系数的值，即可求得解析式根据图像得出相应系数的值，即可求得解析式.【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.C.由图像知由图
15、像知 故选故选C.C.(2)(2)选选A.A.由图像知由图像知A=2A=2，T=2T=2=.=.=2=2，y=2sin(2x+y=2sin(2x+).).又又y=2sin(2x+y=2sin(2x+).).(3)(3)由图像得由图像得A=2A=2，当，当x=0 x=0时，时，因为因为 所以所以由题图可知所以所以由题图可知=3=3，所以，所以f(x)=2sin(3x+f(x)=2sin(3x+).).答案：答案：f(xf(x)=2sin(3x+)=2sin(3x+)【反思反思感悟感悟】1 1振幅振幅A A与最值有关；与最值有关；与周期与周期T T有关；初相有关；初相用待定系数法求解用待定系数法求
16、解;2 2利用待定系数法解题的过程中选择的点要慎重利用待定系数法解题的过程中选择的点要慎重;3 3要善于观察图像，抓住图像的特征要善于观察图像，抓住图像的特征.三角函数性质的应用三角函数性质的应用【方法点睛方法点睛】函数函数y=y=Asin(x+Asin(x+)(A)(A0,0,0)0)的性质的性质(1)(1)奇偶性奇偶性=kk时，函数时，函数y=y=Asin(x+Asin(x+)为奇函数；为奇函数；=kk+(+(kZkZ)时，函数时，函数y=y=Asin(x+Asin(x+)为偶函数为偶函数.(2)(2)周期性周期性y=y=Asin(x+Asin(x+)存在周期性，其最小正周期为存在周期性，
17、其最小正周期为 (3)(3)单调性单调性根据根据y=y=sintsint和和t=t=x+x+的单调性来研究的单调性来研究,由由 得单调增区间；由得单调增区间；由 得单调减区间得单调减区间.(4)(4)对称性对称性利用利用y ysinxsinx的对称中心为的对称中心为(kk，0)(kZ)0)(kZ)求解，令求解，令x+x+=k(kZk(kZ),),得其对称中心得其对称中心;利用利用y=y=sinxsinx的对称轴为的对称轴为x=x=k k+(k kZ Z)求解求解,令令x+x+=k k+(k kZ Z),),得其对称轴得其对称轴.【例例3 3】已知函数已知函数f(xf(x)=)=Asin(x+A
18、sin(x+)(A)(A0,0,|0,0,|)|10.5,(3)f(t)10.5,即即则则所以所以49t292,292-49=243,49t0,-0,-0,0,0,0,|)|)在一个周期内，当在一个周期内，当 时，时，y y取最小值取最小值-3-3；当；当 时，时，y y取最大值取最大值3.3.(1)(1)求求f(xf(x)的解析式；的解析式；（2 2）求）求f(xf(x)在区间在区间 上的最值上的最值.【解析解析】(1)(1)在一个周期内，当在一个周期内，当x=x=时，时，y y取最小值取最小值-3-3；当；当 时，时，y y取最大值取最大值3 3，T=T=，=2,=2,f(xf(x)=3sin(2x+)=3sin(2x+),),由当由当 时，时，y y取最大值取最大值3 3得得（2 2）