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1、上一页上一页下一页下一页返回返回关于函数的极限(3)第一页，本课件共有47页一、自变量趋于无穷大时函数的极限数列可以看作是自变量为正整数的一数列可以看作是自变量为正整数的一个函数，那么，对于函数就有如下问题：个函数，那么，对于函数就有如下问题：数列极限的直观意义是：当数列极限的直观意义是：当n无限增大时，无限增大时，数列的项数列的项xn无限接近某一个常数无限接近某一个常数A.第二页，本课件共有47页播放播放第三页，本课件共有47页通过上面演示实验的观察可知通过上面演示实验的观察可知:我们把常数我们把常数称为函数称为函数当当时的极限。时的极限。一般说来：一般说来：如果在如果在x(|x|无限增大）
2、的无限增大）的过过程中，程中，那么常数那么常数称为函数称为函数f(x)当当x时的时的极限极限 对应的函数值对应的函数值f(x)无限地接近于某一个无限地接近于某一个常数常数，第四页，本课件共有47页问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.第五页，本课件共有47页 1、定义：、定义：,如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数e e（不论它多么小不论它多么小），），总存在着正数总存在着正数X，使得对于适合使得对于适合|x|X的一切的一切x,不等式不等式|f(x)-A|e e 恒成立，恒成立，那么常数那么常数 A 就叫就叫函数函数)(xf当当 x时的极限时的极限
3、记作记作)()()(lim =xAxfAxfx当当或或设函数设函数f(x)当当|x|大于某一正数时有定义。大于某一正数时有定义。第六页，本课件共有47页2、几点说明、几点说明:（1）定义中的定义中的是用来刻画是用来刻画 f(x)与与 A的接近程的接近程度，正数度，正数X是用来刻画是用来刻画|x|充分大的程度，充分大的程度，X是随是随而确而确定；定；第七页，本课件共有47页(2)、几何意义、几何意义:第八页，本课件共有47页（）另两种情形（）另两种情形:第九页，本课件共有47页例例1证明证明证证y是水平渐近线第十页，本课件共有47页例例2证证第十一页，本课件共有47页二、自变量趋于有限值时函数的
4、极限11考察函数考察函数当当x趋趋于于1时时的的变变化化趋势趋势 虽然虽然f(x)在在x=1处无定义，处无定义，但当但当x1而趋于而趋于1时，时，对应的函数值对应的函数值无限地接近于常数无限地接近于常数1结果：结果：第二十页，本课件共有47页 如果如果x趋于趋于x0时，对应的函数值时，对应的函数值f(x)无无限接近限接近于常数于常数A,那么就说常数那么就说常数是函数是函数f(x)当当xx0时的时的极限极限.一般地，一般地，记作记作或或第二十一页，本课件共有47页第二十二页，本课件共有47页定义：定义：d d-00 xx的一切的一切x,对应的函数值对应的函数值f(x)都满足不等式都满足不等式e
5、e-Axf)(那末常数那末常数A就叫函数就叫函数f(x)当当xx0 0时的极限时的极限设函数在的某一去心邻域内有定义，设函数在的某一去心邻域内有定义，A是一个是一个常数常数如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数(不论它多么不论它多么小小)，总存在正数，总存在正数，使得对于适合不等式使得对于适合不等式第二十三页，本课件共有47页2、几何解释、几何解释:注意：注意：第二十四页，本课件共有47页例例3证证例例4证证第二十五页，本课件共有47页例例5证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.证明证明 只要取只要取 就有就有 当当 时，时，第二十六页，本课件共有47页例例证证第二十七页，本课
6、件共有47页例如例如,三、函数的单侧极限第二十八页，本课件共有47页左极限左极限右极限右极限第二十九页，本课件共有47页左极限左极限右极限右极限精确定义精确定义 第三十页，本课件共有47页左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例证证第三十一页，本课件共有47页上一页上一页下一页下一页返回返回1例例 设函数设函数，求，求解解 函数的图像如图，函数的图像如图，即有，即有，所以，所以，不存在不存在 由于由于11yxO第三十二页，本课件共有47页四、函数极限的性质2.有界性有界性1.唯一性唯一性第三十三页，本课件共有47页定理定理(保号性保号性)推论推论3.保号性保号性第三十四页，本课件共有47
7、页推论推论4.保序性保序性定理定理(保序性保序性)第三十五页，本课件共有47页.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定义定义定理定理第三十六页，本课件共有47页证证第三十七页，本课件共有47页例如例如,函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在存在,且相等且相等.第三十八页，本课件共有47页例例7证证第三十九页，本课件共有47页二者不相等二者不相等,第四十页，本课件共有47页四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)第四十一页，本课件共有47页过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 第四十二页，本课件共有47页思考题思考题第四十三页，本课件共有47页思考题解答思考题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.第四十四页，本课件共有47页一、填空题一、填空题:练练 习习 题题第四十五页，本课件共有47页第四十六页，本课件共有47页上一页上一页下一页下一页返回返回感谢大家观看10.12.2022第四十七页，本课件共有47页