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1、关于函数极限的定义第一页，本课件共有40页一、一、函数在有限点处的极限函数在有限点处的极限 在上节中，我们讨论了数列的极限在上节中，我们讨论了数列的极限.而我们又知道数而我们又知道数列是一种特殊的函数列是一种特殊的函数定义在正整数集上的函数定义在正整数集上的函数.那那么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全面引入函数极限的定义面引入函数极限的定义.第二页，本课件共有40页引例引例 设函数设函数尽管函数在点尽管函数在点 处没有定义，处没有定义，但当但当 无限趋近于无限趋近于1而不等于而不等于1时，时，相应相应 无限趋近于无限趋近于2.第三页
2、，本课件共有40页或或定义定义 设函数设函数 在点在点 的某个空心邻域中有定义，的某个空心邻域中有定义，如果存在常数如果存在常数 ，使得对于任意给定的正数，使得对于任意给定的正数 ，总存在，总存在正数正数 ，对于满足对于满足 的一切的一切 ，都有，都有那么常数那么常数 就称作函数就称作函数 当当 时的时的极限极限极限极限，记，记为为第四页，本课件共有40页函数极限函数极限 的几何意义的几何意义 对于任意对于任意 ，对满足对满足 的一切的一切 ，都有都有总存在正数总存在正数 ，第五页，本课件共有40页例例 函数函数 注注1：函数：函数 在点在点 处的极限与函数在这一点是否有处的极限与函数在这一点
3、是否有定义、或定义、或 为多少毫无关系，它所反映的是为多少毫无关系，它所反映的是 在在则有则有该点附近该点附近的变化趋势的变化趋势.第六页，本课件共有40页经过不等式的变形，得到关系经过不等式的变形，得到关系 注注2:函数函数 在点在点 的极限的定义说明了如何去证明的极限的定义说明了如何去证明其中其中 是一个与是一个与 无关的常量无关的常量.再取再取 ，则当，则当函数函数 在点在点 的极限为的极限为 的方法：对于的方法：对于 考虑考虑 时，有：时，有：第七页，本课件共有40页此即说明此即说明第八页，本课件共有40页例例1 证明下列极限证明下列极限 证证 因因所以所以,取取 ，当，当 时，可使时
4、，可使 故故第九页，本课件共有40页因因欲使欲使 即即所以所以 不妨取不妨取 此时令此时令则当则当 时，有时，有因而因而第十页，本课件共有40页例例2 证明证明 证证 因因所以所以,取取 ，当，当 ，可使，可使 所以所以第十一页，本课件共有40页例例3 证明证明 证证 因因为能解出不等式为能解出不等式 ，要对，要对 进行适当的控制，进行适当的控制，为此限定为此限定 的变化范围为的变化范围为 ，此时有，此时有所以所以,取取 ，当，当 时时，可使可使所以所以第十二页，本课件共有40页证证 因因例例4 证明证明 取取 即即 所以所以所以所以,取取 ，当，当 时时，第十三页，本课件共有40页所以所以第
5、十四页，本课件共有40页证证 因因例例5 设设 ，证明，证明 所以所以,取取 ，当，当 时时，可使可使所以所以第十五页，本课件共有40页左右极限考虑函数考虑函数:是当是当 在该点两侧趋近于在该点两侧趋近于 时，函数有一个确定的变化时，函数有一个确定的变化趋势趋势.但某种情况下，函数在两侧的趋势是不同的，但某种情况下，函数在两侧的趋势是不同的，这就需要分别加以讨论这就需要分别加以讨论.前面讨论的是函数前面讨论的是函数 在某一点在某一点 的极限，它反映的的极限，它反映的第十六页，本课件共有40页该函数在点该函数在点 两侧的变化趋势是不同的两侧的变化趋势是不同的:当当 在在 0 的右侧趋近于的右侧趋
6、近于 0 时，时，当当 在在 0 的左侧趋近于的左侧趋近于 0 时，时，这就导出左右极限的概念这就导出左右极限的概念.第十七页，本课件共有40页那么那么 称作称作 在在 处的处的左极限左极限，记为，记为左极限定义：若左极限定义：若 当当 时，时，使得使得那么那么 称作称作 在在 处的处的右极限右极限，记为，记为右极限定义：若右极限定义：若 当当 时，时，使得使得或或或或第十八页，本课件共有40页容易证明：容易证明：例如：例如：定理定理 极限极限 存在的充分必要条件是存在的充分必要条件是 在点在点 处的左右极限存在并且相等处的左右极限存在并且相等.即即 存在存在 均存在，且均存在，且第十九页，本
7、课件共有40页解解 因因例例6 说明极限说明极限 不存在不存在.所以极限所以极限 不存在不存在.第二十页，本课件共有40页二、函数在无穷远处的极限二、函数在无穷远处的极限定义定义 设函数设函数 在在 时有定义，时有定义，为常数为常数.若若 ，当，当 时，使得时，使得则则 称为函数称为函数 在在 时的极限，记为时的极限，记为或或若若 ，当，当 时，使得时，使得则则 称为函数称为函数 在在 时的极限，记为时的极限，记为或或第二十一页，本课件共有40页若若 ，当，当 时，使得时，使得则则 称为函数称为函数 在在 时的极限，记为时的极限，记为或或第二十二页，本课件共有40页例例7 证明证明 证证 因因
8、所以所以,取取 ，当，当 时时，使得，使得所以所以第二十三页，本课件共有40页例例8 证明证明 证证 因因只要只要 ，即，即所以所以,取取 ，当，当 时时，使得，使得所以所以类似可证类似可证 第二十四页，本课件共有40页证证 因因例例9 证明证明 所以所以,取取 ，当，当 时时，使得，使得所以所以第二十五页，本课件共有40页例例10 证明证明 所以所以,取取 ，当，当 时时，使得，使得证证 因因当当 时，则有不等式时，则有不等式第二十六页，本课件共有40页所以所以第二十七页，本课件共有40页三、极限的性质三、极限的性质第二十八页，本课件共有40页即：即：在在 的某个空心邻域内有界的某个空心邻域
9、内有界.定理定理1 (局部有界性局部有界性)如果极限如果极限 存在存在，证证 设设 ，由定义，对，由定义，对 存在存在当当 ，即，即 有有那么在那么在 的某个空心邻域内，函数的某个空心邻域内，函数 有界有界.第二十九页，本课件共有40页证证 设设 ，由定义，对，由定义，对 存在存在当当 时，有时，有 从而从而定理定理 (有界性有界性)如果极限如果极限 存在存在，那么存在，那么存在取取 ，则对所有的，则对所有的 ，有，有使得对所有的使得对所有的 ，有，有第三十页，本课件共有40页定理定理定理定理2 (2 (极限的保号性极限的保号性极限的保号性极限的保号性)如果如果 ，则存在点，则存在点的某个空心
10、邻域内，使得在该邻域中有：的某个空心邻域内，使得在该邻域中有：证证 设设 ，由定义，对，由定义，对 存在存在当当 时，有时，有第三十一页，本课件共有40页定理定理定理定理2 (2 (保号性保号性保号性保号性)如果如果 ，则存在正整数，则存在正整数当当 时，有：时，有：推论推论 在在 的某个空心领域中，有的某个空心领域中，有 且且则则注意：如果推论的条件改成注意：如果推论的条件改成 （严格大于），则（严格大于），则不能推出不能推出 例如例如 时时 但但第三十二页，本课件共有40页证证 设设 ，则，则 当当 时，时，定理定理3(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关
11、系函数极限与数列极限的关系)则此数列相应的函数值数列则此数列相应的函数值数列 收敛，且收敛，且设设 存在，又设存在，又设 是函数是函数 定义域中的定义域中的一个任意数列，一个任意数列，且且第三十三页，本课件共有40页由条件由条件 故对故对 ，当，当 时，有时，有 即即因而因而即即第三十四页，本课件共有40页第三十五页，本课件共有40页此定理的一个实际意义是：此定理的一个实际意义是：使其函数值数列收敛到两个不同的值，即使其函数值数列收敛到两个不同的值，即如果能够找到自变量的两个不同子列如果能够找到自变量的两个不同子列则说明函数在这一点无极限则说明函数在这一点无极限.第三十六页，本课件共有40页所以所以 不存在不存在.例例 证明函数证明函数 在在 时极限不存在时极限不存在.证证 令令则则但但第三十七页，本课件共有40页第三十八页，本课件共有40页对于数列，有对于数列，有定理定理 设设 存在，则对于存在，则对于 的任一子列的任一子列用此定理，即可说明数列用此定理，即可说明数列 的极限不存在的极限不存在.有有第三十九页，本课件共有40页感感谢谢大大家家观观看看08.12.2022第四十页，本课件共有40页