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1、1.若若 a a 粒子粒子(电量为电量为 2e)在磁感应强度为在磁感应强度为 B 均匀磁场中沿半径为均匀磁场中沿半径为 R 的圆形轨道运动，则的圆形轨道运动，则 a a 粒子的德布罗意波长是粒子的德布罗意波长是 h/(2eRB)。2.电子经电场加速，加速电势差为电子经电场加速，加速电势差为 150 V(不考虑相对论效应不考虑相对论效应)，其德布罗意波长为其德布罗意波长为 =1 10-10 m。3.能量和一个电子静止能量相等的光子的频率能量和一个电子静止能量相等的光子的频率 n n=1.24 1020 Hz；波长；波长 =0.00243 nm；动量；动量 p=2.73 10-22 kgm/s。4
2、.己知：己知：介子的静能是介子的静能是 765 MeV，寿命是寿命是 2.2 10-24 s。求：求：它的能量不确定量多大？又占其静能的几分之几？它的能量不确定量多大？又占其静能的几分之几？(E=150 MeV，E/E静静=20%)5.原子处于某激发态的时间为原子处于某激发态的时间为 t t=10-8 s，该激发态能级宽度为多，该激发态能级宽度为多少少?(E=5.3 10-27 J)6.在杨氏双缝干涉实验中，已知两缝的距离为在杨氏双缝干涉实验中，已知两缝的距离为 d，计算电子在通过，计算电子在通过双缝时横向位置的不确定度。双缝时横向位置的不确定度。(d/p p)练习题答案练习题答案 例例 氢原
3、子由原子核和一个核外电子组成。氢原子由原子核和一个核外电子组成。(1)请利用不确定关系请利用不确定关系 x p ，估算氢原子中的最，估算氢原子中的最小能量。小能量。(2)由薛定谔方程解得氢原子基态由薛定谔方程解得氢原子基态波函数为波函数为 ，式中，式中 a0=0.529 10-10 m，为为玻玻尔尔半半径径。求求氢氢原原子子处处于于基基态态时时，电电子处于半径为玻尔半径的球面内的概率。子处于半径为玻尔半径的球面内的概率。解：解：(1)解得：解得：时，时，(2)在在经典力学经典力学中，物体的运动满足中，物体的运动满足牛顿定律牛顿定律，它给，它给出了物体运动状态随时间的变化规律。出了物体运动状态随
4、时间的变化规律。在在量子力学量子力学中，微观粒子的运动规律用中，微观粒子的运动规律用薛定谔方薛定谔方程程描述。所谓微观粒子的运动规律，也就是波函数描述。所谓微观粒子的运动规律，也就是波函数 随时间和空间的变化规律。随时间和空间的变化规律。满足的方程，薛定谔方满足的方程，薛定谔方程是量子力学的基本方程，在量子力学中的地位就相程是量子力学的基本方程，在量子力学中的地位就相当于经典力学中牛顿方程的地位当于经典力学中牛顿方程的地位。玻恩的统计观点玻恩的统计观点解释了微观粒子波动性和粒子性解释了微观粒子波动性和粒子性之间的关系，但是并没有说明波函数是如何随时间变之间的关系，但是并没有说明波函数是如何随时
5、间变化的，我们还需要知道化的，我们还需要知道微观粒子的运动遵循什么样的微观粒子的运动遵循什么样的规律？规律？12.6 12.6 薛定薛定谔谔谔谔方程方程(Schrdinger Equation)问题的提出：问题的提出：德拜：问他的学生薛定谔德拜：问他的学生薛定谔能不能不能讲一讲能讲一讲 De Broglie 的的那篇学位论文呢？那篇学位论文呢？一月以后：薛定谔向大一月以后：薛定谔向大家介绍了德布罗意的论文。家介绍了德布罗意的论文。德拜提醒薛定谔：德拜提醒薛定谔：“对于波，应该有一个波动方程对于波，应该有一个波动方程”。由于经典力学根本没有涉及波粒二象性，微观粒子运动由于经典力学根本没有涉及波粒
6、二象性，微观粒子运动遵循的方程肯定不能由经典力学导出，它必须根据实验现象遵循的方程肯定不能由经典力学导出，它必须根据实验现象重新建立。重新建立。薛定谔薛定谔(1926)提出了提出了描述微观粒子运动规律的描述微观粒子运动规律的非相对论非相对论性的性的薛定谔方程薛定谔方程.。狄拉克狄拉克(1928)提出了相对论性的提出了相对论性的狄拉克狄拉克方程方程，它们是量，它们是量子力学的基本方程，二人分享了子力学的基本方程，二人分享了1933年年诺贝尔物理学奖。诺贝尔物理学奖。12.6.1 自由粒子薛定谔方程自由粒子薛定谔方程粒子在粒子在 x 方向匀速直线运动，方向匀速直线运动，E、px 不变不变一维自由一
7、维自由粒子薛定粒子薛定谔方程谔方程对对 x 求二阶偏导求二阶偏导对对 t 求一阶偏导求一阶偏导 对波函数的运算、变换或操作对波函数的运算、变换或操作。：对波函数取复共轭。：对波函数取复共轭。：算符算符 代表对波函数关于代表对波函数关于 求导；求导；：算符：算符 代表对波函数关于代表对波函数关于 求导；求导；算符是通过对波函数的作用关系来定义的。算符是通过对波函数的作用关系来定义的。例如例如算符算符(operator)：算符：算符 代表用代表用 乘波函数；乘波函数；定义能量算符、动量算符、坐标算符定义能量算符、动量算符、坐标算符 12.6.2 薛定谔方程和哈密顿量薛定谔方程和哈密顿量 若粒子处于
8、若粒子处于势场势场 U(x,t)中，中，能量关系为能量关系为1.势场中一维运动粒子的薛定谔方程势场中一维运动粒子的薛定谔方程算符对应关系：算符对应关系：作用于波函数，得薛定谔方程作用于波函数，得薛定谔方程2.一般薛定谔方程一般薛定谔方程若粒子做三维运动若粒子做三维运动将势场中一维粒子的薛定谔方程推广到一般情况将势场中一维粒子的薛定谔方程推广到一般情况引入拉普拉斯算符引入拉普拉斯算符引入哈密顿算符引入哈密顿算符用哈密顿用哈密顿算符算符，薛定谔方程可写成，薛定谔方程可写成 势函数势函数 U 不显含时间时，不显含时间时，薛定谔方程可分离变量求解。薛定谔方程可分离变量求解。l哈哈密密顿顿量量决决定定了
9、了微微观观粒粒子子波波函函数数随随时时间间的的演演化化，外外界界对对粒粒子子的的作作用用，包包括括不不能能用用力力来来表表达达的的微微观观相相互互作作用用，一一般般都都可可以以用用哈哈密密顿顿量量中中的的势势函函数数 U(x,t)来来概概括括。而而在在经经典典力力学学中中，改改变变宏宏观观粒粒子子运运动动状状态态的的原原因因是是作作用用在在粒粒子子上的力。上的力。l 只讨论势函数只讨论势函数 U 与时间无关的情况。与时间无关的情况。(3)|2 给出粒子在任意时刻在任一位置出现的给出粒子在任意时刻在任一位置出现的概率密度概率密度。一般薛定谔方程一般薛定谔方程运用方法：运用方法：(1)已知粒子质量
10、已知粒子质量 m 和它在势场中势能函数和它在势场中势能函数 U 的形式的形式 便可列薛定谔方程。便可列薛定谔方程。(2)根据初始条件、边界条件求解，得波函数根据初始条件、边界条件求解，得波函数 。l它它并并非非推推导导所所得得，是是量量子子力力学学的的基基本本方方程程，描描述述非非相相对对论论性粒子波函数随时间演化规律。性粒子波函数随时间演化规律。l 是线性齐次微分方程，解满足态叠加原理是线性齐次微分方程，解满足态叠加原理若若 和和 是薛定谔方程的解，是薛定谔方程的解，则则 也是薛定谔方程的解。也是薛定谔方程的解。l 方程中含有虚数方程中含有虚数 i它它是是一一个个复复数数偏偏微微分分方方程程
11、；其其解解波波函函数数 是是一一个个复复函函数数。复数不能直接测量。而复数不能直接测量。而|2 代表概率密度，可测量。代表概率密度，可测量。3.定态薛定谔方程定态薛定谔方程若若 U=U(x,y,z)，与与 t 无关，无关，自由运动粒子自由运动粒子 U=0 氢原子中的电子氢原子中的电子 如：如：则则 (x,y,z;t)能分成二部分函数的乘积能分成二部分函数的乘积(x,y,z;t)=(x,y,z)f(t)例如，对于例如，对于一维一维运动的情况，波函数可写成运动的情况，波函数可写成 将其代入薛定将其代入薛定谔谔方程，得方程，得两边除以两边除以 f，得，得=E(常数常数)可得含变量可得含变量 t 和变
12、量和变量 x 的的两个方程两个方程：一个是变量为一个是变量为 t 的方程的方程 其解为其解为 (A 是待定复常数，是待定复常数，E 有能量量纲，以后可知是粒子的总能量有能量量纲，以后可知是粒子的总能量)即即()()一个是变量为一个是变量为 x 的方程的方程一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程此式解为：此式解为：(x)即此时，概率密度也可以用即此时，概率密度也可以用|(x)|2 来表示，即在定态下概率分来表示，即在定态下概率分布不随时间改变，这正是定态这一名称的由来。布不随时间改变，这正是定态这一名称的由来。(x)称为定态波称为定态波函数。函数。对势能函数对势能函数 U 与时间与时间 t 无关的
13、一维定态问题，无关的一维定态问题，只需解只需解定态薛定谔方程定态薛定谔方程()式，再利用式，再利用()式即可得波函数式即可得波函数 (x,t)。由上面可以看出：由上面可以看出：三维直角坐标系的定态薛定谔方程三维直角坐标系的定态薛定谔方程 或称能量本征方程或称能量本征方程则薛定谔方程的特解为：则薛定谔方程的特解为：三维：三维：如果一个算符作用到波函数上等于一个数乘这个波如果一个算符作用到波函数上等于一个数乘这个波函数，则称这个波函数是该算符的函数，则称这个波函数是该算符的本征函数本征函数，这个数值，这个数值称为该算符的称为该算符的本征值本征值，这个方程称为该算符的，这个方程称为该算符的本征方程本
14、征方程。因此，因此，定态薛定谔方程式也称为哈密顿算符的本征方程，定态薛定谔方程式也称为哈密顿算符的本征方程，或能量算符的本征方程。或能量算符的本征方程。利用薛定谔方程，再加上波函数标准条件，可以利用薛定谔方程，再加上波函数标准条件，可以 “自然地自然地”得到微观粒子的重要特征得到微观粒子的重要特征量子化结果量子化结果，而不须象普朗克假设那样强制假定量子化。薛定谔方而不须象普朗克假设那样强制假定量子化。薛定谔方程的结果，已被无数实验所证实。程的结果，已被无数实验所证实。定态薛定谔方程的意义：定态薛定谔方程的意义：讨论讨论 对波函数进行某种运算或作用的符号称为算符。对波函数进行某种运算或作用的符号
15、称为算符。例例 一维自由运动微观粒子的波函数。一维自由运动微观粒子的波函数。其定态薛定其定态薛定谔谔方程为方程为 二阶常系数二阶常系数常微分方程常微分方程晶体晶体衍衍射射屏屏自由运动区自由运动区 U=0电子枪电子枪KA令令得得它有两个特解：它有两个特解：沿沿+x 方向的平面单色波方向的平面单色波 沿沿-x 方向的平面单色波方向的平面单色波所以，一维自由运动微观粒子的波函数有如下两个解：所以，一维自由运动微观粒子的波函数有如下两个解：改写成改写成l一一类类是是本本征征值值问问题题，给给定定势势能能函函数数U(x)，求求粒粒子的能量子的能量E和相应的本征波函数和相应的本征波函数n(x)；求解两类问
16、题：求解两类问题：l另另一一类类是是散散射射问问题题，假假设设粒粒子子以以能能量量E射射向向势势垒垒U(x)，计算粒子穿透势垒的概率。，计算粒子穿透势垒的概率。12.7 一维势场中的粒子一维势场中的粒子12.7.1 一维无限深方势阱中的粒子一维无限深方势阱中的粒子12.7.2 势垒贯穿势垒贯穿12.7.3 简谐振子简谐振子12.7.1 12.7.1 无限深方势阱中的粒子无限深方势阱中的粒子无限深方势阱中的粒子无限深方势阱中的粒子一、一维无限深势阱一、一维无限深势阱金属中自由电子的运动，是被限制在金属中自由电子的运动，是被限制在一个有限的范围一个有限的范围 称为称为束缚态。束缚态。作为粗略的近似
17、，我们认为这些电子在一维无限深势作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维无限深势阱中运动，即它的势能函数为阱中运动，即它的势能函数为 区区 区区 区区(这是一个理想化的模型这是一个理想化的模型)二、定态薛定谔方程二、定态薛定谔方程由于在由于在 I、III 两区的两区的 U(x)=，为保证波函数有限的物理条件，显然应为保证波函数有限的物理条件，显然应 =0；=0U(x)=0a0 xU(x)=U(x)=由于由于 区的区的 U(x)=0，因此该区薛定因此该区薛定谔谔方程为方程为令令则则这一方程的通解为这一方程的通解为 波函数标准条件：波函数标准条件：在在 x=0 处必须连续。处必须连续。所以所以 A=
18、0因为因为 B 0，在在 x=a 处必须连续。处必须连续。所以必有所以必有 sin ka=0，即即 ka=np p，I(0)=II(0)=0，II(a)=III(a)=0，其中其中 n=1，2，3，称为量子数。称为量子数。再由归一化条件再由归一化条件所以所以将脚标将脚标 去掉，代之以量去掉，代之以量子数子数 n，最后得，最后得无限深势无限深势阱内阱内粒子的粒子的定态波函数为定态波函数为概率密度为概率密度为因此因此 区波函数的形式为区波函数的形式为若取若取 n=1，能级能级每一个每一个 n 值，对应于一个能级。值，对应于一个能级。E 称为能量本征值，称为能量本征值，n 称为量子数。称为量子数。n
19、 只能只能取整数取整数结结 果果(1)能量本征值能量本征值 能量取分立值能量取分立值(能级能级)能量量子化能量量子化 当当 m、a 大大 时，时，量子化量子化 连续连续 最低能量最低能量(零点能零点能)波动性波动性因为因为讨论讨论l能量是量子化的能量是量子化的：在经典力学中，粒子的动能可连续取值；：在经典力学中，粒子的动能可连续取值；而量子力学的结果是，能量是量子化的。且由薛定谔方程自而量子力学的结果是，能量是量子化的。且由薛定谔方程自然而然地得到，不需人为假定。然而然地得到，不需人为假定。l零点能零点能：最低的能级是最低的能级是 n=1 能级能级 ；对经对经 典物理来说这是不可理解的，而按量
20、子理论是可以理解的。典物理来说这是不可理解的，而按量子理论是可以理解的。若若E=0，则则但势阱中但势阱中 x=a，所以，所以 E 不能为零。不能为零。根据不确定关系，根据不确定关系，l相邻两个能级之差相邻两个能级之差 ，可，可 见，见，a 越大越大 E 越小，当越小，当 a 大到宏观尺度时，大到宏观尺度时，E 0，能量能量可看作连续变化，这和经典理论相对应。可看作连续变化，这和经典理论相对应。称为能量本征波函数。称为能量本征波函数。全部波函数为：全部波函数为：(3)势阱中粒子的动量为：势阱中粒子的动量为：德布罗意波长为：德布罗意波长为：波长也量子化了，它是势阱长度波长也量子化了，它是势阱长度
21、a 的的(1/n)的的两倍。粒子的每两倍。粒子的每一个能量本征态对应于一个一个能量本征态对应于一个特定德布罗意波长的驻波。特定德布罗意波长的驻波。(2)定态波函数为：定态波函数为：(4)能级、相应波函数及概率密度与坐标的关系图：能级、相应波函数及概率密度与坐标的关系图：0En4321Ena0a0a在波腹处找到粒子的概率最大。在波腹处找到粒子的概率最大。n=1n=2n=3n=40a概率密度概率密度把坐标原点移至势阱中点，把坐标原点移至势阱中点，把上面结果中把上面结果中的的 x 改为改为 x+a/2，就得到新坐标系下的就得到新坐标系下的波函数波函数(可能有正负号的差别，但作为波可能有正负号的差别，
22、但作为波函数是等价的函数是等价的)：|x|a/2U(x)0 a/2-a/2x当当 n 分别为偶数和奇数时，可分别写成：分别为偶数和奇数时，可分别写成：奇宇称态奇宇称态偶宇称态偶宇称态n=1，3，5，时的波函数是偶函数，这些状态叫做时的波函数是偶函数，这些状态叫做偶宇称态偶宇称态，n=2，4，6，时的波函数是奇函数，这些态叫做时的波函数是奇函数，这些态叫做奇宇称态奇宇称态。EOaxE1n=14E1n=29E1n=3En n|n|2EOa/2x-a/2无限深方势阱内粒子的能级、波函数和概率密度：无限深方势阱内粒子的能级、波函数和概率密度：E1n=14E1n=29E1n=3 波波函函数数本本身身无无
23、物物理理意意义义，“测测不不到到，看看不不见见”，是是一一个个很很抽抽象象的的概概念念，但但是是它它的的模模的的平平方方给给我我们们展展示示了了粒粒子子在在空空间间各各处处出出现现的的概率密度分布的图像。概率密度分布的图像。三、量子力学的结果三、量子力学的结果1.微观粒子在势阱中出现的位置不是均匀分布。微观粒子在势阱中出现的位置不是均匀分布。概率分布与量子数概率分布与量子数 n 有关。有关。当当 n 时，时，曲线成为直线，量子理论过渡到经典理论。曲线成为直线，量子理论过渡到经典理论。2.粒子能量是量子化的粒子能量是量子化的(解方程自然得来解方程自然得来)n=1，基态能量基态能量又称为零点能量又
24、称为零点能量基态能量不为零。基态能量不为零。n=2，3，4En 为本征值为本征值方程的解：方程的解：n 是与本征值相应的本征函数。是与本征值相应的本征函数。例例 一粒子在一维无限深方势阱中运动而处于基态。一粒子在一维无限深方势阱中运动而处于基态。从阱宽的一端到离此端点从阱宽的一端到离此端点 阱宽的距离内它出阱宽的距离内它出现的概率多大？现的概率多大？解解：基态波函数为：基态波函数为：n=1，粒子从阱宽的一端到离此端点粒子从阱宽的一端到离此端点 阱宽的距离内阱宽的距离内它出现的概率为它出现的概率为例例 粒子在一维无限深势阱中运动，势阱宽度为粒子在一维无限深势阱中运动，势阱宽度为 a，其波函数其波
25、函数求：在求：在 0 x a 区域内，粒子区域内，粒子出现概率最大的位置出现概率最大的位置 x=?解：按题意，求概率密度曲线解：按题意，求概率密度曲线的极大值。的极大值。当当 ，当当 ，当当 ，.0ax图示为：图示为：例例 做一维运动的粒子被束缚在做一维运动的粒子被束缚在 0 x a 的范围内，已知其波的范围内，已知其波函数为函数为 。求：求：(1)常数常数 A；(2)粒子在粒子在 0 到到 a/2 区域内出现的概率；区域内出现的概率；(3)粒子在何处出现的概率最大？粒子在何处出现的概率最大？解解：(1)由归一化条件由归一化条件解得解得(2)粒子的概率密度为粒子的概率密度为粒子在粒子在 0 到
26、到 a/2 区域内出现的概率区域内出现的概率(3)概率最大的位置应该满足概率最大的位置应该满足即当即当时，粒子出现的概率最大。时，粒子出现的概率最大。因为因为 0 x a，故得故得 x=a/2，此处粒子出现的概率最大。此处粒子出现的概率最大。例例 一维无限深势阱中的粒子的定态物质波相当于两端一维无限深势阱中的粒子的定态物质波相当于两端固定的弦中的驻波，因而势阱宽度固定的弦中的驻波，因而势阱宽度 a 必须等于德布必须等于德布罗意波的半波长的整数倍。罗意波的半波长的整数倍。(1)试由此求出粒子能量的本征值为：试由此求出粒子能量的本征值为：(2)在核在核(线度线度1.010-14 m)内的质子和中子
27、可以当成内的质子和中子可以当成 是处于无限深的势阱中而不能逸出，它们在核中的运是处于无限深的势阱中而不能逸出，它们在核中的运 动是自由的。按一维无限深方势阱估算，质子从第一动是自由的。按一维无限深方势阱估算，质子从第一 激发态到基态转变时，放出的能量是多少激发态到基态转变时，放出的能量是多少 MeV？解：解：(1)在势阱中粒子德布罗意波长为在势阱中粒子德布罗意波长为 粒子的动量为：粒子的动量为：粒子的能量为：粒子的能量为：(2)由上式，质子的基态能量为由上式，质子的基态能量为(n=1)：第一激发态的能量为：第一激发态的能量为：n=1，2，3从第一激发态转变到基态所放出的能量为：从第一激发态转变
28、到基态所放出的能量为：讨论：讨论：实验中观察到的核的两定态之间的能量差一般就实验中观察到的核的两定态之间的能量差一般就是几是几 MeV，上述估算和此事实大致相符。，上述估算和此事实大致相符。n=1n=2n=32.波长为波长为 4000 的平面光波朝的平面光波朝 X 轴正向传播。若波长的相轴正向传播。若波长的相对不确定量对不确定量 /=10-6，则光子动量数值的不确定量，则光子动量数值的不确定量 px=，而光子坐标的最小不确定量，而光子坐标的最小不确定量 x=。1.在单缝电子衍射实验中，若缝宽为在单缝电子衍射实验中，若缝宽为 a=0.1 nm，电子束垂，电子束垂直射在单缝上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量直射在单缝上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量 py=Ns。小练习小练习4.设一维运动粒子的波函数为设一维运动粒子的波函数为 其中其中 a 为大于零的常数。为大于零的常数。求：求：(1)归一化因子归一化因子 A；(2)粒子坐标的平均值？粒子坐标的平均值？3.己己知知粒粒子子在在宽宽度度为为 L 的的一一维维无无限限深深方方势势阱阱中中运运动动，其其波波函函数数为为：，其其中中 c 待待定定，则则 0 L/3 区区间间发发现现粒粒子的概率为子的概率为 。作业：作业：第第12章：章：14，17，18