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1、第九章常微分方程数值解法第九章常微分方程数值解法常微分方程常微分方程(ODEs 未知函数是一元函数未知函数是一元函数)偏微分方程偏微分方程(PDEs 未知函数是多元函数未知函数是多元函数)微分方程微分方程常微分方程常微分方程一阶方程：如一阶方程：如二阶方程二阶方程：如如 同一个微分方程同一个微分方程,具有不同的初始具有不同的初始条件条件(1)用差商近似用差商近似导导数数差分方程初差分方程初值问题值问题Euler方法方法微分方程离散化的方法微分方程离散化的方法若用向后差商近似若用向后差商近似导导数，即数，即向后向后Euler方法方法（2）用数）用数值积值积分方法分方法若若对积对积分用梯形公式，分
2、用梯形公式，则则得得梯形公式梯形公式（3）用）用Taylor多多项项式近似式近似Euler方法方法11EulerEuler方法方法的解作的解作为为微分方程初微分方程初值问题值问题的数的数值值解，即解，即以差分方程初以差分方程初值问题值问题1.Euler方法方法x0 x1x2x3y y0h h h h h h 用分段折线逼近曲线用分段折线逼近曲线解：解：Euler公式公式为为当当h=0.5时时当当h=0.25时时00.50.751.010.25h=0.5h=0.251.2Euler方法的方法的误误差估差估计计y yh hh hh h对对Euler方法，局部截断方法，局部截断误误差差Euler方法
3、的整体截断方法的整体截断误误差差2 2 改进改进EulerEuler方法方法2.1 梯形公式梯形公式 求解公式求解公式或用梯形公式的误差或用梯形公式的误差2.2 改改进进Euler法法称称为为Euler公式与梯形公式的公式与梯形公式的预测预测校正系校正系统统。实际计实际计算算时时，常改写成以下形式，常改写成以下形式predictorcorrector3 3 RungeRungeKuttaKutta法法1.RK方法的构造方法的构造RK公式的一般形式公式的一般形式为为K1K2xn+a2hxn+1=xn+h加权平均斜率加权平均斜率加权平均斜率加权平均斜率c1 K1+c2 K2xn这这就是改就是改进进
4、Euler公式，故其公式，故其为为二二阶阶方法。方法。K1K2xnxn+1/2xn+1经经典三典三阶阶RK公式（右端公式（右端类类似似Simpson公式）公式）经经典四典四阶阶RK公式公式xnxn+h/2xn+hK1K2K3K4经经典四典四阶阶RK公式的几何意公式的几何意义义说说明：明：4阶阶Runge-Kutta方法方法EulerEulerEuler_modEuler_modmidpointmidpoint RK4RK4n=10 EulerEulerEuler_modEuler_modmidpointmidpoint RK4RK4n=20 4 4 线性多步法线性多步法单单步法的一般形式：步法
5、的一般形式：xn-2xn-1xn+1=xn+hxn4.1 线线性多步公式的性多步公式的导导出出利用利用Taylor展开展开结论结论：4.2 常用的常用的线线性多步公式性多步公式四四阶阶Adams显显式公式式公式四四阶阶Adams隐隐式公式式公式1.Adams公式公式（二）（二）Milne公式公式（三）（三）Hamming公式公式2.一般地，同阶隐式公式比显式公式精确，一般地，同阶隐式公式比显式公式精确，但隐式公式计算复杂，需用迭代法求解。但隐式公式计算复杂，需用迭代法求解。1.线性多步公式不能自启动，线性多步公式不能自启动，一般需用同阶单步法求得初值后一般需用同阶单步法求得初值后 再用线性多步
6、公式计算；再用线性多步公式计算；说明说明4.3 预测预测校正系校正系统统MilneHamming预测预测校正公式：校正公式：Adams预测预测校正公式：校正公式：5 5 相容性、收敛性与稳定性相容性、收敛性与稳定性5.1 相容性与收相容性与收敛敛性性问题问题：单单步法离散方程：步法离散方程：原方程：原方程：相容性相容性:则则称称单单步法与步法与问题问题（*）相容，）相容，也称也称问题问题（*）与（）与（*）相容。）相容。注注 对对形式形式简单简单的方程，可以由差分方程解的表达式的方程，可以由差分方程解的表达式 取极限取极限导导出收出收敛敛性。性。用用Euler法得近似解表达式法得近似解表达式例
7、如例如对对初初值问题值问题：0.00.10.20.30.40.5改进欧拉法改进欧拉法 欧欧拉拉隐式隐式欧拉欧拉显式显式 节点节点 xi 1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000 101 3.2000 101 1.00002.5000 10 1 6.2500 10 21.5625 10 23.9063 10 39.7656 10 41.00002.50006.25001.5626 1013.9063 1019.7656 1011.00004.9787 10 22.4788 10 31.2341 10 46.1442 10 63.0590 10 75.2 稳稳定性定性故
8、故Euler法的法的绝对稳绝对稳定区域定区域为为：0-1-2注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。的显式法的好。故故隐隐式式Euler法的法的绝对稳绝对稳定区域定区域为为：210将改将改进进Euler法用于法用于试验试验方程，方程，则则有有故改故改进进Euler法的法的绝对稳绝对稳定区域定区域为为：梯形公式用于模型方程梯形公式用于模型方程则为则为故其故其绝对稳绝对稳定区域定区域为为 因此梯形公式是因此梯形公式是A稳稳定的。定的。0对对四四阶阶RK方法，有方法，有其其绝对稳绝对稳定区域定区域为为66一阶微分方程组和高阶微分方程的数值解法一阶微分方程组和高阶微分方程的数值解法6.1 一阶微分方程组的数值解法一阶微分方程组的数值解法一阶微分方程组的初值问题的一般形式为：一阶微分方程组的初值问题的一般形式为：以两个方程为例以两个方程为例6.2高阶微分方程的数值解法高阶微分方程的数值解法