《理论力学13.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理论力学13.ppt（40页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第十三章 达朗贝尔原理 达朗贝尔原理 刚体惯性力系的简化 前面介绍的动力学普遍定理,为解决质点系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗贝尔原理为解决非自由质点系动力学问题提供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是：用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题,因此这种方法又叫动静法。由于静力学研究平衡问题的方法比较简单,也容易掌握,因此动静法在工程中被广泛使用。引言 设一质点质量为m,加速度为a,作用于质点的主动力为F,约束反力为FN。由牛顿第二定律，有将上式改写成令13.1 质点的达朗贝尔原理FI具有力的量纲,且与质点的质量有关，称其为质点的惯性力。它的大小等于质点的质量与加速度的乘积,方
2、向与质点加速度的方向相反。FImFFNa即：在质点运动的任一瞬时,作用于质点上的主动力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。则有应该强调指出，质点并非处于平衡状态，这样做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。达朗贝尔原理与虚位移原理构成了分析力学的基础。13.1 质点的达朗贝尔原理 例例1 球球磨磨机机的的滚滚筒筒以以匀匀角角速速度度w w 绕绕水水平平轴轴O转转动动,内内装装钢钢球球和和需需要要粉粉碎碎的的物物料料,钢钢球球被被筒筒壁壁带带到到一一定定高高度度脱脱离离筒筒壁壁,然然后后沿沿抛抛物物线线轨轨迹迹自自由由落落下下,从从而而击碎物料击
3、碎物料,如图。设滚筒内壁半径为如图。设滚筒内壁半径为r,试求钢球的脱离角试求钢球的脱离角。解解：以以某某一一尚尚未未脱脱离离筒筒壁壁的的钢钢球球为为研研究究对对象象,受受力力如如图图。钢钢球球未未脱脱离离筒壁前筒壁前,作圆周运动作圆周运动,其加速度为其加速度为惯性力惯性力FI的大小为的大小为假想地加上惯性力假想地加上惯性力,由达朗贝尔原理由达朗贝尔原理OMrFFNmgFI 这这就就是是钢钢球球在在任任一一位位置置q q 时时所所受受的的法法向向反反力力,显显然然当当钢钢球球脱脱离离筒筒壁壁时时,FN0,由此可求出其脱离角由此可求出其脱离角 为为 设质点系由 n 个质点组成,其中任一质点i的质量
4、为mi,其加速度为ai,把作用在此质点上的力分为主动力的合力Fi、约束力的合力为FNi，对这个质点上假想地加上它的惯性力FIi-miai,则由质点的达朗贝尔原理,有13.2 质点系的达朗贝尔原理即：质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。把作用在第i个质点上的所有力分为外力的合力为Fi(e),内力的合力为Fi(i)，则有13.2 质点系的达朗贝尔原理质点系中第i个质点上作用的外力、内力和它的惯性力在形式上组成平衡力系。由静力学知，空间任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即因为质点系的内力总是成对出现,且等值
5、、反向、共线,因此有Fi(i)=0和MO(Fi(i)=0,于是的有 即：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。这是质点系达朗贝尔原理的又一表述。13.2 质点系的达朗贝尔原理称FIi为惯性力系的主矢，MO(FIi)为惯性力系的主矩。例例2 重重P长长l的的等等截截面面均均质质细细杆杆AB,其其A端端铰铰接接于于铅铅直直轴轴AC上上,并并以以匀匀角角速速度度w w 绕该轴转动绕该轴转动,如图。求角速度如图。求角速度w w 与角与角q q 的关系。的关系。解：以杆解：以杆AB为研究对象为研究对象,受力如图。受力如图。杆杆AB匀匀速速转转动动,杆杆上上距距A点点x
6、x 的的微微元元段段dx x 的加速度的大小为的加速度的大小为 微微元元段段的的质质量量dmPdx x/gl。在在该该微微元元段段虚加惯性力虚加惯性力dFI,它的大小为它的大小为xdxdFIanBACyxBAxdPFAxFAyFI 于是整个杆的惯性力的合力的大小为于是整个杆的惯性力的合力的大小为设力设力FI 的作用点到点的作用点到点A的距离为的距离为d,由合力矩定理由合力矩定理,有有即假想地加上惯性力假想地加上惯性力,由质点系的达朗贝尔原理由质点系的达朗贝尔原理BAxdPFAxFAyFI代入代入FI 的数值的数值,有有故有故有q q0或或OxyF FI Ii idF FT TF FT T OR
7、例例 3 已已知知：m，R，。求：轮缘横截面的张力。求：轮缘横截面的张力。解：解：取上半部分轮缘为研究对象取上半部分轮缘为研究对象 用质点系的达朗贝尔原理求解质点系的动力学问题，需要对质点内每个质点加上各自的惯性力，这些惯性力也形成一个力系，称为惯性力系。下面用静力学力系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩。以FIR表示惯性力系的主矢。由质心运动定理及质点系的达朗贝尔原理13.3 刚体惯性力系的简化得此式表明：无论刚体作什么运动,惯性力系的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积,方向与质心加速度的方向相反。13.3 刚体惯性力系的简化由静力学中任意力系简化理论知，主矢的大小和方向与简化中心的位
8、置无关，主矩一般与简化中心的位置有关。下面就刚体平移、定轴转动和平面运动讨论惯性力系的简化结果。刚体平移时，刚体内任一质点i的加速度ai与质心的加速度aC相同，有ai aC，任选一点O为简化中心，主矩用MIO表示，有1.刚体作平移a11FI1aiiFIiCOrCaC 1.刚体作平移13.3 刚体惯性力系的简化式中，rC为质心C到简化中心O的矢径。若选质心C为简化中心，主矩以MIC表示，则rC0，有综上可得结论：平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力,其大小等于刚体的质量与加速度的乘积,合力的方向与加速度方向相反。a11FI1aiiFIiCOrCaC 2.刚体绕定轴转动 如图所示,具有质量对
9、称面且绕垂直于质量对称面的轴转动的刚体。其上任一点的惯性力的分量的大小为方向如图所示。该惯性力系对转轴O的主矩为13.3 刚体惯性力系的简化FIinFIitiOMIOri一般证明 由于FIin通过O点,则有 MO(FIin)=0,所以即13.3 刚体惯性力系的简化 综上可得结论：定轴转动刚体的惯性力系,可以简化为通过转轴O的一个惯性力FIR和一个惯性力偶MIO。力FIR的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积,方向与质心加速度的方向相反，作用线通过转轴；力偶MIO的矩等于刚体对转轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积,转向与角加速度的转向相反。现在讨论以下三种特殊情况：2.当刚体作匀速转动时,
10、0,若转轴不过质心,惯性力系简化为一惯性力FI,且FI maC,同时力的作用线通过转轴O。1.当转轴通过质心C时,aC0,FI0,MICJC。此时惯性力系简化为一惯性力偶。3.当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时,FI0,MIC0,惯性力系自成平衡力系。13.3 刚体惯性力系的简化3.刚体作平面运动(平行于质量对称面）工程中，作平面运动的刚体常常有质量对称平面，且平行于此平面运动。当刚体作平面运动时，其上各质点的惯性力组成的空间力系，可简化为在质量对称平面内的平面力系。13.3 刚体惯性力系的简化 取质量对称平面内的平面图形如图所示,取质心C为基点,设质心的加速度为aC，绕质心转动的角速度为，角
11、加速度为，与刚体绕定轴转动相似，此时惯性力系向质心C简化的主矩为FIRCMICaC综上可得结论：有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为在此平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积,其方向与质心加速度的方向相反；这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积,转向与角加速度相反。13.3 刚体惯性力系的简化DBA 例例3 如如图图所所示示,均均质质杆杆AB的的质质量量m40 kg,长长l4 m,A点点以以铰铰链链连连接接于于小小车车上上。不不计计摩摩擦擦,当当小小车车以以加加速速度度a15 m/s2向向
12、左左运运动动时时,求求D处和铰处和铰A处的约束反力。处的约束反力。解解：以以杆杆为为研研究究对对象象,受受力力如如图图,建建立如图坐标。立如图坐标。杆杆作作平平动动,惯惯性性力力的的大大小小为为FIma。假假想想地地加加上上惯惯性性力力,则则由由质质点点系系的的达达朗朗贝贝尔原理尔原理于是得于是得FIlA30DBh1maaFDmgFAxFAyxy 代入数据代入数据,解之得：解之得：DBAFIaFDmgFAxFAyxyBC 例例4 均均质质杆杆AB长长l,重重W,B端端与与重重G、半半径径为为r的的均均质质圆圆轮轮铰铰接接。在在圆圆轮轮上上作作用用一一矩矩为为M的的力力偶偶,借借助助于于细细绳绳
13、提提升升重重为为P的的重重物物C。试试求求固固定定端端A的的约束反力。约束反力。解解：先先以以轮轮和和重重物物为为研研究究对对象象,受受力力如图。假想地加上惯性力如图。假想地加上惯性力由质点系的达朗贝尔原理由质点系的达朗贝尔原理aMGFBxFByMIBPFIC代入代入MIB 和和FIC得得 再再以以整整体体为为研研究究对对象象,受受力力如如图图,假假想地加上惯性力想地加上惯性力BCAaMGFAxFAyMIBPFICWmA代入代入MIB 和和FIC解得解得由质点系的达朗贝尔原理由质点系的达朗贝尔原理jOxyCBA 质质量量为为m,长长为为l的的均均质质直直杆杆AB的的一一端端A焊焊接接于于半半径
14、径为为r的的圆圆盘盘边边缘缘上上,如如图图。今今圆圆盘盘以以角角加加速速度度 绕绕其其中中心心O转转动动。求求圆圆盘盘开开始始转转动动时时,AB杆杆上上焊焊接接点点A处的约束反力。处的约束反力。解解：以以杆杆为为研研究究对对象象,受受力力如如图图,建建立立如如图坐标。图坐标。将惯性力系向转轴简化将惯性力系向转轴简化,惯性力的大小为惯性力的大小为OrABlmgaCFIMIOFAxFAymA 由质点系的达朗贝尔原理由质点系的达朗贝尔原理CBAmgaCFIMIOFAxFAymAjOxy将已知数值代入以上三式将已知数值代入以上三式,解之得解之得rC 例例6 重重P、半半径径为为r的的均均质质圆圆轮轮沿
15、沿倾倾角角为为q q 的的斜斜面面向向下下滚滚动动。求求轮轮心心C的的加加速度速度,并求圆轮不滑动的最小摩擦系数。并求圆轮不滑动的最小摩擦系数。解：以解：以圆轮圆轮为研究对象为研究对象,受力如图受力如图,建立如图坐标。建立如图坐标。圆轮作平面运动圆轮作平面运动,轮心作直线运动轮心作直线运动,则则将将惯惯性性力力系系向向质质心心简简化化,惯惯性性力力和和惯惯性性力力偶偶矩矩的的大大小小为为CrFSFIMIFNPxyaC则由质点系的达朗贝尔原理则由质点系的达朗贝尔原理 解之得解之得由于圆轮没有滑动由于圆轮没有滑动,则则Ff N,即即由此得由此得所以所以,圆轮不滑动时圆轮不滑动时,最小摩擦系数最小摩
16、擦系数rCFSFIMIFNPxyaC例题例题 9 已知已知两均质直杆自水平位置无初速地释放。两均质直杆自水平位置无初速地释放。求求两杆的两杆的角加速度和角加速度和O、A处的约束反力。处的约束反力。解解:(1)取系统为研究对象取系统为研究对象ABOMI1MI2mgmgFI2FI1F FOyOyF FOxOxBAO12(2)取取AB 杆为研究对象杆为研究对象MI2mgFI2FAy yFAxBA2(3)取取AB 杆为研究对象杆为研究对象MI2mgFI2FAyFAxBA 2(4)取系统为研究对象取系统为研究对象MI1MI2mgmgF FI I2 2F FI I1 1F FOyOyF FOxOxBAO
17、1 2 2 例例7 均均质质杆杆的的质质量量为为m,长长为为2l,一一端端放放在在光光滑滑地地面面上上,并并用用两两软软绳绳支支持持,如如图图所所示示。求求当当BD绳绳切切断断的的瞬时瞬时,B点的加速度点的加速度AE绳的拉力及地面的反力。绳的拉力及地面的反力。解解：以以AB杆杆为为研研究究对对象象,杆杆AB作作平平面面运运动动,如如图图,以以B点为基点点为基点,则则C点的加速度为点的加速度为其中其中将将惯惯性性力力系系向向质质心心C简简化化,得得惯惯性性力力FIFIeFIr,其其中中FIe maB,FIr matCB ml 和和惯惯性性力力偶偶,其其力偶的矩为力偶的矩为AECBxy30oBCA
18、ED30oFTFNmgFIeFIrMIaBaBa tCB 在在BD绳切断的瞬时绳切断的瞬时,受力如图受力如图,建立如图坐标。建立如图坐标。由质点系的达朗贝尔原理由质点系的达朗贝尔原理AECBxy30oFTFNmgFIeFIrMIBA30ox x以以B为基点为基点,则则A点的加速度为点的加速度为其中其中将上式投影到将上式投影到x x 轴上得轴上得联立求解（联立求解（1）（4）式）式,得得aBaBa tCB a tA 例例8 如图所示,均质杆AB长为l,重为Q,上端B靠在半径为R的光滑圆弧上（R=l）,下端A以铰链和均质圆轮中心A相连,圆轮重P,半径为r,放在粗糙的地面上,由静止开始滚动而不滑动。
19、若运动开始瞬时杆与水平线所成夹角 ,求此瞬时A点的加速度。轮轮和和杆杆均均作作平平面面运运动动,将将惯惯性性力力系系分分别别向向质质心心简简化化,则则惯惯性性力力和和惯惯性性力偶的矩的大小分别为力偶的矩的大小分别为 解解：设设系系统统运运动动的的初初瞬瞬时时,圆圆轮轮中中心心的的加加速速度度为为 ,角角加加速速度度为为 ；AB杆杆的的角角加加速速度度为为 ,质质心心C的加速度为的加速度为 、。如图。如图。先先以以整整体体为为研研究究对对象象,受受力力如如图图。假假想想地地加加上上惯惯性性力力和和惯惯性性力力偶偶,则则由质点系的达朗贝尔原理由质点系的达朗贝尔原理(1)再再以以AB为为研研究究对对
20、象象,受受力力如如图图。假假想想地地加加上上惯性力和惯性力偶惯性力和惯性力偶,则由质点系的达朗贝尔原理则由质点系的达朗贝尔原理（2）AB杆作平面运动杆作平面运动,先以先以B点为基点点为基点,则则A点的加速度为点的加速度为其中其中其加速度合成矢量图如图所示。其加速度合成矢量图如图所示。将其投影于 轴,得（3）再以再以A为基点为基点,则则C点的加速度为点的加速度为其中其中,加速度合成矢量图如图。加速度合成矢量图如图。将其投影于将其投影于 、轴轴,得得（4）（5）由式（由式（3）、（）、（4）、（）、（5）可将）可将 、都化为都化为 的函数的函数,即即 将其代入式（将其代入式（1）、（）、（2）,并取并取 ,联立该两方程可解得联立该两方程可解得