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1、5.3 5.3 特征函数特征函数特征函数特征函数 设设设设 E E 是全集，考虑从全集是全集，考虑从全集是全集，考虑从全集是全集，考虑从全集 E E 到集合到集合到集合到集合 0,1 0,1 的函数的函数的函数的函数的全体所构成的集合，按照的全体所构成的集合，按照的全体所构成的集合，按照的全体所构成的集合，按照 5.1 5.1 节中所给出的记号，可节中所给出的记号，可节中所给出的记号，可节中所给出的记号，可表示为表示为表示为表示为 0,10,1E E，亦即，亦即，亦即，亦即 0,10,1E E f f|f f：E E0,10,1 对于对于对于对于 E E 的任何一个子集，均可以有的任何一个子集
2、，均可以有的任何一个子集，均可以有的任何一个子集，均可以有 0,10,1E E 中的一中的一中的一中的一个函数与之对应，且不同的子集对应不同的函数。此外，个函数与之对应，且不同的子集对应不同的函数。此外，个函数与之对应，且不同的子集对应不同的函数。此外，个函数与之对应，且不同的子集对应不同的函数。此外，任一函数也必存在一个子集与之对应。也就是说，在任一函数也必存在一个子集与之对应。也就是说，在任一函数也必存在一个子集与之对应。也就是说，在任一函数也必存在一个子集与之对应。也就是说，在 E E 的幂集与的幂集与的幂集与的幂集与 0,10,1E E 之间存在一个双射函数。事实上只要之间存在一个双射
3、函数。事实上只要之间存在一个双射函数。事实上只要之间存在一个双射函数。事实上只要取下述对应即可：对于取下述对应即可：对于取下述对应即可：对于取下述对应即可：对于 E E 的子集的子集的子集的子集 AA，令其对应于函数，令其对应于函数，令其对应于函数，令其对应于函数AA(x x)。AA(x x)定义为：定义为：定义为：定义为：1 1 若若若若 XX AA AA(x x)0 0 若若若若 XX AA 由此可见，这样的函数能够刻画集合，这种函数通由此可见，这样的函数能够刻画集合，这种函数通由此可见，这样的函数能够刻画集合，这种函数通由此可见，这样的函数能够刻画集合，这种函数通常称为集合的特征函数。常
4、称为集合的特征函数。常称为集合的特征函数。常称为集合的特征函数。定理定理定理定理5.13 5.13 在在在在 E E 的全体子集（的全体子集（的全体子集（的全体子集（记为记为记为记为(E E)）与全体特征函）与全体特征函）与全体特征函）与全体特征函数（记为数（记为数（记为数（记为 0,10,1E E）之间存在着双射）之间存在着双射）之间存在着双射）之间存在着双射 f f：(E E)0,10,1E E。证明：对任意的集合证明：对任意的集合证明：对任意的集合证明：对任意的集合 AA E E，令，令，令，令 f f(AA)AA，对，对，对，对 E E 的任意的任意的任意的任意子集子集子集子集 A A
5、 和和和和 BB，若，若，若，若AABB，则则则则 x x AAAA(x x)1 1BB(x x)1 1x x BB，所以所以所以所以 AABB，f f 是单射。是单射。是单射。是单射。对每一个特征函数对每一个特征函数对每一个特征函数对每一个特征函数 ：E E0,10,1，均有集合均有集合均有集合均有集合 S S x x|(x x)11，使得，使得，使得，使得 S S，因此因此因此因此 f f 是满射。是满射。是满射。是满射。综上可知，综上可知，综上可知，综上可知，f f 是双射。是双射。是双射。是双射。定义定义定义定义5.15 5.15 设设设设 E E 是全集，是全集，是全集，是全集，AA
6、 E E，于是把，于是把，于是把，于是把AA：E E0,1 0,1 定定定定义为：义为：义为：义为：1 1 若若若若 XX AA AA(x x)0 0 若若若若 XX AA 并称并称并称并称 AA(x x)为集合为集合为集合为集合 A A 的特征函数。的特征函数。的特征函数。的特征函数。【例例例例5.195.19】设全集设全集设全集设全集 E Ea,b,ca,b,c，它有，它有，它有，它有 8 8 个子集。个子集。个子集。个子集。对于子集对于子集对于子集对于子集 a a 有有有有 aa(a a)1,1,aa(b b)0,0,aa(c c)0 0，于是子集于是子集于是子集于是子集 a a 的特征
7、函数为的特征函数为的特征函数为的特征函数为 aa a,1a,1,b,0b,0,c,0c,0。对于子集对于子集对于子集对于子集 a,ba,b，有，有，有，有 a,ba,b(a)(a)1,1,a,ba,b(b)(b)1,1,a,ba,b(c)(c)0 0，故子集故子集故子集故子集 a,b a,b 的特征函数为的特征函数为的特征函数为的特征函数为 a,ba,b a,1a,1,b,1b,1,c,0c,0。对于空集对于空集对于空集对于空集有有有有(a)(a)0,0,(b)(b)0,0,(c)(c)0 0，故故故故的特征函数为的特征函数为的特征函数为的特征函数为 a,0a,0,b,0b,0,c,0c,0。
8、同理可求出其余子集的特征函数。同理可求出其余子集的特征函数。同理可求出其余子集的特征函数。同理可求出其余子集的特征函数。有有有有了了了了特特特特征征征征函函函函数数数数的的的的概概概概念念念念，集集集集合合合合之之之之间间间间的的的的关关关关系系系系就就就就可可可可以以以以用用用用其其其其特特特特征征征征函函函函数之间的关系来表达。数之间的关系来表达。数之间的关系来表达。数之间的关系来表达。定理定理定理定理5.14 5.14 给定全集给定全集给定全集给定全集 E E，AA E E 和和和和 BB E E，于是对所有的，于是对所有的，于是对所有的，于是对所有的 x xE E，下列关系式都成立。，
9、下列关系式都成立。，下列关系式都成立。，下列关系式都成立。(1)(1)AA(x x)0 0AA(2)(2)AA(x x)1 1AAE E(3)(3)AA(x x)BB(x x)AA BB(4)(4)AA(x x)BB(x x)AABB(5)(5)AA BB(x x)AA(x x)BB(x x)(6)(6)AA BB(x x)AA(x x)BB(x x)AA BB(x x)(7)(7)AA(x)(x)1 1 AA(x x)(8)(8)AA BB(x x)AA BB(x x)AA(x x)BB(x x)AA(x x)AA BB(x x)其中特征函数间的运算其中特征函数间的运算其中特征函数间的运算其
10、中特征函数间的运算 ，就是通常数字之间的算术运算就是通常数字之间的算术运算就是通常数字之间的算术运算就是通常数字之间的算术运算 ，。证明：证明：证明：证明：AA(x x)0 0AA 根据特征函数的定义，显然成立。根据特征函数的定义，显然成立。根据特征函数的定义，显然成立。根据特征函数的定义，显然成立。AA(x x)1 1AAE E 根据特征函数的定义，显然成立。根据特征函数的定义，显然成立。根据特征函数的定义，显然成立。根据特征函数的定义，显然成立。AA(x x)BB(x x)AA BB 若若若若 AA BB，则可分下列三种情况：，则可分下列三种情况：，则可分下列三种情况：，则可分下列三种情况
11、：x xAA，x xBB，AA(x x)1 1BB(x x)x xAA，x xBB，AA(x x)0 01 1BB(x x)x xAA，x xBB，AA(x x)0 0BB(x x)综合综合综合综合 ，即有，即有，即有，即有AA(x x)BB(x x)。反之，若反之，若反之，若反之，若AA(x x)BB(x x)对任意对任意对任意对任意 x xE E 成立，成立，成立，成立，为证为证为证为证AA BB，假设，假设，假设，假设 AA BB，从而存在从而存在从而存在从而存在 x xAA，但，但，但，但 x x BB，于是于是于是于是AA(x x)1 1，BB(x x)0 0，故，故，故，故BB(x
12、 x)AA(x x)，这与对任意这与对任意这与对任意这与对任意 x xE E，均有，均有，均有，均有AA(x x)BB(x x)相矛盾，相矛盾，相矛盾，相矛盾，从而从而从而从而 AA BB。AA(x x)BB(x x)AABB 是性质是性质是性质是性质(3)(3)的推论。的推论。的推论。的推论。AABB(x x)AA(x x)BB(x x)若若若若 x xAA BB，即，即，即，即 x xAA 且且且且 x xBB，则，则，则，则 AA BB(x x)1 11111AA(x x)BB(x x)，若若若若 x x AA BB，一方面，一方面，一方面，一方面AA BB(x x)0 0。另一方面，另
13、一方面，另一方面，另一方面，x x A A 或者或者或者或者 x x BB，即即即即 AA(x x)0 0 或者或者或者或者BB(x x)0 0，从而从而从而从而 AA(x x)BB(x x)0 0。综上可知，综上可知，综上可知，综上可知，AA BB(x x)AA(x x)BB(x x)。AA BB(x x)AA(x x)BB(x x)AABB(x x)全集全集全集全集 E E 分为不相交的四个子集：分为不相交的四个子集：分为不相交的四个子集：分为不相交的四个子集：AA BB,AA BB,AA BB,AA BB，则，则，则，则 若若若若 x x AA BB，则，则，则，则AA BB(x x)1
14、 1，AA(x x)1 1，BB(x x)1 1，AA BB(x x)1 1，显然显然显然显然AA BB(x x)AA(x x)BB(x x)AA BB(x x)若若若若 x x AA B,B,则则则则AA BB(x x)1 1，AA(x x)1 1，BB(x x)0 0，AA BB(x x)0 0，显然显然显然显然AA BB(x x)AA(x x)BB(x x)AA BB(x x)若若若若x x AA B,B,则则则则AA BB(x x)1 1，AA(x x)0 0，BB(x x)1 1，AA BB(x x)0 0，显然显然显然显然AA BB(x x)AA(x x)BB(x x)AA BB(
15、x x)若若若若x x AA BB，则，则，则，则AA BB(x x)0 0，AA(x x)0 0，BB(x x)1 1，AA BB(x x)0 0，显然显然显然显然AA BB(x x)AA(x x)BB(x x)AA BB(x x)综合综合综合综合，该性质成立。，该性质成立。，该性质成立。，该性质成立。AA(x)(x)1 1 AA(x x)在上性质中取在上性质中取在上性质中取在上性质中取 BBAA，则有则有则有则有 1 1BB(x x)AA(x x)+)+AA(x)(x)(x x)，故故故故AA(x x)1 1 AA(x x)。AA BB(x x)AABB(x x)AA(x x)BB(x x
16、)AA(x x)AABB(x x)AA(x x)AA BB(x x)AA(x x)AA(x x)BB(x x)AA(x x)1)1 BB(x x)AA(x x)BB(x x)AA BB(x x)AA BB(x x)应用特征函数的一些性质，也可以证明集合恒等式。应用特征函数的一些性质，也可以证明集合恒等式。应用特征函数的一些性质，也可以证明集合恒等式。应用特征函数的一些性质，也可以证明集合恒等式。【例例例例5.205.20】试证明试证明试证明试证明 (AABB)C C(AA C C)(BB C C)证明：证明：证明：证明：(AA C C)(BB C C)(x x)AA C C(x x)BB C
17、C(x x)AA C C(x x)BB C C(x x)AA(x x)AA(x x)C C(x x)BB(x x)BB(x x)C C(x x)AA(x x)BB(x x)AA(x x)BB(x x)C C(x x)AABB(x x)(AA(x x)BB(x x)AA(x x)BB(x x)C C(x x)AABB(x x)AABB(x x)C C(x x)(AABB)C C(x x)【例例例例5.215.21】设设设设 E Ea,b,c,E a,b,c,E 的子集是：的子集是：的子集是：的子集是：,a,b,c,a,a,b,c,a,b,a,c,b,c b,a,c,b,c 和和和和 a,b,ca
18、,b,c。试给出。试给出。试给出。试给出 E E 的所有子集的特征的所有子集的特征的所有子集的特征的所有子集的特征函数且建立特征函数与二进制之间的对应关系。函数且建立特征函数与二进制之间的对应关系。函数且建立特征函数与二进制之间的对应关系。函数且建立特征函数与二进制之间的对应关系。解：解：解：解：E E 的任何子集的任何子集的任何子集的任何子集 A A 的特征函数的值由下表给出。的特征函数的值由下表给出。的特征函数的值由下表给出。的特征函数的值由下表给出。A(x)xAabca,ba,cb,ca,b,cabc000100010001110101011111 如果规定元素的次序为如果规定元素的次序
19、为如果规定元素的次序为如果规定元素的次序为 a,b,ca,b,c，则每个子集，则每个子集，则每个子集，则每个子集 A A 的特征函的特征函的特征函的特征函数与一个三位二进制数相对应。如数与一个三位二进制数相对应。如数与一个三位二进制数相对应。如数与一个三位二进制数相对应。如aa,cc(x x)101101。令令令令 B B000,001,010,011,100,101,110,111000,001,010,011,100,101,110,111，那么，那么，那么，那么表表表表亦可亦可亦可亦可以看作从以看作从以看作从以看作从 E E 的幂集到的幂集到的幂集到的幂集到 B B 的一个双射。的一个双
20、射。的一个双射。的一个双射。由集合的特征函数可知，从由集合的特征函数可知，从由集合的特征函数可知，从由集合的特征函数可知，从 E E 到到到到 0,1 0,1 的任一函数，的任一函数，的任一函数，的任一函数，都能唯一地确定一个都能唯一地确定一个都能唯一地确定一个都能唯一地确定一个 E E 的子集合，如果元素的子集合，如果元素的子集合，如果元素的子集合，如果元素 x x 的函数值的函数值的函数值的函数值为为为为 1 1，则，则，则，则 x x 属于此集合，否则，属于此集合，否则，属于此集合，否则，属于此集合，否则，x x不属于此集合。如果考不属于此集合。如果考不属于此集合。如果考不属于此集合。如
21、果考虑的是从虑的是从虑的是从虑的是从 E E 到区间到区间到区间到区间 0,10,1的函数，此时，按照已知集合的函数，此时，按照已知集合的函数，此时，按照已知集合的函数，此时，按照已知集合的概念可知，这样定义的函数已不能再理解为集合的特征的概念可知，这样定义的函数已不能再理解为集合的特征的概念可知，这样定义的函数已不能再理解为集合的特征的概念可知，这样定义的函数已不能再理解为集合的特征函数。因为，假定次函数也定义了一个集合函数。因为，假定次函数也定义了一个集合函数。因为，假定次函数也定义了一个集合函数。因为，假定次函数也定义了一个集合 AA，当，当，当，当 x xE E 的函数值为的函数值为的
22、函数值为的函数值为 0.5 0.5 时，无法解释时，无法解释时，无法解释时，无法解释 x x 是否属于所考虑的集合是否属于所考虑的集合是否属于所考虑的集合是否属于所考虑的集合 AA。正正正正 是是是是 这这这这 一一一一 点点点点 上上上上，美美美美 国国国国 控控控控 制制制制 论论论论 专专专专 家家家家 扎扎扎扎 德德德德（L.L.A.A.ZadehZadeh）教教教教授授授授提提提提出出出出了了了了把把把把 0.5 0.5 理理理理解解解解成成成成属属属属于于于于集集集集合合合合 A A 的的的的程程程程度度度度，也也也也就就就就是是是是说说说说，x x 既既既既不不不不是是是是完完完
23、完全全全全属属属属于于于于所所所所考考考考虑虑虑虑的的的的集集集集合合合合 AA，也也也也不不不不是是是是完完完完全全全全不不不不属属属属于于于于集集集集合合合合 AA。按按按按照照照照这这这这样样样样的的的的理理理理解解解解，集集集集合合合合 A A 与与与与以以以以前前前前所所所所讨讨讨讨论论论论过过过过的的的的集集集集合合合合是是是是不不不不同同同同的的的的。于于于于是是是是，从从从从 E E 到到到到闭闭闭闭区区区区间间间间 0,0,1 1 的的的的一一一一个个个个函函函函数数数数，定定定定义义义义了了了了一一一一个个个个新新新新的的的的集集集集合合合合，对对对对于于于于这这这这个个个
24、个集集集集合合合合可可可可能能能能有有有有一一一一些些些些元元元元素素素素部部部部分分分分地地地地属属属属于于于于它它它它。这这这这样样样样一一一一来来来来，把把把把集集集集合合合合的的的的特特特特征征征征函函函函数数数数取取取取值值值值的的的的范范范范围围围围从从从从 0,0,1 1 扩扩扩扩大大大大到到到到闭闭闭闭区区区区间间间间 0,0,11，定定定定义义义义出出出出了了了了与与与与已已已已讨讨讨讨论论论论过过过过的的的的集集集集合合合合概概概概念念念念不不不不同同同同的的的的集集集集合合合合，称称称称为为为为模模模模糊糊糊糊（FuzzyFuzzy）子子子子集集集集。关关关关于模糊集合的详细讨论参照后面的于模糊集合的详细讨论参照后面的于模糊集合的详细讨论参照后面的于模糊集合的详细讨论参照后面的7.27.2节。节。节。节。