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1、第四章 统计量与抽样分布第1页，本讲稿共29页4.1 总体和样本的统计分布p1.总体分布和样本性质 总体总体 研究对象全体元素组成的集合 所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X.第2页，本讲稿共29页即总体的每个数量指标,可看作随机变量 X 的某个取值.用 表示.样本样本 从总体中抽取的部分个体.称 为总体 X 的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现.用 表示,n 为样本容量.样本空间样本空间 样本所有可能取值的集合.第3页，本讲稿共29页若总体 X 的样本 满足:一般,对有限总体,放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不
2、放回抽样代替.(1)与X 有相同的分布(2)相互独立则称 为简单随机样本.简单随机样本简单随机样本第4页，本讲稿共29页设总体 X 的分布函数为F(x),则样本若总体X 的密 d.f.为 f(x),则样本的联合 d.f.为的联合分布函数为第5页，本讲稿共29页例如例如 设某批产品共有N 个,其中的次品数为M,其次品率为 若 p 是未知的,则可用抽样方法来估计它.X 服从参数为p 的0-1分布,可用如下表示方法:从这批产品中任取一个产品,用随机变量X来描述它是否是次品:第6页，本讲稿共29页设有放回地抽取一个容量为 n 的样本的联合分布为其样本值为样本空间为第7页，本讲稿共29页设 是取自总体X
3、 的一个样本,为一实值连续函数,且不含有未知参数,则称随机变量为统计量统计量.若是一个样本值,称的一个样本值为统计量定义定义4.2 统计量统计量第8页，本讲稿共29页例例 是未知参数,若 ,已知,则为统计量是一样本,是统计量,其中则但不是统计量.第9页，本讲稿共29页常用的统计量常用的统计量为样本均值样本均值为样本方差样本方差为样本标准差样本标准差设是来自总体 X 的容量为 n 的样本,称统计量第10页，本讲稿共29页为样本的k 阶原点矩原点矩为样本的k 阶中心矩中心矩例如第11页，本讲稿共29页顺序统计量顺序统计量设为样本,为样本值,且当取值为时,定义 r.v.则称统计量为顺序统计量顺序统计
4、量.其中,称为极差极差第12页，本讲稿共29页独立独立独立独立,与总体同分布与总体同分布与总体同分布与总体同分布独立独立独立独立,与与与与 同分布同分布同分布同分布由辛钦大数定律知由辛钦大数定律知由辛钦大数定律知由辛钦大数定律知都存在都存在都存在都存在设设设设为来自总体为来自总体为来自总体为来自总体的样本的样本的样本的样本,总体总体总体总体 阶矩阶矩阶矩阶矩其中其中其中其中 为连续函数为连续函数为连续函数为连续函数第13页，本讲稿共29页设总体设总体设总体设总体 的均值和方差的均值和方差的均值和方差的均值和方差是来自总体是来自总体是来自总体是来自总体 的样本，则的样本，则的样本，则的样本，则都
5、存在都存在都存在都存在.第14页，本讲稿共29页是全体实验数据是全体实验数据是全体实验数据是全体实验数据的平均值的平均值的平均值的平均值是是是是数据数据数据数据的中心的中心的中心的中心反映了实验数据反映了实验数据反映了实验数据反映了实验数据 与数据与数据与数据与数据中心的偏离程度，反映了全体实验中心的偏离程度，反映了全体实验中心的偏离程度，反映了全体实验中心的偏离程度，反映了全体实验数据数据数据数据 的离散程度的离散程度的离散程度的离散程度第15页，本讲稿共29页4.3 抽样分布包含了各种有用信息包含了各种有用信息包含了各种有用信息包含了各种有用信息集中、提炼数据中包集中、提炼数据中包集中、提
6、炼数据中包集中、提炼数据中包含的有用信息含的有用信息含的有用信息含的有用信息 它们是随机变量它们是随机变量它们是随机变量它们是随机变量,必必必必须确定其分布，称为抽须确定其分布，称为抽须确定其分布，称为抽须确定其分布，称为抽样分布样分布样分布样分布来自标准正态总体的抽样分布来自标准正态总体的抽样分布来自标准正态总体的抽样分布来自标准正态总体的抽样分布来自一般正态总体的抽样分布来自一般正态总体的抽样分布来自一般正态总体的抽样分布来自一般正态总体的抽样分布分布分布分布分布 分布分布分布分布 分布分布分布分布五个抽样分布定理五个抽样分布定理五个抽样分布定理五个抽样分布定理第16页，本讲稿共29页随着
7、自由度的增随着自由度的增随着自由度的增随着自由度的增加曲线重心向右加曲线重心向右加曲线重心向右加曲线重心向右下方移动下方移动下方移动下方移动(一)-分布是来自总体是来自总体是来自总体是来自总体设设设设的样本的样本的样本的样本,令令令令 称称称称 服从服从服从服从自由度自由度自由度自由度为为为为 的的的的 分布分布分布分布，记为，记为，记为，记为且且且且 相互独立相互独立相互独立相互独立,则则则则设设设设且且且且设设设设相互独立相互独立相互独立相互独立,则则则则,于是于是于是于是理解为可独立变化的理解为可独立变化的理解为可独立变化的理解为可独立变化的r.vr.vr.vr.v个数个数个数个数则则则
8、则设设设设取取取取 个独立同分布个独立同分布个独立同分布个独立同分布 的的的的则则则则 与与与与同分布同分布同分布同分布第17页，本讲稿共29页随着自由度的随着自由度的随着自由度的随着自由度的增加曲线越来增加曲线越来增加曲线越来增加曲线越来越趋近越趋近越趋近越趋近(二)且且且且设设设设相互独立相互独立相互独立相互独立,令令令令 称称称称 服从服从服从服从自由度自由度自由度自由度为为为为 的的的的 分布分布分布分布，记为，记为，记为，记为易知：易知：易知：易知：利用伽马函数利用伽马函数利用伽马函数利用伽马函数的斯特林公式的斯特林公式的斯特林公式的斯特林公式即即即即故当故当故当故当 较大时较大时较
9、大时较大时,可认为可认为可认为可认为 英国统计学家兼化学家戈塞特英国统计学家兼化学家戈塞特英国统计学家兼化学家戈塞特英国统计学家兼化学家戈塞特 (Gosset W S 1876-1937Gosset W S 1876-1937 )于于于于19081908年年年年用笔名用笔名用笔名用笔名StudentStudent 发表了关于发表了关于发表了关于发表了关于 t t 分布的论文分布的论文分布的论文分布的论文,这是一篇在统计学发展这是一篇在统计学发展这是一篇在统计学发展这是一篇在统计学发展史上划时代的文章史上划时代的文章史上划时代的文章史上划时代的文章,它创立了小样本代替大样本的方法，开创了现它创立
10、了小样本代替大样本的方法，开创了现它创立了小样本代替大样本的方法，开创了现它创立了小样本代替大样本的方法，开创了现代统计学的新纪元代统计学的新纪元代统计学的新纪元代统计学的新纪元.Gosset,Gosset,StudentStudent 的的的的最最最最后后后后一一一一个个个个字字字字母母母母都都都都是是是是t t ,故故故故取取取取名名名名为为为为“t t 分分分分布布布布”,又称为又称为又称为又称为“学生氏分布学生氏分布学生氏分布学生氏分布”.”.-分布是怎样产生的分布是怎样产生的第18页，本讲稿共29页(三)且且且且设设设设相互独立相互独立相互独立相互独立,令令令令 称称称称 服从服从服
11、从服从自由度自由度自由度自由度为为为为 的的的的 分布分布分布分布，记为，记为，记为，记为若若若若则则则则分布是为了纪念著名统计学家分布是为了纪念著名统计学家分布是为了纪念著名统计学家分布是为了纪念著名统计学家费歇耳费歇耳费歇耳费歇耳(R.A.Fisher 1890-1962R.A.Fisher 1890-1962)而命名而命名而命名而命名第19页，本讲稿共29页2.抽样分布定理如何由样本如何由样本如何由样本如何由样本 推断推断推断推断对对对对 的推断是通过构造统计量实现的的推断是通过构造统计量实现的的推断是通过构造统计量实现的的推断是通过构造统计量实现的如何构造如何构造如何构造如何构造“好好
12、好好”的统计量的统计量的统计量的统计量服从什么分布？服从什么分布？服从什么分布？服从什么分布？统计推断中最重要的结论：统计推断中最重要的结论：统计推断中最重要的结论：统计推断中最重要的结论：第20页，本讲稿共29页仍服从正态分布仍服从正态分布仍服从正态分布仍服从正态分布,且且且且的样的样的样的样设设设设是来自总体是来自总体是来自总体是来自总体本本本本,则则则则独立同分布独立同分布独立同分布独立同分布由正态分布的性质知，线性组合由正态分布的性质知，线性组合由正态分布的性质知，线性组合由正态分布的性质知，线性组合第21页，本讲稿共29页的样本，的样本，的样本，的样本，设设设设是总体是总体是总体是总
13、体分别为样本均值和样本方差，则有分别为样本均值和样本方差，则有分别为样本均值和样本方差，则有分别为样本均值和样本方差，则有相互独立相互独立相互独立相互独立(证略证略)第22页，本讲稿共29页的样本，的样本，的样本，的样本，设设设设是总体是总体是总体是总体分别为样本均值和样本方差，则有分别为样本均值和样本方差，则有分别为样本均值和样本方差，则有分别为样本均值和样本方差，则有由定理一、定理二有由定理一、定理二有由定理一、定理二有由定理一、定理二有且且且且 与与与与 独立独立独立独立，由，由，由，由 分布的定义有分布的定义有分布的定义有分布的定义有即即即即“平均平均平均平均”说来说来说来说来 与与与
14、与 的差别不大的差别不大的差别不大的差别不大,故可用故可用故可用故可用 “代替代替代替代替”两个未知两个未知两个未知两个未知参数参数参数参数一个未知参数一个未知参数一个未知参数一个未知参数第23页，本讲稿共29页的样本；的样本；的样本；的样本；设设设设是总体是总体是总体是总体的样本的样本的样本的样本,且两样本相互独立且两样本相互独立且两样本相互独立且两样本相互独立,是总体是总体是总体是总体两样本均值和样本方差分别为两样本均值和样本方差分别为两样本均值和样本方差分别为两样本均值和样本方差分别为则则则则由定理二，有由定理二，有由定理二，有由定理二，有因两样本独立，故因两样本独立，故因两样本独立，故
15、因两样本独立，故 独立独立独立独立第24页，本讲稿共29页的样本；的样本；的样本；的样本；设设设设是总体是总体是总体是总体的样本的样本的样本的样本,且两样本相互独立且两样本相互独立且两样本相互独立且两样本相互独立,是总体是总体是总体是总体两样本均值和样本方差分别为两样本均值和样本方差分别为两样本均值和样本方差分别为两样本均值和样本方差分别为则则则则其中其中其中其中,且且且且 相互独立相互独立相互独立相互独立又又又又由由由由 的独立性及的独立性及的独立性及的独立性及 分布的可加性有分布的可加性有分布的可加性有分布的可加性有由两样本的独立性及由两样本的独立性及由两样本的独立性及由两样本的独立性及
16、分布的定义有分布的定义有分布的定义有分布的定义有第25页，本讲稿共29页面积为面积为面积为面积为则称则称则称则称 为分布密度为分布密度为分布密度为分布密度 的的的的上上上上 分位点分位点分位点分位点设设设设若若若若存在常数存在常数存在常数存在常数 满足满足满足满足的上的上的上的上 分位点记为分位点记为分位点记为分位点记为第26页，本讲稿共29页则称则称则称则称 为分布密度为分布密度为分布密度为分布密度 的的的的上上上上 分位点分位点分位点分位点设设设设若若若若存在常数存在常数存在常数存在常数 满足满足满足满足的上的上的上的上 分位点记为分位点记为分位点记为分位点记为查标准正态分布表查标准正态分
17、布表查标准正态分布表查标准正态分布表,可求得可求得可求得可求得第27页，本讲稿共29页则称则称则称则称 为分布密度为分布密度为分布密度为分布密度 的的的的上上上上 分位点分位点分位点分位点设设设设若若若若存在常数存在常数存在常数存在常数 满足满足满足满足的上的上的上的上 分位点记为分位点记为分位点记为分位点记为查查查查 t t 分布表分布表分布表分布表,可求得可求得可求得可求得第28页，本讲稿共29页则称则称则称则称 为分布密度为分布密度为分布密度为分布密度 的的的的上上上上 分位点分位点分位点分位点设设设设若若若若存在常数存在常数存在常数存在常数 满足满足满足满足的上的上的上的上 分位点记为分位点记为分位点记为分位点记为查查查查 分布表分布表分布表分布表,可求得可求得可求得可求得若若若若 则则则则故故故故第29页，本讲稿共29页