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1、第四章 统计量与抽样分布第一页，本课件共有29页4.1 总体和样本的统计分布p1.总体分布和样本性质 总体总体 研究对象全体元素组成的集合 所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X.第二页，本课件共有29页即总体的每个数量指标,可看作随机变量 X 的某个取值.用 表示.样本样本 从总体中抽取的部分个体.称 为总体 X 的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现.用 表示,n 为样本容量.样本空间样本空间 样本所有可能取值的集合.第三页，本课件共有29页若总体 X 的样本 满足:一般,对有限总体,放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,
2、常用不放回抽样代替.(1)与X 有相同的分布(2)相互独立则称 为简单随机样本.简单随机样本简单随机样本第四页，本课件共有29页设总体 X 的分布函数为F(x),则样本若总体X 的密 d.f.为 f(x),则样本的联合 d.f.为的联合分布函数为第五页，本课件共有29页例如例如 设某批产品共有N 个,其中的次品数为M,其次品率为 若 p 是未知的,则可用抽样方法来估计它.X 服从参数为p 的0-1分布,可用如下表示方法:从这批产品中任取一个产品,用随机变量X来描述它是否是次品:第六页，本课件共有29页设有放回地抽取一个容量为 n 的样本的联合分布为其样本值为样本空间为第七页，本课件共有29页设
3、 是取自总体X 的一个样本,为一实值连续函数,且不含有未知参数,则称随机变量为统计量统计量.若是一个样本值,称的一个样本值为统计量定义定义4.2 统计量统计量第八页，本课件共有29页例例 是未知参数,若 ,已知,则为统计量是一样本,是统计量,其中则但不是统计量.第九页，本课件共有29页常用的统计量常用的统计量为样本均值样本均值为样本方差样本方差为样本标准差样本标准差设是来自总体 X 的容量为 n 的样本,称统计量第十页，本课件共有29页为样本的k 阶原点矩原点矩为样本的k 阶中心矩中心矩例如第十一页，本课件共有29页顺序统计量顺序统计量设为样本,为样本值,且当取值为时,定义 r.v.则称统计量
4、为顺序统计量顺序统计量.其中,称为极差极差第十二页，本课件共有29页独立独立,与总体同分布与总体同分布独立独立,与与 同分布同分布由辛钦大数定律知由辛钦大数定律知都存在都存在设设为来自总体为来自总体的样本的样本,总体总体 阶矩阶矩其中其中 为连续函数为连续函数第十三页，本课件共有29页设总体设总体 的均值和方差的均值和方差是来自总体是来自总体 的样本，则的样本，则都存在都存在.第十四页，本课件共有29页是全体实验数据是全体实验数据的平均值的平均值是是数据数据的中心的中心反映了实验数据反映了实验数据 与数据与数据中心的偏离程度，反映了全体实验中心的偏离程度，反映了全体实验数据数据 的离散程度的离
5、散程度第十五页，本课件共有29页4.3 抽样分布包含了各种有用信息包含了各种有用信息包含了各种有用信息包含了各种有用信息集中、提炼数据中包集中、提炼数据中包集中、提炼数据中包集中、提炼数据中包含的有用信息含的有用信息含的有用信息含的有用信息 它们是随机变量它们是随机变量,必须确定其分布，称必须确定其分布，称必须确定其分布，称必须确定其分布，称为抽样分布为抽样分布为抽样分布为抽样分布来自标准正态总体的抽样分布来自标准正态总体的抽样分布来自一般正态总体的抽样分布来自一般正态总体的抽样分布来自一般正态总体的抽样分布来自一般正态总体的抽样分布分布分布 分布分布 分布分布五个抽样分布定理五个抽样分布定理
6、第十六页，本课件共有29页随着自由度的增随着自由度的增随着自由度的增随着自由度的增加曲线重心向右加曲线重心向右加曲线重心向右加曲线重心向右下方移动下方移动下方移动下方移动(一)-分布是来自总体是来自总体设设的样本的样本,令令 称称 服从服从自由度自由度为为 的的 分布分布，记为，记为且且 相互独立相互独立,则则设设且且设设相互独立相互独立,则则则则,于是于是于是于是理解为可独立变化的理解为可独立变化的r.vr.v个数个数则则设设取取 个独立同分布个独立同分布 的的则则 与与同分布同分布第十七页，本课件共有29页随着自由度的随着自由度的增加曲线越来增加曲线越来越趋近越趋近(二)且且设设相互独立相
7、互独立,令令 称称 服从服从自由度自由度为为 的的 分布分布，记为，记为易知：易知：易知：易知：利用伽马函数利用伽马函数利用伽马函数利用伽马函数的斯特林公式的斯特林公式的斯特林公式的斯特林公式即即故当故当 较大时较大时,可认为可认为 英国统计学家兼化学家戈塞特英国统计学家兼化学家戈塞特(Gosset W S 1876-1937Gosset W S 1876-1937 )于于1908年年用笔名用笔名Student 发表了关于发表了关于发表了关于发表了关于 t t 分布的论文分布的论文分布的论文分布的论文,这是一篇在这是一篇在这是一篇在这是一篇在统计学发展史上划时代的文章统计学发展史上划时代的文章
8、统计学发展史上划时代的文章统计学发展史上划时代的文章,它创立了小样本代替大样本的方它创立了小样本代替大样本的方它创立了小样本代替大样本的方它创立了小样本代替大样本的方法，开创了现代统计学的新纪元法，开创了现代统计学的新纪元法，开创了现代统计学的新纪元法，开创了现代统计学的新纪元.Gosset,Student 的的最最后后一一个个字字母母都都是是t t,故故故故取取取取名名名名为为为为“t 分分布布”,又称为又称为又称为又称为“学生氏分布学生氏分布学生氏分布学生氏分布”.”.-分布是怎样产生的分布是怎样产生的第十八页，本课件共有29页(三)且且设设相互独立相互独立,令令 称称 服从服从自由度自由
9、度为为 的的 分布分布，记为，记为若若则则分布是为了纪念著名统计学家分布是为了纪念著名统计学家费歇耳费歇耳费歇耳费歇耳(R.A.Fisher 1890-1962R.A.Fisher 1890-1962)而命名而命名而命名而命名第十九页，本课件共有29页2.抽样分布定理如何由样本如何由样本 推断推断对对 的推断是通过构造统计量实现的的推断是通过构造统计量实现的如何构造如何构造“好好”的统计量的统计量服从什么分布？服从什么分布？统计推断中最重要的结论：统计推断中最重要的结论：第二十页，本课件共有29页仍服从正态分布仍服从正态分布仍服从正态分布仍服从正态分布,且且的样的样设设是来自总体是来自总体本本
10、本本,则则独立同分布独立同分布由正态分布的性质知，线性组合由正态分布的性质知，线性组合第二十一页，本课件共有29页的样本，的样本，设设是总体是总体分别为样本均值和样本方差，则有分别为样本均值和样本方差，则有相互独立相互独立(证略证略)第二十二页，本课件共有29页的样本，的样本，设设是总体是总体分别为样本均值和样本方差，则有分别为样本均值和样本方差，则有由定理一、定理二有由定理一、定理二有由定理一、定理二有由定理一、定理二有且且 与与 独立独立，由，由 分布的定义有分布的定义有即即“平均平均”说来说来 与与 的差别不大的差别不大,故可用故可用 “代替代替”两个未知两个未知参数参数一个未知参数一个
11、未知参数第二十三页，本课件共有29页的样本；的样本；设设是总体是总体的样本的样本,且两样本相互独立且两样本相互独立,是总体是总体两样本均值和样本方差分别为两样本均值和样本方差分别为则则由定理二，有由定理二，有由定理二，有由定理二，有因两样本独立，故因两样本独立，故 独立独立第二十四页，本课件共有29页的样本；的样本；设设是总体是总体的样本的样本,且两样本相互独立且两样本相互独立,是总体是总体两样本均值和样本方差分别为两样本均值和样本方差分别为则则其中其中,且且 相互独立相互独立又又又又由由 的独立性及的独立性及 分布的可加性有分布的可加性有由两样本的独立性及由两样本的独立性及 分布的定义有分布
12、的定义有第二十五页，本课件共有29页面积为面积为则称则称 为分布密度为分布密度 的的上上 分位点分位点设设若若存在常数存在常数 满足满足的上的上 分位点记为分位点记为第二十六页，本课件共有29页则称则称 为分布密度为分布密度 的的上上 分位点分位点设设若若存在常数存在常数 满足满足的上的上 分位点记为分位点记为查标准正态分布表查标准正态分布表查标准正态分布表查标准正态分布表,可求得可求得第二十七页，本课件共有29页则称则称 为分布密度为分布密度 的的上上 分位点分位点设设若若存在常数存在常数 满足满足的上的上 分位点记为分位点记为查查 t 分布表分布表分布表分布表,可求得可求得可求得可求得第二十八页，本课件共有29页则称则称 为分布密度为分布密度 的的上上 分位点分位点设设若若存在常数存在常数 满足满足的上的上 分位点记为分位点记为查查 分布表分布表,可求得可求得若若 则则故故第二十九页，本课件共有29页