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1、丰城九中高一数学组丰城九中高一数学组从数列表示的角度理解数列的函数特性从数列表示的角度理解数列的函数特性数列是一种特殊函数数列是一种特殊函数,其定义域是正整数集其定义域是正整数集N N+(或它的有限子或它的有限子集集 1,2,3 1,2,3，,n),n),值域是当自变量顺次从小到大依次值域是当自变量顺次从小到大依次取值时的对应值取值时的对应值.0000000000000000确定数列的增减性确定数列的增减性 确定数列的增减性的方法确定数列的增减性的方法判断数列是递增数列还是递减数列判断数列是递增数列还是递减数列,关键是比较相邻两项关键是比较相邻两项a an+1n+1与与a an n的大小的大小
2、,常见的比较方法有两种：常见的比较方法有两种：一是作差比较法一是作差比较法.(1)a(1)an+1n+1-a-an n00a an+1n+1aan n数列数列aan n 是递增数列是递增数列.(2)a(2)an+1n+1-a-an n00a an+1n+1aan n数列数列aan n 是递减数列是递减数列.(3)a(3)an+1n+1-a-an n=0=0a an+1n+1=a=an n数列数列aan n 是常数列是常数列.二是作商比较法，若数列的通项公式为根式形式二是作商比较法，若数列的通项公式为根式形式,用作商法用作商法比作差法更简便一些比作差法更简便一些.a an n0 0递增数列递增数
3、列递减数列递减数列常数列常数列a an n0 0递减数列递减数列递增数列递增数列常数列常数列 在利用作商比较法时，要确保数列的每一项在利用作商比较法时，要确保数列的每一项都不是零，再确认相邻两项的正负，然后进行比较都不是零，再确认相邻两项的正负，然后进行比较.【例【例1 1】已知数列已知数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=-8n=-8n，判断数列，判断数列aan n 的单调性的单调性.【审题指导】【审题指导】解决本题的关键是正确采取比较的方式，比解决本题的关键是正确采取比较的方式，比较较a an+1n+1与与a an n的大小，也可用函数的观点判断的大小，也可用函数的观点判断
4、.【规范解答】【规范解答】方法一：根据题意可知方法一：根据题意可知 则则a an+1n+1-a-an n=(n+1)=(n+1)2 2-8(n+1)-(n-8(n+1)-(n2 2-8n)-8n)由数列的定义域为正整数集可知，当由数列的定义域为正整数集可知，当0n80n8时，时，a an+1n+1-a-an n000，数列是，数列是递增数列递增数列.方法二：由于本题数列的通项公式为方法二：由于本题数列的通项公式为a an n=n=n2 2-8n-8n对应的函数对应的函数是是f(x)=xf(x)=x2 2-8x-8x，定义域为正整数集，根据函数的单调性，定义域为正整数集，根据函数的单调性可知：对
5、称轴是可知：对称轴是x=8x=8，所以当，所以当0n80n8时数列是递减数列；当时数列是递减数列；当n8n8时，数列是递增数列时，数列是递增数列.数列的函数性质的应用数列的函数性质的应用数列是特殊的函数，由数列的项与项数之间构成特殊的函数列是特殊的函数，由数列的项与项数之间构成特殊的函数关系可知：数列的通项数关系可知：数列的通项a an n与与n n的关系公式就是函数的关系公式就是函数f(x)f(x)的的解析式解析式,所以根据函数解析式得出数列的通项公式是重要途所以根据函数解析式得出数列的通项公式是重要途径径.数列的函数性质的应用数列的函数性质的应用【例【例2 2】设函数】设函数f(x)f(x
6、)loglog2 2x xloglogx x2(0 x1)2(0 x1)，数列，数列aan n 满足满足f()=2n(nNf()=2n(nN+).).(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式；的通项公式；(2)(2)判断数列的单调性判断数列的单调性.【审题指导】【审题指导】解决本题的关键是把函数的解析式通过关系解决本题的关键是把函数的解析式通过关系式转化求解得到数列的通项公式，然后再根据通项公式进式转化求解得到数列的通项公式，然后再根据通项公式进行作差，判断与零的大小或者作商判断与行作差，判断与零的大小或者作商判断与1 1的大小，从而判的大小，从而判断数列的单调性断数列的单调性.【规范解
7、答】【规范解答】(1)f()(1)f()loglog2 2 -log 2=a-log 2=an n ，所以，所以a an n 2n2n 2na2nan n1 10 0，所以所以a an n .因为因为x(0,1)x(0,1)，所以，所以 (0,1)(0,1)，所以，所以a an n0.0.所以所以a an n .(2)(2)方法一：方法一：a an n1 1a an n(n(n1)1)所以所以 ，即数列，即数列aan n 是递增数列是递增数列.方法二方法二：又又a an n0aan n，数列数列aan n 是递增数列是递增数列.【典例】【典例】(12(12分分)一个数列的通项公式为一个数列的通
8、项公式为a an n3030n nn n2 2.(1)(1)问问6060是否为这个数列中的项？是否为这个数列中的项？(2)(2)当当n n分别为何值时，分别为何值时，a an n0 0，a an n00，a an n00.0.当当n6n6且且nNnN+时，时，a an n0.80.8分分(3)a(3)an n3030n nn n2 2又又nNnN+，故当故当n n1 1时，时，a an n有最大值，其最大值为有最大值，其最大值为30.1230.12分分 【误区警示】【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：常见常见 错误错误错错 误误 原原 因因第二问第二问 n=-5 n=-5 解出了解出了n n的值后，没有考虑的值后，没有考虑n n的定义域，直接的定义域，直接下结论导致错误，事实上，解决这类问题需下结论导致错误，事实上，解决这类问题需要特别注意要特别注意n n的取值范围的取值范围.第三问第三问 n=n=在利用二次函数的性质进行配方求解数列的在利用二次函数的性质进行配方求解数列的最值时，忽略了最值时，忽略了n n只能取正整数这一问题，只能取正整数这一问题，导致错误，一般地借助函数解决数列问题时，导致错误，一般地借助函数解决数列问题时，都需要认真考虑定义域都需要认真考虑定义域.